Деление многозначного числа на разрядное число. 1 страница
Методика изучения арифметических действий
Общие вопросы методики формирования вычислительных навыков.
Формирование вычислительных умений и навыков – одна из основных задач начального курса математики.
Вычислительное умение – это развернутое осуществление действия, в котором каждая операция осознается и контролируется.
Вычислительное умение предполагает усвоение вычислительного приема. Любой вычислительный прием можно представить в виде последовательности операций, выполнение каждой из которых связано с определенным математическим понятием или свойством.
18×2=(10+8) ×2=10×2+8×2=20+16=36
В отличие от умения навыки характеризуются свернутым, в значительной мере автоматизированным выполнением действия, с пропуском промежуточных операций, когда контроль переносится на конечный результат.
18×2=20+16=36
Вычислительный навык – это высокая степень овладения вычислительным приемом. Вычислительный навык складывается из следующих характеристик:
правильность - ученик правильно находит результат арифметического действия над данными числами, т.е. правильно выбирает и выполняет операции, составляющие прием.
осознанность- ученик осознает, на основе каких свойств арифметических действий выбраны операции вычислительного приема и почему именно такой порядок их выполнения.
рациональность- ученик, сообразуясь с конкретными условиями, выбирает для данного случая более рациональный прием. Это качество навыка проявляется тогда, когда для данного случая существуют различные приемы нахождения результата. Например:
15×6=15+15+15+15+15+15=90
15×6=(10+5) ×6=10×6+5×6=60+30=90
15×6=15× (2×3)=(15×2) ×3=30×3=90
обобщенность-ученик может применить вычислительный прием к большому числу случаев и способен перенести умение выполнять этот прием на новые случаи:
213×2=(200+10+3) ×2
(правило умножения суммы на число для случаев, когда слагаемых больше двух).
автоматизм (свернутость)- ученик может выполнять операции достаточно быстро и свернуто, однако в случае необходимости всегда может вернуться к объяснению выбора системы операций.
прочность- ученик сохраняет сформированный вычислительный навык достаточно долго.
Рассмотрим основные вопросы методики формирования вычислительных навыков в начальной школе.
Общая схема изучения вычислительного приема:
1. изучается математическое правило, которое является теоретической основой приема;
2. изучается сам вычислительный прием, который выполняется на основе правила.
В методике работы над каждым отдельным приемом можно выделить ряд этапов.
Этапы формирования вычислительного навыка:
1. подготовка к введению нового приема
На этом этапе готовность к усвоению нового вычислительного приема: изучаются теоретические положения, на которых базируется прием, повторяются или изучаются отдельные операции, которые входят в вычислительный прием.
Например, подготовительная работа для случаев вида 15×6 включает рассмотрение следующих вопросов:
ü изучение правила умножения суммы на число;
ü повторение разрядного состава двузначных чисел;
ü умножение круглых десятков на число;
ü табличное умножение.
2. ознакомление с вычислительным приемом
На этом этапе ученики усваивают суть приема: какие операции надо выполнять, в каком порядке и почему именно так можно найти результат арифметического действия.
Выделяют такие формы интерпретации приема, как:
а) материальная (представление данного приема в виде каких-либо материальных объектов: абак, палочки и т.д.)
| |
б) перцептивная (создание зрительного восприятия).
- Посмотрите на рисунок и объясните, какое действие выполнили:
В результате интерпретации вычислительного приема в материальной и перцептивной формах вырабатывается ориентировочная основа действия.
в) внешнеречевая форма сначала связана с перцептивной: предлагается развернутая запись всех операций (выполнение каждой операции сопровождается подробными пояснениями).
30-6=(20+10)-6=20+(10-6)=20+4=24
3. Закрепление знания вычислительного приема и выработка вычислительного навыка.
Выделяют 4 стадии:
1 стадия. Закрепляется знание приема: ученики самостоятельно выполняют операции, составляющие прием, комментируя выполнение каждой из них вслух и одновременно производя развернутую запись. Начинается эта стадия, как правило, на том же уроке, на котором учитель знакомит с новым приемом.
2 стадия. Частичное свертывание выполнения операций: учащиеся вслух выделяют только основные операции, а вспомогательные операции (какие-то промежуточные вычисления) выполняют «про себя», что способствует их свертыванию, т.е. быстрому выполнению в плане внутренней речи.
