Деление многозначного числа на разрядное число. 4 страница
При умножении числа на 0 результат также нельзя найти сложением, нельзя использовать и перестановку множителей, т.к. это новая область чисел (Z0), в котором переместительное свойство умножения не раскрывалось. Поэтому втрое правило: при умножении любого числа на 0 получается 0 – учитель просто сообщает детям. Например, 3·0=0, 12·0=0, 58·0=0.
Как известно, делить на 0 нельзя. Этот факт сообщается детям и поясняется на примере (на основе взаимосвязи между компонентами и результатом умножения): нельзя 8 разделить на 0, т.к. нет такого числа, при умножении которого на 0 получится 8.
Знание взаимосвязи между компонентами и результатом умножения используется также при рассмотрении случаев деления числа на само себя и на 1.
1·13=13
13:13=1 Какое число нужно умножить на 13, чтобы получить 13?
13:1=13
В результате формулируется вывод: при делении числа, не равного 0, на то же самое число получается 1; при делении числа на 1 получается то же самое число.
Аналогично рассуждают и при делении 0 на число (не равное 0). Чтобы 0 разделить на 6, надо найти такое число, при умножении которого на 6 получится 0. Это 0, т.к. 0·6=0. Значит, 0:6=0.
В результате решения аналогичных заданий ученики подмечают, что при делении 0 на любое число, не равное 0, значение частного всегда равно 0.
При умножении 10 на однозначное число ученики пользуются приемом: чтобы умножить 10 на 2, нужно 1 дес. умножить на 2, получится 2 дес. или 20.
Или: 10·2=10+10=20
Умножая на 10, используют переместительное свойство умножения:
2·10=10·2=10+10=20
При делении на 10 используется знание связи между компонетами и результатом умножения: чтобы 20 разделить на 10, надо подобрать такое число, при умножении котрого на 10 получится 20; это 2, значит, 20:10=2.
Так же находим 20:2=10
Внетабличное умножение и деление
В ходе изучения данной темы рассматриваются следующие вопросы:
§ Свойства арифметических действий (умножение суммы на число, деление суммы на число), которые являются теоретической основой для многих случаев внетабличного умножения и деления.
§ Устные приемы: а) умножения двузначного числа на однозначное и однозначного числа на двузначное;
б) деления двузначного числа на однозначное и на двузначное.
§ Деление с остатком, которое включает в себя работу, направленную на:
а) раскрытие конкретного смысла деления;
б) разъяснение алгоритмов выполнения деления с остатком;
в) выполнение проверки правильности выполненных действий.
Урок № 1 (с.4). Приемы умножения и деления для случаев вида 20·3, 3·20, 60:3
№ 5 – подготовка к изучению деления с остатком.
Урок № 2 (с.5). Прием деления для случаев вида 80:20.
Для различения приемов деления двузначных чисел, оканчивающихся нулем, на однозначное (80:2) и двузначное число, оканчивающееся нулем (80:20), полезно сравнить ход вычисления в следующих парах выражений:
40:20 100:50 60:30
40:2 100:5 60:3
- При делении на двузначное число узнаем, на сколько надо умножить делитель, чтобы получить делимое. При делении на однозначное число делим число десятков на делитель.
Урок № 3 (с.6). Умножение суммы на число.
(2+3) · 4
К данному выражению ученики рисуют на строчке 2 круга и 3 квадрата. Так как сумму чисел 2 и 3 надо умножить на 4, то таких строчек будет 4. надо узнать, сколько всего фигур нарисовали.
Рассуждения по рисунку:
- Сначала узнаем, сколько фигур в одной строке (2+3), а затем узнаем, сколько фигур в 4 таких строках (5 · 4). Можно узнать, сколько всего кругов (2 · 4), потом – сколько всего квадратов (3 · 4), а затем – сколько всего фигур (8+12).
Параллельно с объяснением на доске и в тетради появляются записи:
(2+3) · 4=5 · 4=20
(2+3) · 4=2· 4+3· 4=8+12=20
Урок № 5 (с.8). Приемы умножения для случаев вида 23· 4, 4· 23.
