Совокупностей (выборки независимые)

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий

Двух нормально распределенных генеральных

совокупностей (выборки независимые)

Задача проверки гипотезы о равенстве двух дисперсий на практике возникает довольно часто. Например, при анализе стабильности производственного процесса до и после введения технических усовершенствований (сравнивается колеблемость в выпуске продукции); при изучении точности измерительных приборов, инструментов, машин; при изучении степени однородности двух совокупностей в отношении какого-либо признака, например стажа рабочих; при сравнении рисков, связанных с отклонением доходности акций от ожидаемого уровня и т.д.

Пусть даны две генеральные совокупности Х и Y, которые имеют нормальный закон распределения. Есть основание предположить, что их генеральные дисперсии равны, то есть выдвинуть нулевую гипотезу Н₀: D(Х) = D(Y). Проверим эту гипотезу при заданном уровне значимости .

Для этого проведем независимые выборки из этих данных генеральных совокупностей с объемами, соответственно, равными n_x и n_y. По данным выборок находим оценки генеральных дисперсий - исправленные выборочные дисперсии , , которые будут несмещенными оценками, то есть и . Тогда нулевую гипотезу можно записать и так: Н₀: = .

Практически же исправленные дисперсии, как правило, будут различаться. Наша задача выявить существенно (значимо) или несущественно (незначимо) это различие, так как:

1) если нулевая гипотеза справедлива, то есть D(Х) = D(Y), то различие исправленных дисперсий случайное (незначимо), например, за счет случайного отбора элементов выборок;

2) если нулевая гипотеза отвергнута, то различие исправленных дисперсий существенное (значимо), оно является следствием того, что генеральные дисперсии различны.

Итак, необходимо выявить значимость различия исправленных дисперсий. Воспользуемся случайной величиной .

Покажем, что случайная величина F имеет распределение Фишера - Снедекора, если нормально распределенные признаки Х и Y имеют равные дисперсии. Примем для определенности, что является оценкой , а - оценкой .

Тогда .

Следовательно, если , то случайная величина F имеет распределение Фишера - Снедекора и степенями свободы. Здесь n₁ - объем выборки, по которой рассчитана , n₂ - соответственно, .

По выборочным данным находят . Далее нужно найти критическую точку F_крит и критическую область, которая строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Чаще всего выбирают конкурирующую гипотезу следующего вида:

Н₁: D(Х) > D(Y).

Эта конкурирующая гипотеза определяет правостороннюю критическую область , которая строится, исходя из требования (F > F_крит(a, k₁, k₂))= (здесь F_крит(a, k₁, k₂)=F_{крит. пр}(a, k₁, k₂)).

Рис. 1

Критическую точку F_крит(a, k₁, k₂) можно найти по таблице критических точек распределения Фишера - Снедекора (см. прил. 6). Далее сравниваем наблюдаемое и критическое значение критерия и делаем вывод.

При формулировке вывода руководствуются следующим правилом: если наблюдаемое значение критерия F_набл попало в область принятия гипотезы (F_набл < F_крит(a, k₁, k₂)) (рис. 1), то нет оснований отвергать нулевую гипотезу по данным наблюдения D(Х) = D(Y), и расхождение между исправленными выборочными дисперсиями случайное; если же наблюдаемое значение критерия F_набл попало в критическую область (F_набл > F_крит(a, k₁, k₂)), то нулевая гипотеза отвергается, а принимается конкурирующая гипотеза D(Х) > D(Y), то есть расхождение между исправленными выборочными дисперсиями значимо.

Замечание. При проверке гипотезы о равенстве генеральных дисперсий при заданном уровне значимости a контролируется лишь ошибка первого рода, но нельзя ничего сказать о степени риска, связанного с принятием неверной гипотезы , то есть с возможностью ошибки второго рода.

Пример 1. По двум независимым выборкам, объемы которых n_x = 9 и n_y = 16, извлеченным из нормально распределенных генеральных совокупностей Х и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии = 34,02 и = 12,15. При уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.

Решение. Совокупности Х и Y имеют нормальный закон распределения. Выдвигаем гипотезы:

Н₀: D(Х) = D(Y),

Н₁: D(Х) > D(Y).

Проверяется нулевая гипотеза по выборочным данным. С этой целью сделаны выборки объемами n_x = 9, n_y = 16 и найдены точечные оценки генеральных дисперсий: = 34,02 и = 12,15.

Гипотеза проверяется с помощью случайной величины , которая имеет распределение Фишера - Снедекора с k₁ = n_х - 1 = 8 и k₂ = n_y - 1 = 15 степенями свободы. Находим . По таблице критических точек распределения Фишера - Снедекора (прил. 6) находим F_крит(0,01; 8; 15) = 4,0. Сравниваем F_набл и F_крит(0,01; 8; 15). Так как F_набл < F_крит(0,01; 8; 15), то есть F_набл попало в область принятия гипотезы (рис. 2), то нет оснований отвергать нулевую гипотезу по данным наблюдения D(Х) = D(Y), а расхождение между исправленными выборочными дисперсиями случайное.

Пример 2. Для сравнения точности двух станков-автоматов взяты две пробы (выборки), объемы которых n₁ = 10 и n₂ = 8. В результате измерений контролируемого размера отобранных изделий получены следующие результаты:

x_i: 1,08; 1,10; 1,12; 1,14; 1,15; 1,25; 1,36; 1,38; 1,40; 1,42;

y_j: 1,11; 1,12; 1,18; 1,22; 1,33; 1,35; 1,36; 1,38.

Можно ли считать, что станки обладают одинаковой точностью при уровне значимости 0,05?

Решение. Признак Х - размер изделия, обработанного на первом станке-автомате. Признак Y - размер изделия, обработанного на втором станке-автомате. Пусть признаки имеют нормальный закон распределения. Выдвигаем гипотезы:

Н₀: D(Х) = D(Y),

Н₁: D(Х) > D(Y).

Проверим нулевую гипотезу по выборочным данным с помощью случайной величины , которая имеет распределение Фишера - Снедекора с и степенями свободы, где n₁ - объем выборки, по которой найдена .

Предварительно по выборочным данным вычислим исправленные выборочные дисперсии исследуемых признаков. Расчеты представим в таблице:

	xi	xi2	yj	yj2
	1,08 1,10 1,12 1,14 1,15 1,25 1,36 1,38 1,40 1,42	1,1664 1,21 1,2544 1,2996 1,3225 1,5625 1,8496 1,9044 1,96 2,0164	1,11 1,12 1,18 1,22 1,33 1,35 1,36 1,38 - -	1,2321 1,2544 1,3924 1,4884 1,7689 1,8225 1,8496 1,9044 - -
Итого	12,4	15,5458	10,05	12,7127

Найдем наблюдаемое значение критерия:

»1,51.

По таблице критических точек распределения Фишера - Снедекора (прил. 6) находим F_крит(a, k₁, k₂) = F_крит(0,05; 9, 7) = 3,68. Сравниваем F_набл и F_крит(0,05; 9; 7).

Так как F_набл < F_крит(0,05; 9; 7), то есть наблюдаемое значение критерия попало в область принятия гипотезы (рис. 2), нет оснований отвергать нулевую гипотезу по данным наблюдения D(Х) = D(Y), расхождение между исправленными выборочными дисперсиями случайное. Следовательно, по данным наблюдения станки обладают одинаковой точностью.