Предпочтения потребителей

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА

Конспект лекций

для студентов направления подготовки

230700 «Прикладная информатика»

всех форм обучения

Кемерово 2013

Составитель М.А. Анисова, ст. преподаватель

Утверждено на заседании кафедры высшей и прикладной математики, протокол № 4 от 18.11.2013 года

Рекомендовано учебно-методической комиссией по математическим и информационным дисциплинам, протокол № 3 от 26.11.2013 года

Математическая экономика [Текст] : конспект лекций для студентов направления подготовки 230700 «Прикладная информатика» всех форм обучения / [сост. М.А. Анисова] ; Кемеровский институт (филиал) РГТЭУ. – Кемерово : Кемеровский институт (филиал) РГТЭУ, 2013. – 80 с.

Составлен в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования и примерной программой по дисциплине.

Предназначен для студентов, обучающихся по направлению подготовки 230700 «Прикладная информатика», всех форм обучения.

© Кемеровский институт (филиал) РГТЭУ, 2013

Содержание

Предисловие.………………………………………………….................
1. Модель поведения потребителя ……..……………………………...
1.1. Предпочтения потребителей ...……………………………….....
1.2. Функция полезности ………….………………………………....
1.3. Поверхности и кривые безразличия …………………………....
1.4. Предельный анализ и эластичность ……………………………
1.5. Модель поведения потребителя ……...…………………………
1.6. Геометрическая интерпретация задачи максимизации полезности ……………………………………………………………...
1.7. Аналитическое решение задачи максимизации полезности ….
1.8. Эффект компенсации. Уравнение Слуцкого …………………..
2. Модель поведения производителей …….………………………….
2.1. Производственная функция ………………………………….....
2.2. Реакция производителей на изменение условий ………………
2.3. Функции издержек ……………………………………………....
2.4. Модели установления равновесной цены ..……………………
3. Модели поведения фирмы на конкурентных рынках …….…..…..
3.1. Построение модели ……………………………………..…...…..
3.2. Несовершенная конкуренция …………………………………...
3.3. Совершенная конкуренция …...………………..………..………
3.4. Монополия ...……………………………………………………..
3.5. Задача на максимизацию прибыли ……………………………..
4. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики …….…………....
4.1. Балансовые соотношения ……………………..………..……….
4.2. Линейная модель многоотраслевой экономики ....…………….
4.3. Продуктивные модели Леонтьева ……………………………...
Вопросы для самоконтроля …….………………………..…………….
Список литературы……………………………………………..……….

Предисловие

«Математическая экономика» это математическая дисциплина, предметом которой являются модели экономических объектов и процессов и методы их исследования. Однако понятия, результаты, методы этой дисциплины удобно и принято излагать в тесной связи с их экономическим происхождением, интерпретацией и практическим приложениями. Особенно существенна связь с экономической наукой и практикой.

Целью математической экономики является математически формализованное описание экономических объектов, процессов и явлений. Для составленных моделей математические методы позволяют четко, просто, строго и обобщенно формулировать ключевые теоретические положения и делать на их основе практические выводы.

Наряду с простейшими геометрическими методами в рамках математической экономики применяются методы интегрального и дифференциального исчисления, матричной алгебры, математического программирования, прочие вычислительные методы, составляются и решаются рекуррентные и дифференциальные уравнения.

Данный конспект лекций по дисциплине «Математическая экономика» содержит краткое изложение основных теоретических разделов курса, соответствующих программе дисциплины.

Модель поведения потребителя

Предпочтения потребителей

В теории потребления потребителями называются отдельные лица или группы лиц с общим доходом, расходуемым на потребление товаров и услуг. Целью (предметом) теории потребления является изучение поведения отдельного потребителя с точки зрения рационального распределения его личностного бюджета J. Основу теории потребления составляет модель поведения потребителя, которая позволяет получить индивидуальную функцию спроса потребителя, зависящую от рыночных цен и бюджета (дохода) J. Индивидуальная функция потребителя позволяет решить вопрос о том, какое количество каждого наличного товара он должен приобрести при заданных ценах и известном доходе J.