Вычисления можно выполнять с опорой на памятку:
|
Например: «Найду произведение чисел 36 и 2. Заменяю 36 суммой разрядных слагаемых 30 и 6. Получилось выражение: сумму чисел 30 и 6 умножить на 2. Вычисляю: 30 умножить на 2, получится 60; 6 умножить на 2, получится 12; к 60 прибавить 12, получится 72».
Урок № 9 (с. 13). Деление на число.
Учитель предлагает проиллюстрировать выражение (12+6):3 с помощью разноцветных кружков и выставляет на наборное полотно 12 красных кружков и 6 синих. Вызванный к доске ученик находит сумму, т.е. складывает все кружки в конверт, а затем делит их на 3, вынимая из конверта по 3 кружка (независимо от цвета). Когда все кружки будут разложены, выясняется что на наборном полотне 6 групп, по 3 кружка в каждой. Учитель обращает внимание детей на то, что в группах получились кружки разного цвета, и предлагает разделить кружки так, чтобы в каждую группу попали бы кружки одного цвета. Вызванный к доске ученик:
а) раскладывает на группы 12 красных кружков, по 3 кружка в каждой группе;
б) раскладывает на группы 6 синих кружков, по 3 кружка в каждой группе.
На доске записывается решение: (12+6):3=12:3+6:3=4+2=6.
Ученики анализируют записи на доске и разъясняют, как выполняли вычисления в каждом случае.
Урок № 11 (с. 14). Прием деления для случаев 69:3, 78:2.
Урок № 13 (с. 17). Проверка деления.
Урок № 14 (с. 18). Прием деления для случаев 87:29, 66:22.
Урок № 15 (с.19). Проверка умножения.
Урок № 19 (с. 24). Деление с остатком: разъяснить конкретный смысл деления с остатком.
Необходимо показать, что решение можно записывать как в строчку (14:3=4(ост. 2)) или в столбик:
_14 3
12 4
Урок № 20 (с. 25). Деление с остатком: разъяснение правила «при делении остаток всегда должен быть меньше делителя».
При делении с остатком можно заполнять таблицу:
| Делитель | Остаток |
| 0,1 | |
| 0,1,2 | |
| 0,1,2,3 | |
| 0,1,2,3,4 | |
| 0,1,2,3,4,5 |
Урок № 21 (с.26). Прием нахождения значения частного и остатка: познакомить с приемом подбора делимого для нахождения значения частного и остатка.
Урок № 22 (с. 27). Прием нахождения значения частного и остатка: познакомить с приемом подбора значения частного при делении с остатком.
Данный прием (подбор такого числа, при умножении на которое делитель получается число, близкое к делимому) более трудоемкий, чем прием подбора делимого.однако многократное умножение значения частного на делитель способствует запоминанию таблицы умножения.
Урок № 24 (с.29). Деление меньшего числа на большее.
Урок № 25 (с. 30). Проверка деления с остатком.
Методика обучения письменному умножению и делению
1. Перед изучением письменного умножения и деления в концентре «Тысяча» рассматриваются устные приемы умножения и деления в пределах 1000, являющиеся подготовкой к введению письменных случаев.
На этом этапе ученики знакомятся с разными приемами устного умножения и деления, основанных на:
а) умножении и делении дес. или сот., например:
180· 4= 18 дес. · 4= 72 дес. = 720,
620:2=6 сот. : 2= 3 сот. = 300;
б) умножении и делении на основе знания правил умножения и деления суммы на число, например:
320· 2= (300+20) · 2; 720:2=(600+120):2;
в) связи между умножением и делением, например:
600:300=2, т.к. 300·2=600.
2. Приемы письменного умножения и деления.
Как уже отмечалось, умножение и деление в традиционной системе рассматривается во взаимосвязи. Это касается и вопросов письменного умножения и деления. Однако для удобства методику обучения письменному умножению будем рассматривать отдельно от методики обучения письменного деления.
