Ограничения двухфакторного дисперсионного анализа для несвязанных выборок
1. У каждого фактора должно быть не менее двух градаций.
2. В каждой ячейке комплекса должно быть не менее двух наблюдаемых значений для выявления взаимодействия градаций.
3. Количества значений во всех ячейках комплекса должны быть равны для обеспечения равенства дисперсий в ячейках комплекса и для использования приведенного выше алгоритма расчетов; для неравномерных комплексов можно использовать алгоритмы Н.А. Плохинского (1970).
4. Комплекс должен представлять собой симметричную систему: каждой градации фактора А должно соответствовать одинаковое количество градаций фактора В.
5. Результативный признак должен быть нормально распределен в исследуемой выборке, в противном случае значимые различия будет выявить гораздо труднее и применение метода будет не вполне корректным.
6. Факторы должны быть независимыми. В рассмотренном примере скорость предъявления слов и их длина - внешне независимые факторы. В других случаях независимость факторов может быть подтверждена отсутствием корреляционной связи между переменными, выступающими в качестве факторов.
Двухфакторный дисперсионный анализ для связанных выборок
Назначение метода
Данный вариант двухфакторного дисперсионного анализа применяется в тех случаях, когда исследуется действие двух факторов на од-ну и ту же выборку испытуемых.
Описание метода
Допустим, мы измерили одни и те же показатели у одних и тех же испытуемых несколько раз - в разное время, в разных условиях, с помощью параллельных форм методики и т. п., и нам необходимо провести множественное сравнение показателей, изменяющихся при переходе от условия к условию. Критерий L Пейджа для анализа тенденций изменения признака и критерий χ2r Фридмана неприменимы, так как необходимо определить тенденцию изменения признака под влиянием двух факторов одновременно. Это позволяет сделать только дисперсионный анализ.
Фактически в данной модели дисперсионного двухфакторного анализа проверяются 4 гипотезы: о влиянии фактора А, о влиянии фактора В, о влиянии взаимодействия факторов А и В и о влиянии фактора индивидуальных различий.
В данном варианте дисперсионного анализа нам потребуются две рабочие таблицы, которые позволят рассчитывать сумму по разным комбинациям ячеек комплекса. Рассмотрим это на примере, являющемся продолжением примера из п. 3.3.
Пример
В выборке курсантов военного училища (юноши в возрасте от 18 до 20 лет) измерялась способность к удержанию физического волевого усилия на динамометре. В первый день эксперимента у них, наряду с другими показателями, измерялась мышечная сила каждой из рук. На второй день эксперимента им предлагалось выдерживать на динамометре мышечное усилие, равное '/2 максимальной мышечной силы данной руки. На третий день эксперимента испытуемым предлагалось проделать то же самое в парном соревновании на глазах у всей группы. Пары соревнующихся были подобраны таким образом, чтобы сила обеих рук у них примерно совпадала. Результаты экспериментов представлены в Табл. 8.5. Можно ли считать, что фактор соревнования в группе каким-то образом влияет на продолжительность удержания усилия? Подтверждается ли предположение о том, что правая рука более "социальна"?
Таблица 8.5
Длительность удержания усилия (сек/10) на динамометре правой и левой руками в разных условиях измерения (n=4)
| Код имени испытуемого | Наедине с экспериментатором (A1) | В группе сокурсников (A2) | ||
| Правая рука | Левая рука | Правая рука | Левая рука | |
| 1 Л-в 2 С-с 3 С-в 4 К-в | ||||
Заметим, что единицы измерения в Табл. 8.5 - это секунды, но в каждом случае количество секунд уменьшено в 10 раз. Это законный способ преобразования индивидуальных значений, направленный на облегчение расчетов. Для того, чтобы не оперировать трехзначными числами, мы можем разделить их на какую-либо константную величину или уменьшить их на какую-либо константную величину (подробнее см п. 7.2).
Преобразуем таблицу индивидуальных значений в две рабочие таблицы двухфакторного дисперсионного комплекса для связанных выборок (Табл. 8.6 и 8.7). Мы видим, что здесь приведены суммы индивидуальных значений отдельно по градациям фактора А (вне группы - в группе) и по градациям фактора В (правая рука - левая рука), по сочетаниям градаций А1В1, А1В2, А2В1, А2В2, а также суммы всех индивидуальных значений каждого испытуемого и общие суммы.