Для получения математической модели задачи потребителя необходимо формализовать такие понятия, как товар, цель потребления товаров, цена товара, бюджет и покупательская способность потребителя.

Будем предполагать, что количество каждого товара можно измерять вещественным неотрицательным числом (в штуках, в килограммах, в метрах, в литрах, в человеко-часах и т.д.). Пусть на рынке производится и продается n видов товаров. Вид товара будем обозначать индексом i, так что i = 1,…, n. Обозначим через количество i-го товара. Вектор будем называть набором товаров. Если в наборе для некоторых i x_i = 0, то будем говорить, что товар вида i не приобретается данным потребителем. Поэтому множество будем называть пространством товаров. Заметим, что на количество товаров не накладываются ограничения сверху. Иначе говоря, мы предполагаем, что на рынке существует достаточное количество товаров. Иногда в выделяется некоторое подмножество Х, как множество реально применяемых товаров, на котором определены интересы данного потребителя. В наборы товаров можно складывать между собой или умножать на неотрицательное число; в вычитание невозможно, если при этом получается отрицательное количество товара. Человек приобретает (покупает) товары с целью максимального удовлетворения своих потребностей. У каждого есть свои вкусы, каждый по своему оценивает пользу или вред от потребления товара. Поэтому потребитель стремится выбрать в пространстве «лучший» с его индивидуальной точки зрения товар. При сравнении двух наборов и одни предпочтут , другие .

Для того чтобы формализовать выбор потребителя с учетом его цели, в пространстве определим (индивидуальное) отношение предпочтения, обозначаемое символом . При помощи этого отношения любой набор можно сравнить с другим набором . Запись означает, что либо предпочтительнее чем , либо наборы и для потребителя безразличны (то есть по крайней мере так же хорош, как и ). Заметим, что в отношении набор товаров рассматривается как одно целое (в отличие от векторного неравенства , понимаемого покомпонентно).

Строгое предпочтение имеет место, если и только если , а несправедливо. Говорят, что наборы и безразличны для данного потребителя (обозначают ) тогда и только тогда, когда и . Индивидуальное отношение ~ можно рассматривать как отображение, которое каждому набору ставит в соответствие множество всех тех наборов товаров, которые связаны с отношением безразличия. Таким образом, отношение безразличия разбивает все пространство на классы эквивалентности (безразличия).

Исходя из логики сравнения товаров, потребуем, чтобы отношение удовлетворяло следующим аксиомам:

а.1) рефлексивность: для любого справедливо ;

а.2) транзитивность: для любого , таких, что , справедливо ;

а.3) полнота: для любых либо , либо , либо .

Кроме того, для отношения безразличия должна иметь место аксиома симметричности: из следует .

Приведем примеры конкретных отношений предпочтения и безразличия.

Пример 1. Для сравнения любых наборов предварительно проведем ранжировку (упорядочение) компонентов этих векторов (то есть видов товаров) по важности для данного потребителя: товар вида i важнее, чем товар вида i + 1, i = 1, …, n-1. После этого определим отношение следующим образом: , если выполнено одно из n + 1 условий:

1) ;

2) , ;

………………………

n) ,…, , ;

n+1) ,……………, .

Такое отношение называется лексикографическим предпочтением, так как оно определено по правилу составления списка наименований по алфавиту. Самостоятельно покажите, что отношение лексикографического предпочтения удовлетворяет аксиомама.1), а.2), а.3).

Пример 2. Пусть , а , - такой набор, что для каждого найдется хотя бы один индекс i, для которого x_i>y_i. Для такого набора определим отношение безразличия следующим образом: , если не имеет место для всех i = 1, …, n, причем хотя бы одно неравенство строгое. Это отношение безразличия порождает в Х множество эквивалентности , называемое множеством Парето.

