Исследование полученного решения оптимизационной задачи
Практическое занятие
Применение MS Excel при решении задач оптимизации (поиск решения)
1. Составление плана выгодного производства
Постановка задачи
Предприятие производит 3 вида продукции А, В и С. Для их изготовления используются три вида ресурсов Р1, Р2, Р3, объемы которых ограничены. Известны потребности в ресурсах для выпуска единицы каждого вида продукции - нормы расхода ресурса на производство единицы продукции («ресурсные коэффициенты») (табл.1). Известна прибыль, получаемая от реализации единицы каждого вида продукции – «единичная прибыль». Реализация продукции А дает прибыль 60 $, В — 70 $ и С — 120 $ на единицу изделия. Заданы также граничные значения объемов выпуска каждого вида продукции (верхняя и нижняя границы).
Необходимо определить оптимальное количество выпуска каждого вида продукции, при котором будет получена максимальная общая прибыль.
Таблица 1
| Вид ресурса Pi | ресурсные коэффициенты (нормы расхода ресурса) rij | Запас ресурса (ограничения по ресурсам) | ||
| Продукция А | Продукция В | Продукция С | ||
| Р1 | ||||
| Р2 | ||||
| Р3 | ||||
| Единичная прибыль |
Математическая модель задачи представлена в виде набора уравнений:
Уравнение для целевой функции: ЦФ = ΣcjПj → max
В данном случае (j – вид продукции) это уравнение имеет вид:
(Итоговая общая прибыль)=60*ПА+70*ПВ+120*ПС → max
Здесь: ПА, ПВ, ПС – объемы производства продукции А, В и С, соответственно.
60, 70, 120 - коэффициенты целевой функции (целевые коэффициенты) сj. В данном случае ими являются значения единичной прибыли.
Ограничения на ресурсы:
(Расход ресурса 1) = (объем производства А) * (норма расхода ресурса 1 на А) + (объем производства В) * (норма расхода ресурса 1 на В) + (объем производства С) * (норма расхода ресурса 1 на С)
или для каждого вида ресурса:
Р1=1*ПА+1*ПВ+1*ПС ≤ 16
Р2=4*ПА+6*ПВ+10*ПС ≤ 100
Р3=6*ПА+5*ПВ+4*ПС ≤ 110
Ограничения на объемы производства по видам продукции:
1≤ПА≤4
ПВ≥2
ПС≥2
Порядок решения
1. Создайте таблицу как на рис.1. Введите данные и формулы в соответствии с условиями задачи.
для ячейки F5: =В5*$В$10+С5*$С$10+D5*$D$10. Скопируйте формулу в ячейки F6, F7.
Рис.1. Исходные данные
Для независимых переменных ПА, ПВ, ПС ячейки В10:D10 останутся пока пустыми. Их значения пока не известны и определятся в процессе решения задания.
Для заполнения 16-й строки (Общая прибыль) в ячейку В16 введите формулу =В8*В10 и скопируйте ее для ячеек С16 и D16.
В ячейку Е16 (Итоговая прибыль) введите формулу =СУММ(В16:D16).
2. Активизируйте режим Поиск решения и введите параметры, как на рис.2.
Целевая ячейка - Е16 (Итоговая прибыль). Задайте ее максимальное значение.
Изменяемые ячейки - B10:D10 (независимые переменные ПА, ПВ, ПС).
Установите ограничения на запас ресурсов $F$5:$F$7<=$E$5:$E$7 и простые ограничения на независимые переменные (рис.2).
Рис.2. Задание условий и ограничений для поиска решений
В Параметрах поиска решения задайте Линейную модель расчета. Далее ОК, Выполнить. Проанализируйте полученное решение максимизации итоговой прибыли при заданных ограничениях и сделайте выводы.
3. Сохраните созданный документ в рабочем листе под именем «План производства».
Исследование полученного решения оптимизационной задачи
Исследуйте чувствительность полученного решения к изменению различных параметров исходной модели. Для этого можно использовать предлагаемые в окне Результаты поиска решения отчеты: отчет по результатам, отчет по устойчивости, отчет по пределам (рис.1).
Рис.1.
Отчет по результатам. В таблице «План производства» очистите ячейки В10:D10 и снова запустите Поиск решения. Выведите отчет по Результатам. Отчет по результатам включает три таблицы (рис.2).
В таблице «Целевая ячейка» - исходное и окончательное (оптимальное) значение целевой функции.
В таблице «Изменяемые ячейки» - исходные и окончательные значения оптимизируемых переменных.