Таблица 8.6 Двухфакторный дисперсионный комплекс по оценке влияния фактора А (вне группы - в группе) и фактора В (правая - левая рука) на длительность удержания физического волевого усилия (сек/10) - вариант I
| Код имени испытуемого | A1 - вне группы | А2 - в группе | Индивидуальные суммы всех 4-х значений | ||||||||||
| B1 | B2 | Индивидуальные суммы по A1 (В1+В2) | B1 | B2 | Индивидуальные суммы по А2 (В1+В2) | ||||||||
| 1. Л-в 2. С-с 3. С-в 4. К-в | |||||||||||||
| Суммы по ячейкам | |||||||||||||
| Суммы по града- циям At и А? | |||||||||||||
| Общая сумма | |||||||||||||
Таблица 8.7
Двухфакторный дисперсионный комплекс по оценке влияния факторов А и В на длительность физического волевого усилия (сек/10) - вариант II
| Код имени испытуемого | B1 – правая рука | B2 – левая рука | Индивидуальные суммы всех 4-х значений | ||||||||||
| A1 | A2 | Индивидуальные суммы по B1 (A1+A2) | A1 | A2 | Индивидуальные суммы по B2 (A1+A2) | ||||||||
| 1. Л-в 2. С-с 3. С-в 4. К-в | |||||||||||||
| Суммы по ячейкам | |||||||||||||
| Суммы по града- циям At и А? | |||||||||||||
| Общая сумма | |||||||||||||
Мы видим, что в Табл. 8.7 фактически только две ячейки комплекса поменялись местами: A1B2 и A2B1. Это позволяет нам с большей легкостью подсчитать суммы по градациям B1и В2. Если бы 'мы пользовались только Табл. 8.6, то нам пришлось бы подсчитывать их "через столбец" и, кроме того, трудно было бы их куда-то подходящим образом записать. В дальнейшем при расчетах мы всякий раз будем указывать, к какой таблице лучше обратиться для извлечения нужных сумм, первой (I) или второй (II).
Установим некоторые величины, которые будут необходимы для расчёта критериев F.
Таблица 8.8
Величины, необходимые для расчета критериев F в двухфакторном дисперсионном анализе для связанных выборок
Теперь при расчетах будем лишь подставлять уже подсчитанные значения тех или иных величин. В случае, если какой-то из шагов в алгоритме расчетов будет не вполне ясен, можно вернуться к Табл. 8.8 и восстановить процедуры расчетов, или к Табл. 8.6 и Табл. 8.7, для того, чтобы вспомнить, почему мы подставляем в формулу ту или иную конкретную величину.
_____________
На самом деле в эксперименте участвовало 20 человек. В дисперсионный комплекс случайным образом отобраны 4 из них в целях упрощения расчетов. Результаты дисперсионного анализа по такой "усеченной" выборке совпадают с данными обработки всей выборки с помощью критерия χ2r.
Таблица 8.9
Последовательность операций в двухфакторном дисперсионном анализе для связанных выборок
Мы видим, что влияние факторов А и В, как каждого в отдельности, так и в их взаимодействии, незначимо. В то же время фактор индивидуальных различий между испытуемыми (Fи) оказался значимым (р<0,05). Мы видим из формы приведенного алгоритма, что этот индивидуальный источник вариативности с самого начала учитывается практически как третий фактор вариативности признака. Критерий F для факторов А и В вычисляется как отношение вариативности между градациями факторов к вариативности между испытуемыми в этих градациях.
На Рис. 8.3 индивидуальные изменения величин длительности физического волевого усилия представлены графически.
Рис. 8.3. Индивидуальные изменения длительности физического волевого усилия по четырем испытуемым
Как видно из Рис. 8.3, у одного испытуемого выше показатели по левой руке, у трех других - по правой. При измерении вне группы индивидуальные кривые ближе друг к другу, при измерениях в группе они расходятся. Можно было бы говорить об увеличении разброса индивидуальных значений при измерении длительности физического волевого усилия в группе, в атмосфере соревнования. Однако, несмотря на название, дисперсионный анализ выявляет влияние фактора не на рассеивание индивидуальных значений, а на среднюю их величину. Влияние же фактора на рассеивание признака можно уловить с помощью других критериев, в том числе непараметрических (Суходольский Г.В., 1972, с.341).
И все же представим полученный результат в принятой форме изменения средних значений по градациям факторов (Рис. 8.4).
Рис. 8.4. Изменения средних величин длительности физического волевого усилия при переходе от индивидуальных замеров к групповым (правая рука - сплошная линия, левая рука - пунктирная линия)
Если исследователя интересует в большей степени второй вопрос данной задачи, связанный с проверкой предположения о том, что правая рука более "социальна", то он может представить данные в иной группировке (Рис. 8.5).
Рис. 8.5. Изменения средних величин длительности физического волевого усилия при переходе от правой руки к левой (сплошная линия - измерения вне группы, пунктирная линия - измерения в группе)
Мы видим, что во втором, групповом, замере снижаются показатели и по правой, и по левой руке, но все же правая рука "держится" почти на уровне первого замера, в то время как левая рука в большей степени "сдается" под влиянием усталости в группе, чем вне группы. Можно было бы подтвердить предположение о большей "социальности правой руки, большая стабильность которой, возможно, отражает стремление поддержать "лицо" в ситуации соревнования в группе, но выявленные тенденции, как мы убедились, незначимы.