Методика обучения письменному умножению
Прежде чем обратиться непосредственно к методике обучения учащихся умножению в столбик, выполним дидактический анализ соответствующего алгоритма.
Начнем с конечного результата изучения умножения: учащиеся должны уметь умножать многозначные числа на трехзначные. На конкретном примере вспомним, в чем состоит это умение.
х 4345
276
8690
Вначале оба множителя правильно записываются друг под другом. Затем число, стоящее в разряде единиц второго множителя, умножается на многозначный множитель, начиная с наименьшего разряда. Полученный результат правильно записывается под чертой, отделяющей множители от значения произведения.
На многозначный множитель умножаются единицы разряда десятков второго множителя. Результат правильно записывается под первым неполным произведением. Наконец, на многозначное число умножаются единицы разряда сотен второго множителя, а результат правильно записывается под вторым неполным произведением. Полученные неполные произведения складываются. Сумма и есть значение произведения 4345 и 276.
Выделим те операции алгоритма, которые связаны с выполнением арифметических действий:
а) многозначное число умножается на однозначное;
б) многозначное число умножается на круглые десятки;
в) многозначное число умножается на круглые сотни;
г) три многозначных числа складываются.
Операция (г) уже известна учащимся из темы «Сложение и вычитание многозначных чисел». Поэтому подробно рассмотрим операции 1-3.
Ø Умножение многозначного числа на однозначное имеет много общего с приемом умножения двузначного числа на однозначное: многозначный множитель представляется в виде суммы разрядных слагаемых, и эта сумма по специальному правилу умножается на однозначный множитель.
543·4=(500+40+3) ·4=500·4+40·4+3·4
Вместе с тем между этими приемами есть и различия. Так, при умножении многозначных чисел сумма разрядных слагаемых может иметь 3, 4, 5 и даже 6 слагаемых; на однозначное число умножаются круглые сотни, тысячи, десятки и сотни тысяч; полученные многозначные неполные произведения нелегко сложить в уме. Поэтому для усвоения операции (а) учащиеся должны научиться умножать на число сумму, состоящую из 3, 4, 5 и 6 слагаемых, и умножать на однозначное число многозначные разрядные числа.
Ø Чтобы научить детей выполнять операцию (2) – умножению на круглые десятки – можно свести этот случай к ранее изученным с помощью специального приема. При изучении нумерации многозначных чисел было показано, как увеличить (уменьшить) число в 10, 100 и 1000 раз. Круглые десятки (сотни) можно представить можно представить в виде произведения однозначного числа на 10. Таким образом, выражение 543·30 можно представить в виде 543·(3·10). Для того чтобы учащиеся могли выполнить такое умножение, им нужно оказать, что умножить число на произведение можно разными способами (в частности, 543·3·10). Для умножения 543 на 3 используется операция (а).
Ø Аналогично можно обучить учащихся выполнению операции (в) – умножению на круглые сотни (543·300=543·3·100).
Таким образом, разработана стратегия обучения учащихся алгоритму умножения в столбик. Она состоит в последовательном изучении следующих тем.
ü Обобщение правила умножения суммы на число для случаев, когда сумма имеет более двух слагаемых;
ü Умножение многозначного числа на однозначное;
ü Правило умножения числа на произведение;
ü Умножение многозначного числа на круглые десятки и сотни;
ü Умножение многозначного числа на двузначное;
ü Умножение многозначного числа на трехзначное.
Рассмотрим методику изучения этих тем.
Правило умножения суммы на число
Вводится на примере задачи:
Для уроков труда было куплено 3 набора. В каждый набор входила линейка ценой 25 к., угольник за 20 к., циркуль ценой 22 к. и набор фломастеров за 3 р. Сколько стоили купленные наборы?
По задаче составляется выражение: (25+20+22+300) ·3. Обсуждаются способы вычисления этого произведения: если сначала найти стоимость одного комплекта, то получится трехзначное число 367, которое умножать на 3 трудно. Ответ можно найти и по-другому: узнаем, сколько стоят в отдельности линейки, циркули, угольники и фломастеры. Полученные стоимости сложим. значит, нужно найти значение выражения: 25·3+20·3+22·3+300·3.
