Задачи для самостоятельной работы. Решить задачу управления производством и запасами в случае сезонного спроса

Решить задачу управления производством и запасами в случае сезонного спроса, построить график спроса и оптимальный график производства на 4 периода.

Спрос (по периодам)	Уровень запасов	Уровень запасов	Издержки хранения единицы запаса в течение одного периода	Издержки расширения производства на единицу продукции
2,3*					15*		3,7*

Задача продавца газет

В большинстве задач с запасами участвуют различные случайные величины: прежде всего спрос со стороны клиентов, затем сроки доставки товара поставщикам. В то же самок время вводятся издержки хранения, более того, товарам не дают залежаться, их пытаются распродать; наконец, такая задача может быть объектом математического рассмотрения лишь тогда. когда определены издержки от нехватки товара, убыток, проистекающий от неудовлетворенного спроса. Типичной является «задача продавца газет», где требуется найти оптимальное разовое поступление для удовлетворение вероятностного спроса.

Каждое утро в течении дней продавец газет покупает газеты по а у.д.е. за штуку. В течении дня может продать их за в у.д.е за штуку. На следующее утро нераспроданные газеты можно вернуть издателю по с у.д.е за штуку. Сколько газет стоит закупать ежедневно, чтобы, с одной стороны, не упустить выгоду, а с другой, не остаться в накладе из-за нераспроданных газет?

Пусть известен спрос на газет с вероятностью , а также заданы издержки хранения и дефицита .

Представим себе, что за промежуток времени , в течении которого наш запас совершает эволюцию, можно считать, что его изменения подчинены линейному закону. Представляются две возможности: либо запаса было достаточно, чтобы удовлетворить спрос , и к концу периода мы будем иметь остаток , либо запас был недостаточен, и мы зарегистрируем нехватку , что и представлено на рисунке 10.8.

Рисунок 10.8 – Ежедневное изменение уровня запаса газет

В первом случае средний запас, очевидно, равен

.

Так как есть вероятность того, что потребуется ровно газет, суммарные ожидаемые затраты определяются как

.

Теперь рассмотрим рис. 10.8 (б), где . Сначала учтем ту часть периода, в течение которой запасы оказываются достаточными. Доля периода, для которого это справедливо, равна , как следует из подобия треугольников. Средний уровень запасов при этом равен . Тогда для каждого значения затраты на эту часть периода составляют

.

Часть периода, когда спрос не удовлетворяется, равна . Средний дефицит . Тогда для каждого значения штраф за нехватку запасов составляет

.

Объединяя эти выражения, получим следующее уравнение цен:

. (10.17)

В данном случае производную взять не можем. Значит, требуется найти такое , что

и ,

очевидно, будет оптимальным количеством запаса, на котором можно остановиться.

Полагая в уравнении (10.17) , получим

.(10.18)

Преобразуем выражение (10.18):

(10.19)

Найдем , воспользовавшись формулами (10.19) и (10.17)

. (10.20)

Обозначим . Тогда

(10.21)

Точно так же, полагая в уравнении (10.17) получаем

.

Откуда

. (10.22)

Заметим, что - невозрастающая функция. Это можно показать следующим образом:

т.е.

.

Так как

имеем

. (10.23)

Следовательно, ожидаемые суммарные расходы минимальны, если в качестве взять , которое удовлетворяет неравенствам:

.

Поясним это утверждение на конкретном примере.

Пример. Один конструктор, выполняющий ежегодно заказ на небольшую серию машин, подметил, что спрос со стороны клиентуры на одну деталь, важную для этой машины, подчиняется нижеследующему распределению вероятностей (табл. 10.1):

Таблица 10.1.

Спрос (число деталей на выпущенную машину)											>9
Вероятность	0,01	0,05	0,08	0,12	0,16	0,16	0,18	0,14	0,08	0,02

Издержки хранения за деталь установлены в 100 франков, издержки от нехватки оцениваются в 1000 франков. Желательно подсчитать оптимальный запас этой отдельной детали на одну машину с тем, чтобы включить ее изготовление в изготовлении серии.

Замечание. Конструкция машин из года в год меняется, и упомянутая деталь совершенно специфична для данной серии.

Строим таблицу 10.2:

Таблица 10.2.

		0,01	-	0,2642	0,3121	0,01	0,1421
		0,05	0.05	0,2142	0,3213	0,06	0,3813
		0,08	0.04	0,1742	0,4355	0,14	0,5755
		0,12	0.04	0,1342	0,4697	0,26	0,7297
		0,16	0,04	0,0942	0,4239	0,42	0,8439
		0,16	0.032	0,0622	0,3421	0,58	0,9221
		0,18	0.03	0,0322	0,2093	0,76	0,9693
		0,14	0.02	0,0122	0,0915	0,90	0,9915
		0,08	0.01	0,0022	0,0187	0,98	0,9987
		0,02	0.002
>9	>9

Видим, что . В самом деле, и

.