Производственные функции

Уравнения множественной регрессии широко применяются в построении производственных функций.

Производственная функция - функция, устанавливающая количественную связь между результатом (эффектом) некоторого производственного процесса и ресурсами, затраченными на eãî получение.

Под результатом чаще всего ïîнимается выпуск продукции некоторой производственной единицы - подразделения, предприятия, отрасли, региона, народного хозяйства в целом в натуральном или денежном выражении.

В рамках производственной функции ресурсы обычно называются факто­рами производства. Для отдельного предприятия или отрасли, выпускающей однородный продукт, производственные функции часто связывают объем вы­пуска в натуральных единицах с затратами рабочего времени по видам трудо­вой деятельности, различным видам сырья, энергии и т. д. (измеренными, как и выпуск, в натуральных единицах). Они отражают реально действующую технологию или спектр возможных технологий.

Формально производственная функция записывается в виде:

Y = F(x₁,...,x_n),

где Y- объем выпуска, х_i - объем i-го фактора производства.

Вид функции F определяются из теоретических представлений и имеющейся конкретной информации о моделируемом объекте.

Производственные функции народнохозяйственного уровня часто имеют вид: Y=F(K,L) или Y=F(K,L, t), где K и L характеризуют ресурсы (затраты) капитальных затрат и живого труда, а t -время, вводимое для описания воздействия прочих факторов, среди которых главную роль играет научно-технический прогресс.

Кривые описываемые уравнениями называются изоквантами, т. е. кривыми одинакового количества.

Наиболее часто используются производственная функция Кобба-Дугласа, производственная функция с постоянной эластичностью замещения (CES-функция), а также производственная функция леонтьевского типа и линейная производственная функция.

Производственные функции позволяют рассчитать ряд характеристик, описывающих различные стороны производственного процесса. Наиболее часто используются следующие характеристики.

1. Предельная производительность (предельный продукт) i-го фактора - . Показывает, на сколько увеличится выпуск при увеличении затрат i-го фактора на одну (малую) единицу и при неизменном количестве остальных факторов. обычно предельная производительность меньше средней: .

2. Частная эластичность выпуска по i-му фактору (частная факторная эластичность)

.

Показывает, на сколько процентов изменится выпуск при изменении затрат i-го фактора на 1% при неизменном количестве остальных факторов. Представляет собой отношение предельной и средней производительностей.

3. Предельная норма замещения i-го фактора j-м. Показывает количество j-го фактора, которое требуется для замены одной единицы i-го фактора при сохранении неизменного объема выпуска и неизменного количества остальных факторов:

.

4. Эластичность замещения i-го фактора j-м. Наряду с предельной нормой замены характеризует возможность замещения одного фактора другим. В случае двухфакторных производственных функций определяется по формуле:

.

Наиболее часто используемая производственная функция - производственная функция Кобба-Дугласа:

.

Рассмотрим ее основные свойства.

Предельная производительность факторов:

- капитала ,

- труда .

Предельная норма замещения:

- фактора L фактором K ,

- фактора K фактором L .

Эластичность замены между факторами K и L равна 1.

Эластичность выпуска продукции по капиталу и труду соответственно равны a и b:

,

.

Таким образом, увеличение капитала на 1% приведет к росту выпуска продукции на a процентов, а увеличение затрат труда на 1% приведет к росту выпуска на b процентов. Обе величины a и b принимают значения в интервале от 0 до 1, так как с одной стороны, они должны быть положительными, так как увеличение затрат производственных факторов должно вызывать рост выпуска продукции. С другой стороны они должны быть не больше единицы, так как разумно предположить, что рост объема выпуска происходит медленнее, чем рост производственных затрат, при прочих равных условиях.

Если (a +b)>1, то функция имеет возрастающий эффект от масштаба производства. Это означает, что если K и L увеличатся, например в k-раз, то Y возрастет в большей степени (т. е. больше чем в k-раз). Если (a +b)=1, то функция имеет постоянный эффект от масштаба производства, если (a +b)<1, то - убывающий эффект.

Соотношение показывает, на сколько процентов следует увеличить фактор L, чтобы компенсировать уменьшение фактора K на 1 % и сохранить неизменным объем выпуска Y.

Параметр А в функции Кобба-Дугласа характеризует эффективность экономической (производственной) системы. Если при прочих равных условиях параметр A в производственной функции для одной экономической системы выше, чем для другой, то первая может считаться более эффективной, так как равные затраты ресурсов обеспечивают в ней больший выпуск продукции, т. е. больший экономический эффект.

В связи с тем, что эффективность экономической системы, как правило, не остается постоянной на отрезке времени, для которого строится производственная функция, логично отражать эффективность в производственной функции не константой A, а переменным множителем A(t). В качестве простейшего способа учета возрастания экономической эффективности Я. Тинберген предложил функцию .

Таким образом, в случае, когда требуется отразить воздействие научно-технического прогресса на экономические процессы, следует использовать производственную функцию Кобба-Дугласа-Тинбергена:

.

Для оценка параметров производственных функций осуществляется их линеаризация. Далее применяется обычный метод наименьших квадратов.