Отношение предпочтения на практике выявляется экспериментальным путем, сравнивая наборы товаров попарно и спрашивая потребителя, какой набор он предпочитает. Реально такую работу можно провести в случае небольшого числа товаров. Предпочтение потребителя изменчиво и зависит от многих условий: цен товара, его дохода, имеющегося у него запаса товаров, сезона, состояния здоровья, настроения и т.д. Поэтому нельзя раз и навсегда закрепить за потребителем неизменные принципы предпочтения. Следовательно, при повторном моделировании поведения потребителя его предпочтение нужно формализовать заново «с учетом изменившихся условий». В принципе нет ничего сложного в том, чтобы взять два набора товаров и спросить потребителя, который из них он предпочитает, и в результате последовательного опроса найти искомую закономерность. Гораздо сложнее выявить предпочтение целой группы людей или общества, так как невозможно по каждой паре наборов товаров проводить голосование или референдум и ожидать, что результаты будут однозначными.

Функция полезности

Функция полезности должна быть построена с учетом всех тех объективных и субъективных условий, которые влияют на предпочтение потребителя. Эта функция строится сугубо на основе отношения предпочтения, то есть каждому отношению предпочтения соответствует своя функция полезности.

В микроэкономическом анализе при построении модели поведения потребителя делается предположение, что каждый потребитель способен сделать выбор между любыми двумя возможными наборами товаров (благ), то есть указать, какой из них предпочтительнее, или сделать заключение об их равноценности.

Итак, пусть имеем экономику, которая выпускает n видов товаров, доступных потребителю. Тогда любой возможный набор товаров представляет собой n-мерный вектор:

, , ,

в котором x_i – объем потребления товара вида i.

Если учитывать способности индивидуального потребителя к выбору товаров, то получаем индивидуальную функцию полезности потребителя. Обозначим ее через :

, , .

Каждая функция полезности зависит от векторного аргумента и определена на неотрицательном операторе .

Индивидуальная функция полезности отражает вкусы и предпочтения данного потребителя в следующем смысле:

если , , , и , , два возможных набора благ, то

1) в том и только в том случае, если набор не хуже набора для потребителя и

2) если, и только если наборы и равноценны для потребителя.

Функции полезности служат для ранжирования потребителем всевозможных наборов благ по уровню удовлетворения, который они ему доставляют.

Предельной полезностью товара i называется частная производная функции полезности по переменной x_i. Обозначается .

Значит, , . (1)

При фиксированном , величина позволяет судить, на сколько увеличится или уменьшится уровень полезности при незначительном изменении потребления i - того товара, если объемы потребления других товаров останутся неизменными.

Экономический смысл функции полезности предъявляет к ней ряд естественных требований. Значит, не любая функция может выступать в качестве функции полезности.

В неоклассической теории потребления обычно принимаются следующие основные гипотезы относительно функции полезности:

1. строго монотонно возрастает по каждой переменной, то есть предельные полезности для всех , :

(2)

Гипотеза строгой монотонности содержательно означает, что увеличение потребления любого блага ведет к повышению уровня полезности. Её называют аксиомой ненасыщения.

2. является строго вогнутой функцией при .

Гипотеза строгой вогнутости означает, что

при , . (3)

Экономический смысл неравенств (3) выражается законом Госсена: предельные полезности убывают с ростом потребления любого блага.

3. , , . (4)

Это свойство означает, что предельная полезность каждого продукта увеличивается с ростом количества другого продукта.

Пример 3. Оценить возможность использования функции , x₁>0; x₂>0 в качестве функции полезности.

1. ; x₁>0, x₂>0 .

2. , .

3. , .

4. .

Так как условия 2, 3, 4 функции нарушены, то она не может быть использована как функция полезности.

Ответ: не является функцией полезности.

Пример 4. Оценить возможность использования функции , x₁>1; x₂>1 в качестве функции полезности.

1. Если x₁>1; x₂>1, то .

2. ; .

3. .

4. .

Ответ: Функцию можно использовать как функцию полезности.