Производственная функция

Под производством понимается процесс взаимодействия экономических факторов, завершаемый выпуском какой-либо продукции. Пусть фирма производит только один вид продукции, используя n видов ресурсов (затрат). Обозначим через х_j количество ресурса (затрат) j-го вида, . Тогда любая возможная комбинация ресурсов (затрат) представляет собой n-мерный вектор`х = {x₁; … ; х_j; … ; x_n} ³ 0, называемый вектором затрат.

Зависимость между максимально возможным объемом выпуска за определенный промежуток времени и затратами ресурсов описывается производственной функцией. При этом ресурсы рассматриваются как аргументы, а выпускаемый продукт – как функция.

Обозначим через q – объем выпуска. Тогда производственную функцию можно записать в виде:

(28)

= {x₁; … ; x_i; … ; x_n} – величина векторная, .

Средние и маржинальные значения, а также эластичность производственной функции являются одними из основных характеристик, используемых в экономике.

1. Средней производительностью j-го ресурса, или средним выпуском по j-му ресурсу, называется величина

. (29)

2. Предельной (маржинальной) производительностью (предельным продуктом) j‑го ресурса называется частная производная производственной функции по переменной х_j.

. (30)

В приращениях функции и аргумента частную производную можно приближенно представить в виде

.

Следовательно, предельная производительность j-го фактора производства приближенно показывает, на сколько единиц увеличится объем выпуска при росте объема затрат j-го ресурса на одну единицу при неизменных объемах других ресурсов.

3. Отношение предельной производительности j-го ресурса к его средней производительности

(31)

называется эластичностью выпуска по j-му ресурсу (частной эластичностью выпуска).

В экономической теории для эластичности часто используется разностный аналог формулы (31):

. (32)

Из этой формулы следует, что эластичность выпуска по j-му ресурсу равна относительному изменению объема выпуска при изменении затрат этого ресурса на один процент.

4. Сумма всех эластичностей

(33)

называется эластичностью производства.

Производственная функция называется неоклассической, если она при удовлетворяет условиям:

1) или f (0;x₂) = f (x₁ ;0) = 0.

Это означает, что без ресурсов нет выпуска или, что при отсутствии хотя бы одного из ресурсов нет выпуска продукции.

2)

Свойство 2 содержательно означает, что с ростом затрат одного ресурса (любого) при неизменном количестве других ресурсов объем выпуска соответственно увеличивается (растет).

3) Производственная функция является строго вогнутой функцией, то есть

.

С точки зрения экономики свойство 3 означает, что с ростом затрат одного, например, j-го ресурса при неизменном количестве других ресурсов величина прироста выпуска (предельная производительность) на каждую дополнительную единицу j-го ресурса не растет (закон убывающей эффективности).

4)

Свойство 4 означает, что при росте одного ресурса предельная эффективность другого ресурса возрастает.

5) При неограниченном увеличении одного из ресурсов, например, х_i выпуск растет неограниченно, т.е.

.

6)

Свойство 6 означает, что производственная функция является однородной функцией степени р. Иными словами, при переходе от вектора затрат ресурсов к вектору объем выпуска изменяется в t^p раз. При р > 1 имеем рост выпуска в t^p раз с ростом масштаба производства в t раз; при р < 1 имеем снижение выпуска в t^p раз с ростом масштаба производства в t раз. При р = 1 имеем постоянную эффективность производства независимо от роста его масштаба.

Примечание. В прикладных задачах допускается использование производственных функций, удовлетворяющих ослабленным условиям монотонности и вогнутости:

.

Пример 12. Оцените возможность использования функции в качестве производственной:

Решение.

Условия положительного значения частных производных первого порядка (предельных производительностей) выполняются.

Условия отрицательности частных производных второго порядка выполняются.

Вывод. Функция может быть использована в качестве производственной.