Разновидность магических квадратов.
Магические квадраты
Автор: Казанцев Дмитрий Евгеньевич
ученик 8б класса
Руководитель: Дурягина Валентина Николаевна,
учитель математики.
Г.
Содержание
Введение…………………………………………………………….стр.3
Глава I.Историческая справка…………………………………….стр.4-7
Глава II.Разновидность магических квадратов:
2.1 Квадрат Ло Шу……………………………………………стр.8
2.2 Квадрат, найденный в Кхаджурахо(Индия)………… …стр.8
2.3 Магический квадрат Ян Хуэя (Китай)……………… ….стр.8-9
2.4 Квадрат Альбрехта Дюрера………………………………стр.9
2.5 Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона…. стр.9
2.6 Дьявольский магический квадрат…………………….. стр.10
Глава III. Некоторые способы построения магических
квадратов………………………………………………… стр.11-12
Глава IV.Применение магических квадратов…………………….стр.13-17
Заключение………………………………………………………… .стр.18
Литература………………………………………………………….. стр.19
Приложение
Введение
Великие учёные древности считали количественные отношения основой сущности мира. Поэтому числа и их соотношения занимали величайшие умы человечества. «В дни моей юности я в свободное время развлекался тем, что составлял … магические квадраты» – писал Бенджамин Франклин. Некоторые выдающиеся математики посвятили свои работы магическим квадратам и полученные ими результаты оказали влияние на развитие групп, структур, латинских квадратов, определителей, разбиений, матриц, сравнений и других нетривиальных разделов математики.
Я с понятием магического квадрата встретился при выполнении одной из олимпиадных работ по математике, где в одном из заданий надо было ответить на вопрос: можно ли составить магический квадрат из первых 25 простых чисел? Изучая дополнительную литературу, заинтересовался историей возникновения, решениями магических квадратов и применениями их в жизни и математике.
Актуальность проекта – развитие познавательного интереса к предмету математики и истории её развития, развитие любознательности и логического мышления.
Цели и задачи проекта – исследовать историю возникновения и развития магических квадратов, изучить способы построения магических квадратов. Исследовать применение магических квадратов в деятельности человека, а так же в математике или её приложениях.
Научная новизна- темамало изучена в школьном предмете математика, интерес к истории возникновения и решения магических квадратов.
Практическая ценность-магические квадраты можно применять для работ в сельском хозяйстве, военном деле, в школе при проведении внеклассных мероприятий и факультатива по предмету. Магический квадрат применяют при исследовании психологического портрета человека.
Объект исследования-магические квадраты.
Глава I
Историческая справка.
Составление магических, или волшебных, квадратов – старинный и ещё сейчас весьма распространённый вид математических развлечений. Задача состоит в отыскании такого расположения последовательных чисел по клеткам разграфленного квадрата, чтобы суммы чисел во всех строках, столбцах и по обеим диагоналям квадрата были одинаковы. Первое упоминание о магическом квадрате встречается в древней восточной книге, относящейся к эпохе за 4000 – 5000 лет до нашего времени.
Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (около 2200 лет до н. э.) из вод Желтой реки (Хуанхэ) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы, (приложение 1), и эти знаки известны под названием Ло Шу и равносильны магическому квадрату:
В XI веке о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 веке магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в XV веке византийский писатель Э. Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А. Дюрера, изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия.
(приложение 2 )
Дата создания гравюры 1514 год указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В XVI веке Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3–го, 4–го, 5–го, 6–го, 7–го, 8–го и 9–го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы.
В XIX и XX вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры и операционного исчисления. Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n2 клеток и называется квадратом n –го порядка. В большинстве магических квадратов используются первые n последовательных натуральных чисел. Сумма чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, равна: S = n(n2 + 1)/2. Для квадрата 3 – го порядка S =15, 4 – го порядка - S = 34, 5 – го порядка – S = 65.
Две диагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями. Ломаной называется диагональ, которая, дойдя до края квадрата, продолжается параллельно первому отрезку от противоположного края – такую диагональ образуют заштрихованные клетки на рисунке.
| \\\\ | b | |||
| \\\\ | ||||
| \\\\ | ||||
| \\\\ | ||||
| а | \\\\ |
Клетки, которые симметричны относительно центра квадрата, называются кососимметричными. На рисунке это клетки a и b.
Глубже были знакомы с магическими квадратами в древней Индии. Из Индии увлечение магическими квадратами перешло к арабам, которые приписывали этим числовым сочетаниям таинственные свойства. В западной Европе в средние века магические квадраты были достоянием представителей алхимии и астрологии. От суеверных представлений эти числовые квадраты и получили свое необычное название в математике – «магические», то есть волшебные. Астрологи и алхимики верили, что дощечка с изображенным на ней магическим квадратом способна отвратить беду от человека, который носит на себе такой талисман.
Задачи составления и описания магических квадратов интересовали математиков с древнейших времен. Однако полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени. Магических квадратов из 4 – х чисел, т. е. 2 х 2, не существует. Наименьший магический квадрат – 9-ти клеточный. Сложим ли мы в этом квадрате числа 4 + 3 + 8 , или 2 + 7 + 6, или 3 + 5 + 7, или 4 + 5 + 6, или любой другой ряд из трех чисел, мы во всех случаях получим одну и ту же сумму 15. Итог этот можно предвидеть, не составляя ещё самого квадрата: три строки квадрата – верхняя, средняя и нижняя – должны заключать все его 9 чисел, составляющие в сумме 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45.
С другой стороны, сумма эта должна быть равна утроенному итогу одной строки. Отсюда для каждой строки имеем итог: 45 : 3 = 15. Подобным же образом можно заранее определить сумму чисел строки или столбца любого магического квадрата, состоящего из какого угодно числа клеток. Для этого нужно сумму всех чисел квадрата разделить на число его строк. Я составил несколько магических квадратов. (приложение 3)
С увеличением размеров квадрата (числа клеток) быстро растет количество возможных магических квадратов такого размера. Так различных магических квадратов 4х4 уже 880, а для размера 5х5 их количество приближается к четверти миллиона. Среди них есть квадраты, обладающие интересными свойствами. Например, в квадрате:
равны между собой не только суммы чисел в строках, столбцах и диагоналях, но и суммы пятерок чисел по «разломанным» диагоналям. ( приложение 4) Латинским квадратом называется квадрат nхn клеток, в которых написаны числа 1,2,3,4, …n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. Рассмотрим примеры таких квадратов.
Они обладают интересной особенностью: если один квадрат наложить на другой, то все пары получившихся чисел оказываются различными:
или
Глава II
Разновидность магических квадратов.