Методика графического анализа чувствительности оптимального решения
Первая задача анализа на чувствительность
(анализ на чувствительность к правой части ограничений)
Для изготовления двух видов продукции Р1 и Р2 используют 4 вида ресурсов S1 , S2 , S3 и S4 .
Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в таблице (цифры условные).
| Вид ресурса | Запас ресурса | Число ед. ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции | |
| P1 | P2 | ||
| S1 | |||
| S2 | |||
| S3 | |||
| S4 |
Область допустимых решений задачи (рис.1) – многоугольник ABCDEF. В оптимальной точке D пересекаются прямые (1) и (2) х1+3х2=18 2х1+х2=16.
Поэтому ограничения (1) и (2) являются связывающими, а соответствующие им ресурсы (ингредиенты А и В) – дефицитными.
Рассмотрим экономический смысл этих понятий. Точка максимума целевой функции D соответствует суточному производству 6 единиц продукции 1 вида и 4 единиц продукции 2-го вида. В производстве красок используются ингредиенты А и В.
Суточный запас на складе ингредиентов S1 и S2 – это правые части связывающих ограничений (1) и (2) (18 и 16 ед.). Согласно этим ограничениям, на производство в точке D расходуется
(1) и 
(2).
| |
| |
| |
| |
|
|
|
|
|
|
Рис. 1. Графическое решение задачи
Таким образом, понятие "связывающие ограничения" (1) и (2) означает, что при производстве красок в точке D запасы ресурсов S1 и S2 расходуются полностью и по этой причине невозможно дальнейшее наращивание производства. В этом заключается экономический смысл понятия дефицитности ресурсов, т.е. если фирма сможет увеличить суточные запасы ресурсов, то это позволит увеличить выпуск продукции. В связи с этим возникает вопрос: до какого уровня целесообразно увеличить запасы ингредиентов и на сколько при этом увеличится оптимальное производство?
Правило 1
Чтобы графически определить максимальное увеличение запаса дефицитного ресурса, вызывающее улучшение оптимального решения, необходимо передвигать соответствующую прямую в направлении улучшения целевой функции до тех пор, пока это ограничение не станет избыточным.
При прохождении прямой (1) через точку К (рис. 2) многоугольник ABCKEF становится Областью допустимых решений, а ограничение (1) – избыточным. Действительно, если удалить прямую (1), проходящую через точку К, то ОДР ABCKF не изменится. Точка К становится оптимальной, в этой точке ограничения (2) и (4) становятся связывающими.
Рис. 2. Анализ увеличения ресурса S1
Правило 2
Чтобы численно определить максимальную величину запаса дефицитного ресурса, вызывающую улучшение оптимального решения,
необходимо:1) определить координаты точки 
, в которой соответствующее ограничение становится избыточным;
2) подставить координаты в левую часть соответствующего ограничения.
Координаты точки К (5,5;5) находятся путем решения системы уравнений прямых (2) и (3). Т.е. в этой точке фирма будет производить 5,5 ед. продукции P1 и 6 ед. продукции P1. Подставим 
и 
в левую часть ограничения (1) и получим максимально допустимый запас ингредиента S1
[ед.].
Дальнейшее увеличение запаса ингредиента А нецелесообразно, потому что это не изменит область допустимых решений и не приведет к другому оптимальному решению (см. рис. 2). Доход от продажи продкуции в объеме, соответствующем точке К, можно рассчитать, подставив ее координаты (5;6) в выражение целевой функции
[руб.].
Рассмотрим вопрос о целесообразности увеличения запаса ингредиента В. Согласно правилу №1, соответствующее ограничение (2) становится избыточным в точке J, в которой пересекаются прямая (1) и (4) (рис. 3). Многоугольник ABCDJF становится областью допустимых решений, а точка J(7; 
) – оптимальным решением.
|
Рис. 3. Анализ увеличения ресурса S2
Доход от продажи при этом составит
[руб.].
Чтобы обеспечить такой режим работы, согласно правилу № 2, запас ингредиента В надо увеличить до величины
[ед.].
Ограничения (3) и (4) являются не связывающими, т.к. не проходят через оптимальную точку D (см. рис. 1). Соответствующие им ресурсы являются недефицитными. С экономической точки зрения это означает, что в данный момент уровень спроса непосредственно не определяет объемы производства. Поэтому некоторое его колебание может никак не повлиять на оптимальный режим производства в точке D.
Например, увеличение (уменьшение) спроса на продукцию 2-го вида будет соответствовать перемещению прямой ограничения 
(3) вверх (вниз). Перемещение прямой (3) вверх никак не может изменить точку D максимума целевой функции. Перемещение же прямой (3) вниз не влияет на существующее оптимальное решение только до пересечения с точкой D (см. правило №3). Из рис. 1 видно, что дальнейшее перемещение (4) приведет к тому, что точка D будет за пределами новой области допустимых решений, выделенной более темным цветом. Кроме того, любое оптимальное решение для этой новой области допустимых решений будет хуже точки D.
Правило № 3
Чтобы определить максимальное уменьшение запаса недефицитного ресурса, не меняющее оптимальное решение, необходимо передвигать соответствующую прямую до пересечения с оптимальной точкой.
Правило № 4
Чтобы численно определить минимальную величину запаса недефицитного ресурса, не меняющую оптимальное решение, необходимо подставить координаты оптимальной точки в левую часть соответствующего ограничения.
Чтобы выяснить, до каких пределов падение спроса на продукции 2-го вида не повлияет на производство в точке D (6,4) , используем правило № 4. Подставляем в левую часть ограничения (3) координаты точки D, получаем
.
Делаем вывод: предельный уровень, до которого может упасть спрос на продукцию 2-го вида и при котором не изменится оптимальность полученного ранее решения, равен 4 ед.
Экономический смысл ограничения (4)
Согласно правилу №4, подставим координаты точки D (6,4) в левую часть ограничения (3)
[т краски].
Делаем вывод: предельный уровень, до которого может упасть спрос на продукцию 1-го вида и при котором не изменится оптимальность полученного ранее решения, равен 18 ед.
Результаты решения первой задачи анализа оптимального решения на чувствительность представлены в табл.
Таблица