Модель спроса и предложения Гудвина

Если посмотреть на равенства (41), мы увидим, что продавцы ориентируются на цену предшествующего периода ( ), ожидают сохранения этой цены, но на практике то и дело разочаровываются в своих ожиданиях: ведь если в течение одного периода цена была выше равновесной, то в следующем периоде она может оказаться ниже равновесной. И модель предполагает, что продавцы ничему не научились.

Гудвин предложил модификацию данной модели, в которой под влиянием опыта ожидания продавцов меняются:

, (42)

- это прирост цены по сравнению с периодом ;

- параметр .

По этой модели продавцы ожидают изменения цены в направлении, противоположном тому, в котором она изменялась в предыдущий период. В соответствии с такой посылкой функция предложения примет вид:

.

Паутинообразная модель

На основе теории полезности известно, что функция спроса на товар есть убывающая функция цены.

На основе теории фирмы было установлено, что функция предложения однопродуктовой фирмы при максимизации прибыли является возрастающей функцией цены.

Рассмотрим рынок с одним-единственным продуктом, спрос на который характеризуется убывающей функцией совокупного спроса , а предложение – возрастающей функцией совокупного предложения .

Предполагается, что функции и для всех р:

1) определены;

2) непрерывны;

3) , ;

4) , .

Состояние равновесия характеризуется равенством спроса и предложения:

.

В силу сделанных предположений 1 – 4 это уравнение имеет единственное оптимальное решение , так что состояние равновесия

единственно.

На рис. 12 показаны графики функций спроса и предложения при сделанных предположениях.

Рис. 12. Паутинообразная модель

Паутинообразная модель позволяет реализовать процесс поиска равновесной цены. Пусть в начальный момент времени установлена начальная цена , при этом спрос оказался меньше предложения, т.е. , тогда понижаем цену до уровня, при котором спрос равен предложению при первоначальной цене .

При новой цене спрос превышает предложение , поэтому повышаем цену до уровня , при котором , и так далее. Таким образом, как видно из рис. 12, процесс, описываемый рекуррентным соотношением , , сходится.

На рис. 12 функция - выпуклая, а функция - вогнутая. Если бы была выпуклой функцией, то описанный процесс был бы расходящимся, хотя имелось бы единственное решение уравнения равенства спроса и предложения.

Модель Эванса

В модели Эванса рассматривается рынок одного товара. Время t считается непрерывным.

Введем обозначения:

- цена единицы товара в момент времени t;

- совокупный спрос в момент времени t;

- совокупное предложение в момент времени t.

Предполагается, что спрос и предложение являются линейными функциями цены:

, ( , , спрос с ростом цены убывает)

, ( , , предложение с ростом цены растет).

Естественно считать, что (так как при нулевой цене спрос превышает предложение).

Итак,

, , ,

, , ,

.

Основное предположение модели состоит в том, что изменение цены пропорционально превышению спроса над предложением:

, . (43)

Из равенства (43) следует, что потребители и производители взаимодействуют так, чтобы цена непрерывно приспосабливалась к ситуации на рынке. В случае превышения спроса над предложением цена возрастает, в противном случае – падает.

Чтобы иметь равновесную цену, спрос должен равняться предложению. Из следует, что

, ,

- стационарная равновесная точка.

Равновесная цена есть абсцисса точки пересечения прямых спроса и предложения.

Примечание. Из , , t – непрерывно следует, что или

.

Если , , то и ,

или

, (44)

есть дифференциальное уравнение первого порядка.

Решение.

1. Метод подстановки: ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ; ;

6. ; ; ;

7. ;

; ;

8. ;

9. ; ;

10. ;

11. Вычислим частное значение С при , :

; .

Окончательный ответ:

.

Рис.13. Дискретный аналог модели Эванса

Решением дифференциального уравнения (44) является формула вычисления цены р в момент времени t:

.

Дискретный аналог модели Эванса представлен на рис. 13.

На рисунке 13 изображены прямые совокупного спроса и предложения и показан механизм возникновения последовательности , возрастающей от начальной цены , при которой спрос не равен предложению, к равновесной цене , при которой спрос равен предложению.

Все время разбито на интервалы длиной , цена в момент равна

,

где .