Производная и дифференциал

Определение 1. Пусть функция Производная и дифференциал - student2.ru определена на множестве Производная и дифференциал - student2.ru , точки Производная и дифференциал - student2.ru и Производная и дифференциал - student2.ru . Производной функции Производная и дифференциал - student2.ru в точке Производная и дифференциал - student2.ru называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при Производная и дифференциал - student2.ru (при условии, что этот предел существует): Производная и дифференциал - student2.ru .

Определение 2.Функция Производная и дифференциал - student2.ru называется дифференцируемой в точке Производная и дифференциал - student2.ru , если её приращение в этой точке можно представить в виде Производная и дифференциал - student2.ru , где Производная и дифференциал - student2.ru – вещественное число, Производная и дифференциал - student2.ru .

Теорема 1.Для того чтобы функция Производная и дифференциал - student2.ru являлась дифференцируемой в точке Производная и дифференциал - student2.ru , необходимо и достаточно, чтобы Производная и дифференциал - student2.ru .

Определение 3. Дифференциалом Производная и дифференциал - student2.ru функции Производная и дифференциал - student2.ru в точке Производная и дифференциал - student2.ru называется главная линейная относительно Производная и дифференциал - student2.ru часть приращения функции в этой точке: Производная и дифференциал - student2.ru .

Определение 4. Дифференциалом Производная и дифференциал - student2.ru независимой переменной называется приращение Производная и дифференциал - student2.ru этой переменной: Производная и дифференциал - student2.ru .

Основные правила вычисления производных

1. Если функции Производная и дифференциал - student2.ru , Производная и дифференциал - student2.ru дифференцируемы в точке Производная и дифференциал - student2.ru , то сумма (разность), произведение и частное (при условии Производная и дифференциал - student2.ru ) этих функций также дифференцируемы в точке Производная и дифференциал - student2.ru , причем справедливы следующие формулы:

Производная и дифференциал - student2.ru , Производная и дифференциал - student2.ru , Производная и дифференциал - student2.ru .

2. Если функция Производная и дифференциал - student2.ru дифференцируема в точке, а Производная и дифференциал - student2.ru – число, то Производная и дифференциал - student2.ru .

3. Пусть функция Производная и дифференциал - student2.ru имеет производную в точке Производная и дифференциал - student2.ru , а функция Производная и дифференциал - student2.ru имеет производную в точке Производная и дифференциал - student2.ru . Тогда сложная функция Производная и дифференциал - student2.ru имеет производную в точке Производная и дифференциал - student2.ru и справедлива формула: Производная и дифференциал - student2.ru .

4. Если функция Производная и дифференциал - student2.ru определена, непрерывна и строго монотонна на отрезке Производная и дифференциал - student2.ru , то у нее существует обратная функция Производная и дифференциал - student2.ru , производная которой вычисляется по формуле: Производная и дифференциал - student2.ru .

Таблица производных элементарных функций

1. Производная и дифференциал - student2.ru 2. Производная и дифференциал - student2.ru 3. Производная и дифференциал - student2.ru , Производная и дифференциал - student2.ru
4. Производная и дифференциал - student2.ru 5. Производная и дифференциал - student2.ru , Производная и дифференциал - student2.ru 6. Производная и дифференциал - student2.ru
7. Производная и дифференциал - student2.ru , Производная и дифференциал - student2.ru 8. Производная и дифференциал - student2.ru 9. Производная и дифференциал - student2.ru
10. Производная и дифференциал - student2.ru 11. Производная и дифференциал - student2.ru 12. Производная и дифференциал - student2.ru
13. Производная и дифференциал - student2.ru 14. Производная и дифференциал - student2.ru 15. Производная и дифференциал - student2.ru

Основные правила вычисления дифференциалов

1. Если функции Производная и дифференциал - student2.ru , Производная и дифференциал - student2.ru дифференцируемы в точке Производная и дифференциал - student2.ru , принадлежащей их общей области определения, то сумма (разность), произведение и частное (при условии Производная и дифференциал - student2.ru ) этих функций также дифференцируемы в этой точке, причем справедливы следующие формулы:

Производная и дифференциал - student2.ru , Производная и дифференциал - student2.ru , Производная и дифференциал - student2.ru .

2. Если функция Производная и дифференциал - student2.ru дифференцируема в точке Производная и дифференциал - student2.ru , а Производная и дифференциал - student2.ru , то Производная и дифференциал - student2.ru .

3. Пусть функция Производная и дифференциал - student2.ru дифференцируема в точке Производная и дифференциал - student2.ru , а функция Производная и дифференциал - student2.ru дифференцируема в точке Производная и дифференциал - student2.ru . Тогда сложная функция Производная и дифференциал - student2.ru дифференцируема в точке Производная и дифференциал - student2.ru и справедлива формула: Производная и дифференциал - student2.ru .

Таблица дифференциалов элементарных функций



1. Производная и дифференциал - student2.ru 2. Производная и дифференциал - student2.ru , Производная и дифференциал - student2.ru 3. Производная и дифференциал - student2.ru
4. Производная и дифференциал - student2.ru , Производная и дифференциал - student2.ru 5. Производная и дифференциал - student2.ru 6. Производная и дифференциал - student2.ru , Производная и дифференциал - student2.ru
7. Производная и дифференциал - student2.ru 8. Производная и дифференциал - student2.ru 9. Производная и дифференциал - student2.ru
10. Производная и дифференциал - student2.ru 11. Производная и дифференциал - student2.ru 12. Производная и дифференциал - student2.ru
13. Производная и дифференциал - student2.ru 14. Производная и дифференциал - student2.ru  

Пример 1.Вычислить производную функции Производная и дифференциал - student2.ru .

Решение. Производная и дифференциал - student2.ru .

Пример 2.Найти первый дифференциал функции Производная и дифференциал - student2.ru в точке Производная и дифференциал - student2.ru .

Решение. 1) Вычислим производную функции Производная и дифференциал - student2.ru : Производная и дифференциал - student2.ru .

2) Вычислим значение производной функции Производная и дифференциал - student2.ru в точке Производная и дифференциал - student2.ru : Производная и дифференциал - student2.ru .

3) Тогда Производная и дифференциал - student2.ru .

Уравнение касательной к графику функции Производная и дифференциал - student2.ru в точке Производная и дифференциал - student2.ru :

Производная и дифференциал - student2.ru .

Геометрический смысл производной: значение производной функции Производная и дифференциал - student2.ru в точке Производная и дифференциал - student2.ru равно тангенсу угла наклона к положительному направлению оси Производная и дифференциал - student2.ru касательной к графику этой функции в точке Производная и дифференциал - student2.ru .

Пример 3. Составить уравнение касательной к графику функции Производная и дифференциал - student2.ru в точке Производная и дифференциал - student2.ru .

Решение. 1) Вычислим Производная и дифференциал - student2.ru при Производная и дифференциал - student2.ru : Производная и дифференциал - student2.ru .

2) Вычислим значение производной функции Производная и дифференциал - student2.ru в точке Производная и дифференциал - student2.ru : Производная и дифференциал - student2.ru .

3) Составим уравнение касательной: Производная и дифференциал - student2.ru или Производная и дифференциал - student2.ru .

Экономический смысл производной: производная объёма произведенной продукции по времени Производная и дифференциал - student2.ru есть производительность труда в момент Производная и дифференциал - student2.ru .

Наши рекомендации