3 стадия (внутриречевая). Полное свертывание выполнения операций: учащиеся называют только конечный результат, а все операции выполняются «про себя».
4 стадия. Предельное свертывание выполнения операций: учащиеся выполняют все операции в свернутом плане, предельно быстро, без проговаривания, т. е. они овладевают вычислительным навыком. Это достигается в результате выполнения достаточного числа тренировочных упражнений.
В случае затруднения при выполнении арифметических действий учитель должен вернуться к любому из этапов формирования навыка, к любой форме, любой стадии с учетом индивидуальных особенностей ребенка.
3.2. Методика обучения сложению и вычитанию
1. Методика изучения конкретного смысла сложения и вычитания
В основе изучения действий сложения и вычитания в начальной школе лежит теоретико-множественная трактовка этих действий.
Сложение трактуется как объединение двух непересекающихся конечных множеств, а нахождение результата при выполнении сложения связано с подсчетом элементов в этом объединении.
Сумма натуральных чисел а и в представляет собой число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств А и В таких, что а = n (A), в = n (B).
а+в=n (A∪B), A∩B=Æ, n (A∪B) = n (A) + n (B)
Например, 2+3=5.
A={a, b}, B={c, d, e}, A∪B={a, b, c, d, e}, n (A∪B) =5.
Вычитание трактуется как удаление части множества, а нахождение результата при вычитании связано с подсчетом элементов в оставшейся части.
Разность натуральных чисел а и в представляет собой число элементов в дополнении множества В до множества А, если а = n (A), в = n (B) и B Ì A.
a-b= n (A) - n (B)= n (A\B), если B Ì A, A\B={x| xÎA u xÏB}.
Например, 3-2=1
A={a, b, c}, B={a, c}, B Ì A, A\B={b}, n (A\B) =1.
Определений действий сложения и вычитания в учебнике математики не дается. Конкретный смысл этих действий ученики осознают в процессе выполнения предметных действий с различными множествами предметов. Рассмотрим примеры таких предметных действий.
Предметные действия при сложении
1.Увеличение предметной совокупности на несколько предметов.
Пример. У Коли было 4 яблока. Его угостили еще одним. Покажи, сколько яблок стало у Коли.
2. Увеличение на несколько предметов множества, равночисленного данному.
Пример. У жука 6 ног, а у паука на 2 ноги больше. Покажи, сколько ног у паука.
3. Составление одного предметного множества из двух данных.
Пример. У Вани 6 значков, а у Лены 4 значка. Покажи, сколько значков у Вани и у Лены вместе.
В процессе выполнения предметных действий у детей формируется представление о сложении как о действии, которое связано с увеличением количества предметов.
Указанием к выполнению предметных действий является задание «Покажи…». Например, учитель предлагает задание «У Коли было 4 марки. Ему подарили еще 2. Покажи, сколько марок стало у Коли».
Дети выкладывают 4 марки (4 геометрических фигуры) и движением руки показывают, сколько марок было у Коли. Затем добавляют еще 2 марки. И движением руки показывают, сколько марок стало у Коли. Далее выясняется, как можно записать выполненное предметное действие математическими знаками, используя для этой цели цифры, знаки «+», и «=» (4+2=6). По мнению Н.Б. Истоминой, уже на данном этапе целесообразно познакомить детей с терминами «выражение», «равенство» (хотя по традиционной программе они вводятся только во втором классе).
Для разъяснения смысла сложения можно также опираться на представления детей о соотношении целого и его частей (данная тема выделена во всех программах, кроме традиционной). В этом случае для приведенной ситуации все марки Коли (целое) будут состоять из двух частей: марки, которые у него «были», и марки, которые ему «подарили».
Обозначая целое и части их числовыми значениями, дети получают выражение (4+2) или равенство (4+2=6).
Ситуации вида а) фактически можно свести к ситуациям вида в), рассматривая марки, которые были у Коли, как одно предметное множество, а марки, которые ему подарили, как другое предметное множество.
В процессе выполнения предметных действий, соответствующих ситуациям вида б), у них формируется понятие «больше на», представления о котором связаны с построением совокупности, равночисленной данной («взять столько же»), и ее увеличением на несколько предметов («и еще»). В этом случае объединяют совокупности «столько же» и «еще».
Предметные действия при вычитании.