В заключении формулируется правило умножения суммы на число. Это правило закрепляется в процессе выполнения следующих упражнений:
ü Представь число 183 в виде суммы двух (трех) слагаемых, чтобы его можно было умножить на 5.
ü Умножь удобным способом: (300+40+6) ·3. (200+70+6) ·5.
Умножение многозначных чисел на однозначное число
Сначала предлагаются более легкие случаи, когда неполные произведения являются разрядными числами:
1232·3=(1000+200+30+2) ·3=1000·3+200·3+30·3+2·3=3000+600+90+6=3696
Затем вводятся более сложные случаи: 2345·3, 6789·2 и т.п. сумма этих произведений вычисляется в столбик, например:
64789·4=240000+16000+2000+280+36.
Эти числа складываются в столбик: 240000
+ 2000
36
Таким образом, учащиеся должны почувствовать трудоемкость такого алгоритма умножения. Так создается психологическая предпосылка к изучению алгоритма умножения в столбик.
Введение новой записи:
Ученики вспоминают прием устного умножения двузначного числа на однозначное, выполняя на доске подробную запись:
23·2=(20+3) ·2=20·2+3·2=40+6=46.
Учитель предлагает по аналогии умножить 423 на 2:
423·2=(400+20+3) ·2=400·2+20·2+3·2=800+40+6=846.
Учитель обращает внимание на неудобство записи и предлагает подумать над более компактной записью приема. После того как учащиеся выскажут свое мнение, учитель подводит итог обсуждения.
- В некоторых случаях удобно записывать умножение столбиком. Запишем первый множитель 423. Под разрядом единиц первого множителя запишем второй множитель 3. Слева поставим знак умножения (не «·», а «ｘ»). Вместо знака «=» проведем черту. Умножаем единицы: 3·2=6, пишем 6 под единицами. Умножаем десятки: 2·2=4, пишем 4 под десятками. Умножаем сотни: 4·2=8, пишем 8 под сотнями. Читаем ответ: 846.
На первых порах на доске можно использовать колонки клеток, в которых записываются цифры множителей и названия разрядов:
| Т | С | Д | Е |
| х | |||
| + | |||
Учитель поясняет детям, что выполненное таким образом умножение отличается от ранее рассмотренного способа лишь формой. Поэтому в первое время записи в столбик и в строчку постоянно сопоставляются.
Затем запись в столбик сокращается: промежуточные результаты дети запоминают.
Особо следует рассмотреть случаи умножения с нулем: 3520·6, 372 000·4 и др. для того чтобы не выполнять лишние операции, которые связаны с умножением нуля на число, принято использовать такую запись:
х 4
Она позволяет нули, стоящие на конце первого множителя, перенести в ответ. Для осознания этого факта предлагаются упражнения вида:
130·5 23000·4
13 дес. ·5=65 дес. 23 тыс. ·4
Таким образом, запись 872000
х 4 не является ошибочной, она просто не рациональна.
Анализ упражнений, предложенных в учебнике М3М:
Урок № 11 (с. 67). Приемы устных вычислений (знакомство с устными приемами умножения и деления трехзначных чисел, которые сводятся к умножению и делению сотен и десятков).
Урок № 12 (с. 68-69). Приемы устных вычислений (сводятся к умножению и делению суммы на число).
Урок № 13 (с. 70). Приемы устных вычислений (деление трехзначного числа на трехзначное).
Урок № 16 (с. 79). Прием письменного умножения на однозначное число.
Урок № 17 (с. 80). Прием письменного умножения на однозначное число ( с переходом через разряд).
Умножение числа на произведение
Вводится на примере задачи:
Отрезок длиной 2 клетки тетради нужно увеличить сначала в 3, а потом в 4 раза. Какую длину будет иметь полученный отрезок? Запиши выражение, выполни рисунок.