В таблице «Ограничения» - информация об ограничениях. В столбце «Значение» - оптимальные значения потребных ресурсов и оптимизируемых переменных. В столбце «Формула» - ограничения в форме ссылок на используемые ячейки.
Рис. 2. Отчет по результатам
Столбец «Статус» определяет - связанными или несвязанными являются ограничения. Ресурс Р2 является связанным (дефицитным), так как в решении используется полностью (без остатка).
Столбец «Разница» определяет остаток используемого ресурса (например, ресурс Р2 исчерпан). Для ограничений по оптимизируемым переменным (ПА, ПВ, ПС) указывается разность между оптимальным значением и границей. Если разность равна нулю, тогда объем производства продукции считается связанным (ПА – по верхней границе «4», ПВ – по нижней границе «2»).
Отчет по устойчивости. Очистите содержимое изменяемых ячеек В10:D10, запустите вновь Поиск решения и выберите Тип отчета – Устойчивость. В отчете содержится информация об изменяемых переменных и ограничениях модели - расходах ресурсов (рис. 3).
Рис. 3. Отчет по устойчивости для линейных задач
В столбце «Результирующее значение» - оптимальные значения изменяемых переменных. «Нормированная (редуцированная) стоимость» - это разность между единичной прибылью и оценкой снижения общей прибыли за счет отвлечения ресурсов для производства данного вида продукции, взятой по теневым ценам этих ресурсов:
(Нормир. стоимость продукции А) = (Единичная прибыль от А) – {(Теневая цена Р1) * (норма расхода Р1 на А) + (Теневая цена Р2) * (норма расхода Р2 на А) + (Теневая цена Р3) * (норма расхода Р3 на А)}
Для данного примера:
(Нормир. стоимость продукции А) = 60 – (0 * 1 + 12 * 4 + 0 * 6) = 12
(Нормир. стоимость продукции В) = 70 – (0 * 1 + 12 * 6 + 0 * 5) = - 2
(Нормир. стоимость продукции С) = 120 – (0 * 1 + 12 * 10 + 0 * 4) = 0
«Целевые коэффициенты» - показатели единичной прибыли от продукции данного вида.
«Допустимое увеличение и допустимое уменьшение» - допустимые изменения целевого коэффициента без изменения найденного решения (при сохранении без изменений всех остальных переменных) – оптимальных значений объемов производства.
Проверьте это утверждение, повторно решив задачу для любого значения коэффициента при переменной ПА в диапазоне [48, (60+1030)]. Здесь 48=60-12.
В столбце «Результирующее значение» - данные о потребностях в ресурсах для оптимального решения.
«Теневая цена ограничения» выражает размер изменения целевой функции при увеличении имеющегося объема ресурса на единицу (при условии, что все остальные переменные не изменятся).
«Ограничения» - ограничение на объем используемых ресурсов (сколько их имеется в наличии).
Последние два столбца содержат данные о возможном изменении объемов имеющихся ресурсов.
Увеличьте имеющийся запас Р2 на 25 ед. (допустимое увеличение составляет 28). Теневая цена Р2 равна 12. Максимальная итоговая прибыль должна увеличиться на 12*25=300, т.е. достигнуть значения 1244+300=1544. Проверьте это при повторном решении модели, внеся изменение в ячейку Е6 =125 (рис.4).
Рис.4. Решение, полученное после увеличения имеющегося объема ресурса Р2 на 25 единиц
Если теневая цена ресурса равна 0 (для недефицитных ресурсов Р1 и Р3), то при возможном увеличении или уменьшении его объема в указанных пределах максимальное значение итоговой прибыли не изменится. Поэтому, например, можно сократить имеющийся объем Р1 (=16) на 2,8 ед., не оказывая влияния на оптимальное решение. Таким же образом можно сократить имеющийся объем Р3 (=110) на 47,2 ед. без изменения максимальной итоговой прибыли.
Проверьте это утверждение при повторном решении модели, устанавливая в ячейке Е7 значение, равное 110-40=70, далее, значение, равное 110-60=50.
Сохраните таблицу под именем «План производства_2» на новом рабочем листе в виде как на рис.4.
Отчет по пределам. Очистите содержимое изменяемых ячеек В10:D10, запустите Поиск решения и выберите Тип отчета – Пределы (рис.5).
Рис.5. Отчет по пределам
Отчет содержит оптимальные значения целевой функции - прибыли и независимых переменных - объемов производства. Отчет также показывает, как изменится значение целевой функции, если независимые переменные будут принимать свои предельные (нижние и верхние) значения при условии, что остальные независимые переменные остаются без изменений и выполняются все ограничения.