Предельная норма замещения

Предположим, например, что имеется пять наборов товаров

x₁ = (1;16), x₂ = (2;10), x₃ = (3;6), x₄= (4;4), x₅ = (5;2)

с одинаковой полезностью, то есть u(x₁) = … =u(x₅). Пусть первый вид товара (i = 1) – продукт питания, второй (i = 2) – одежда. Эти точки лежат на одной кривой безразличия u(x) = C (рис. 4). Как видно из графика, замена набора x₁ набором x₂ требует отказа от 6 единиц одежды взамен на одну единицу продукта питания; замена x₂ на x₃ отказа от 4 единиц одежды ради одной единицы продукта питания и т.д. Чтобы количественно определить объем некоторого товара, которым потребитель готов пожертвовать ради другого товара, используют меру, называемую предельной нормой замещения. Более точно, предельная норма замещения показывает, на сколько единиц нужно уменьшить (увеличить) количество одного товара при увеличении (уменьшении) другого товара на единицу, чтобы при этом полезность осталась неизменной.

Рис. 4. Замещение наборов товаров

Обозначим предельную норму замещения i-го товара j-м товаром через R_ij и выведем формулу для ее вычисления.

Пусть при уменьшении потребления j-го товара на величину для поддержания прежнего уровня полезности необходимо увеличить потребление i-го товара на величину :

где , . По определению предельной нормы замещения

, i;j=1,…,n. (9)

Отношение (9) показывает, на сколько индивидуум должен увеличить (уменьшить) потребление другого продукта, если он уменьшил (увеличил) потребление первого продукта на одну единицу без изменения уровня удовлетворения своих потребностей.

Геометрически означает, что точки x₁, x₂, …, x₅ принадлежат одной и той же линии безразличия. Поэтому дробь принято называть нормой замены первого продукта i вторым продуктом j на потребительском наборе (x_i, x_j).

Из дифференциального анализа известно, что:

,

Тогда с учетом (9) получаем:

, i;j=1,…,n. (10)

Таким образом, предельная норма замещения товаров выражается через отношение их предельных полезностей взятое со знаком минус.

Например, для функции Кобба-Дугласа

, ,

имеем:

, i, j = 1,…, n, .

Из закона об убывающей предельной полезности ( ) следует выпуклость кривых безразличия (не путать с вогнутостью функции ). Поэтому при движении вниз вдоль кривой безразличия (рис. 4) предельная норма замещения R₁₂ убывает:

R₁₂(x₁) = 6, R₁₂(x₂) = 4, R₁₂(x₃) = 2, R₁₂(x₄) = 2.

Этот факт в экономике называется законом убывающей предельной нормы замещения: при стремлении поддерживать неизменным уровень полезности путем замещения i-го товара j-м товаром, субъективное удовлетворение, получаемое от предельного потребления i-го товара, в сравнении с удовлетворением, получаемым от предельного потребления товара j, будет неуклонно уменьшаться.

Формы кривых безразличия показывают на разные степени желательности замены одного товара другим. Пусть кривые безразличия для двух различных потребителей относительно напитка (i=1) и сока (i=2) имеют следующий вид (рис. 5 и 6):

Рис. 5. Предпочтения Рис. 6. Предпочтения

первого потребителя второго потребителя

У первого потребителя (рис.5) низкая предельная норма замещения напитка соком - он готов отказаться от очень небольшого количества сока ради напитка ( ).

У второго потребителя (рис.6), наоборот, высокая предельная норма замещения напитка соком ( ).

Предельная норма замещения применяется при изучении спроса (например, что нужнее в данный момент для домашнего хозяйства, один диван или два кресла; насколько нужно жертвовать технической характеристикой автомобиля ради увеличения комфорта и т.д.).