1. Уменьшение данного множества на несколько предметов.
Пример. Лара нарисовала 6 астр. 3 астры она раскрасила. Покажи, сколько астр осталось раскрасить.
2. Уменьшение множества, равночисленному данному, на несколько предметов.
Пример. Дима сорвал 3 сливы, а Ира на 1 сливу меньше. Покажи, сколько слив сорвала Ира.
3. Сравнение двух предметных множеств, т.е. ответ на вопрос «На сколько предметов в одном множестве больше (меньше), чем в другом?»
Пример. У клоунов 6 колец и 4 шляпы. Покажи, на сколько колец больше, чем шляп.
В результате выполнения предметных действий дети обобщают: вычитание- это действие, которое связано с уменьшением количества предметов.
Пример. У Маши было 6 шаров. 2 она подарила Тане. Покажи шары, которые у нее остались.
Дети рисуют 6 шаров, зачеркивают 2 и показывают движением руки те шары, которые остались у Маши.
Для разъяснения смысла вычитания, так же как и сложения, можно использовать представления детей о соотношении целого и частей. В этом случае шары, которые были у Маши («целое»), состоят из двух частей: «шары, которые она подарила» и «шары, которые у нее остались».
Часть всегда меньше целого, поэтому нахождение части связано с вычитанием. Обозначая целое и части их числовыми значениями, дети получают выражение (6-2) или равенство (6-2=4).
В процессе выполнения предметных действий, соответствующих ситуации б), у них формируются представления о понятии «меньше на», которые связаны с построением совокупности, равночисленной данной («взять столько же»), и ее уменьшением на несколько предметов («без»). В этом случае совокупность, обозначаемая термином «без», включается в совокупность, обозначаемую термином «столько же». Совокупность, полученная в результате вычитания, является дополнением совокупности, обозначаемой термином «без», до совокупности предметов, обозначаемой термином «столько же».
При рассмотрении ситуации в) в практике обучения обычно учащимся предлагается иллюстрация, по которой проводится следующая беседа:
- В каком ряду кругов больше? (дети легко справляются с ответом).
- На сколько в верхнем ряду предметов больше, чем в нижнем? (Ответ также не вызывает затруднений, но при этом дети не соотносят его с вычитанием, т.к. в этом нет необходимости).
Дело в том, что предметные действия как таковые отсутствуют, и младшие школьники ориентируются на пересчет «лишних» предметов. Для того чтобы они могли осознать связь вопроса «На сколько больше (меньше)?» с вычитанием, необходимо соответствующим образом организовать их деятельность.
К доске вызываются 2 ученика. Каждому из них дается фланелеграф с кругами (5 и 7 кругов соответственно). Ребята встают так, чтобы не видеть кругов на фланелеграфе друг у друга. Класс также не должен видеть этих кругов.
- Никто не знает, сколько кругов у каждого ученика на фланелеграфе, и не может пока ответить на вопрос, у кого их больше или меньше. Поступим так: ученики, стоящие у доски, будут одновременно снимать по одному кругу. Может быть, выполнение этого действия поможет ответить на вопрос.
Данное задание выполняется у доски. Наступает момент, когда один из учеников говорит:
- У меня больше нет кругов.
- А у тебя еще остались круги?- спрашивает учитель другого ученика (да).
Учитель обращается к классу:
- Может быть, теперь кто-нибудь догадался, у кого кругов больше, у кого меньше?
- Как ты догадался? (у кого круги остались, у того и больше).
- На сколько больше кругов у Вити, чем у Коли? (нужно посмотреть, сколько кругов осталось).
- А можно ответить на вопрос, не глядя на фланелеграф? (задумываются).
- Хорошо, давайте посчитаем, сколько кругов дал мне Коля, а сколько Витя (одинаково – по 5).
- А если я вам скажу, что у Вити было 7 кругов. Может кто-нибудь ответить на вопрос: «на сколько у Вити кругов больше, чем у Коли?» (нужно 7-5).
В результате у детей формируется представление о разностном сравнении чисел, которое можно обобщить в виде правила: «чтобы узнать, на сколько одно число больше (меньше) другого, нужно из большего числа вычесть меньшее».