Выясняется, что требуемый отрезок можно построить несколькими способами:
2·3·4
2·4·3
2·12
Констатируется, что результат выполнения задания разными способами одинаков. Делается вывод, что (2·3)·4=(2·4)·3=2·(4·3), т.е. произведение трех чисел можно вычислять в любом порядке.
Закрепление правила:
ü Вычисли произведение удобным способом: 16·5, 13·100…
ü Вычисли удобным способом:26·2·10, 5·100·16…
Умножение многозначного числа на разрядные числа
Прежде всего нужно вспомнить, как умножить число на 10, 100, 1000. затем в порядке возрастающей трудности предлагаются произведения, в которых один из множителей – разрядное число (круглые десятки, сотни единицы тысяч). Вначале алгоритм умножения таких чисел рассматривается подробно.
17·30=17·(3·10) такое умножение можно выполнить разными способами: можно 17 умножить на 10, получится 170, но 170 на 3 умножать трудно; лучше 17 ·3=51, потом умножить на 10 (приписать 0).
Аналогично выполняются устные вычисления, когда один из множителей – круглые сотни или единицы тысяч:
26·200=26·(2·100)=5200
37·2000=37·(2·10000=74000
Затем рассматриваются случаи, когда устное умножение выполнить трудно. В этих случаях используется умножение в столбик, причем учитель должен объяснить, как записываются числа с нулями на конце:
78 62100
х 70х 200
5460 12420000
При этом нули множителей просто сносятся в значение произведения.
Умножение многозначного числа на двузначное
Алгоритм умножения на двузначное число состоит из следующих операций: двузначный множитель представляется в виде суммы разрядных слагаемых; многозначное число умножается сначала на единицы разряда единиц, а затем на второе разрядное число. Таким образом, в основе алгоритма письменного умножения на двузначное число лежат алгоритмы умножения на однозначное и разрядное числа. Это необходимо показать детям. Для этого второй множитель (двузначное число) представляется в виде суммы разрядных слагаемых:
62·47=62·(40+7)=62·40+62·7
Пользуясь алгоритмами умножения на однозначное и разрядное числа, ученики вычисляют первое и втрое произведения, затем складывают полученные результаты. После этого учителю нужно только показать более компактную запись выполненных операций.
Можно предложить учащимся записи «в столбик» умножения на двузначное число, а они сами попробуют объяснить выполненные действия. В этом случае целесообразно подобрать пары записей и выяснить сначала, в чем их сходство и различие.
3785 3785
х 3 х 13
11355 11355
+ 3785
Комментируя действия, связанные с выполнением умножения «в столбик», вводятся понятия первое неполное произведение (оно получается при умножении данного числа на единицы разряда единиц второго множителя), второе неполное произведение (оно получается при умножении данного числа на единицы разряда десятков второго множителя).
Для осознанного усвоения операций, входящих в алгоритм умножения на двузначное число, полезно предложить детям сравнить и проанализировать следующие записи:
| х 62 47 +2480 | х 62 47 + 248 | х 62 47 + 248 |
В результате такого анализа делается вывод о том, какая запись неверная, какая верная и какой из верных записей удобнее пользоваться.
Записи сопровождаются пояснениями: второй множитель записывается под первым так, чтобы разряды единиц и десятков одного числа находились под соответствующими разрядами другого. Умножаем 62 на 7, получаем первое неполное произведение 434. Умножаем 62 на 40, т.е. 62 на 4, но помним, что в результате получаются десятки, поэтому второе неполное произведение начинам записывать, начиная с разряда десятков, т.е. под цифрой 3 первого неполного произведения. Второе неполное произведение равно 248. Находим сумму неполных произведений, она равна 2914.
Объясняя механизм умножения «в столбик», следует подчеркнуть, что:
ü Умножение, так же как и сложение, начинаем с единиц низшего (первого) разряда;
ü Записывая полученный результат, следим за тем, чтобы каждый разряд числа, полученного в значении произведения, записывался под соответствующим ему разрядом.