При сравнении совокупностей двух предметных множеств также можно опираться на представления детей о соотношении целого и частей. Для этого необходимо обратить их внимание на то, что для ответа на вопрос «на сколько больше (меньше)?» мы выделяем в большей совокупности такую часть предметов, которая равночисленна другой данной совокупности, и находим другую часть большей совокупности, т.е. выполняем вычитание.
Задание. Найдите в учебниках математики для начальных классов иллюстрации, которыми можно воспользоваться при формировании у учащихся представлений о смысле сложения и вычитания. Составьте вопросы для беседы с детьми по этим иллюстрациям и приведите предполагаемые ответы.
Учащиеся обычно не затрудняются при соотнесении предметных действий со сложением. Исключение – ситуации, связанные с объединением множеств, при характеристике которых используются слова, отождествляемые с вычитанием:
Пример. От куска отрезали 3 м, потом еще 2 м. Сколько всего отрезали?
При усвоении смысла вычитания для некоторых детей представляет сложность вычленение, удаление части множества (см. исследование Г. Микулиной «Психологические особенности усвоения смысла вычитания» / НШ, 1982 № 9; «Действия с предметами как основа усвоения математических понятий» / НШ, 1983, № 9).
По традиционной программе тема «Сложение и вычитание» изучается в течение всех лет обучения:
1 кл.-сложение и вычитание в пределах 10, 20;
2 кл.- в пределах 100;
3 кл.- в пределах 1000;
4 кл.- сложение и вычитание многозначных чисел.
2.2. Методика обучения сложению и вычитанию в пределах 10.
Задачи изучения темы:
1. разъяснить смысл действий сложения и вычитания;
2. познакомить с вычислительными приемами и сформировать умение их применять при составлении таблиц сложения и вычитания;
3. сформировать навыки табличного сложения и вычитания в тесной связи с усвоением состава чисел в пределах 10;
4. познакомить с названиями компонентов и результатов действий сложения и вычитания; рассмотреть сумму и разность как выражения;
5. разъяснить взаимосвязь между значением суммы и слагаемыми.
| Теоретическое обоснование | Способ действия | Таблицы сложения и вычитания |
| Принцип построения натурального ряда чисел | Присчитывание и отсчитывание по 1 | а+1, а-1 |
| Смысл сложения и вычитания | Присчитывание и отсчитывание по частям | а+2, а-2; а+3, а-3; а+4, а-4 |
| Переместительное свойство сложения | Перестановка слагаемых | а+5, а+6, а+7, а+8, а+9 |
| Взаимосвязь сложения и вычитания | Правило: если из значения суммы вычесть одно из слагаемых, то получится другое слагаемое | а-5, а-6, а-7, а-8, а-9 |
1. а±1
Начиная с первых уроков по изучению нумерации дети усваивают принцип образования натурального ряда чисел: последующее число получают из предшествующего присчитыванием 1, а предшествующее число получается из последующего отсчитыванием 1. Поэтому они свободно выполняют прибавление и вычитание 1 (без пересчитывания). Их следует подвести к выводу: прибавить число 1 к данному числу – значит назвать следующее за ним число; вычесть число 1 из данного числа – значит назвать предшествующее ему число.
На первом уроке, посвященном изучению операций сложения и вычитания, систематизируются знания учащихся по прибавлению и вычитанию числа 1, составляются и заучиваются таблицы «Прибавить 1», «Вычесть 1».
Учебник, М1М, ч.1, с. 72-73.
Беседа по иллюстрации сопровождается записью соответствующих равенств в тетради:
- На вышке было 10 лягушат. Сколько лягушат осталось на вышке, когда 1 спрыгнул в воду? (9). Почему? (10-1=9).
- Сколько лягушат останется на вышке, когда еще 1 спрыгнет в воду? (8). Почему? (9-1=8).
- Сколько лягушат станет после этого в воде? (2). Почему? (1+1=2).
Учитель обращает внимание на то, что каждый раз на вышке становится на одного лягушонка меньше, а количество лягушат в воде увеличивается.
Беседа по таблицам:
- Рассмотрите равенства в первом и во втором столбиках. Чем они похожи? Чем отличаются? Прочитайте равенства первого столбика. (К 1 прибавить 1, получится 2).
- Во всех равенствах первого столбика есть знак «+», который называется «плюс». Равенства первого столбика можно прочитать так: «1 плюс 1, равно 2». В этих равенствах выполняется действие сложения.
Дети упражняются в чтении остальных равенств.