Уравнение прямой проходящей через две данные точки

Из параметрических уравнений прямой выразим параметр t.

Получим:

– уравнение прямой проходящей через данную точку с данным направляющим вектором (каноническое уравнение).

В пространстве уравнение (2) примет вид:

Пусть на прямой даны две точки ( , ) и ( , ).

Тогда

= = ( ‒ ; ‒ ).

Подставим его координаты в формулу (2).

Получим:

– уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

В пространстве это уравнение примет вид:

Угловой коэффициент прямой.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку

С данным угловым коэффициентом.

Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона прямой, образованный ею с положительным направлением оси OX.

k= α, a≠ 90⁰

Пусть на прямой даны две точки М₁(х_1, y₁), M₂ (х_2, y₂).

Найдем угловой коэффициент этой прямой. Из ∆М₁M₂С получим

т.е.

– формула углового коэффициента прямой по координатам.

Заменим точку М₂(x, y) на произвольную точку M(x, y) и подставим ее координаты в формулу (1).

Получим:

Из формулы (2) следует

y ‒ y₁= k × (x ‒ x₁)

– уравнение прямой проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку

С данным нормальным вектором (нормалью).

Нормальным вектором прямой(нормалью) называется любой вектор перпендикулярный данной прямой.

Обозначается = (a, b).

Пусть на прямой дана точка М₁ (x_1,y₁) и дан нормальный вектор прямой = (a, b).

Пусть М (x_, y) произвольная точка прямой.

Тогда вектор перпендикулярен вектору . Следовательно, их скалярное произведение × = 0.

Запишем это равенство в координатной форме.

Так как = (а; b) и = (x –x₁; y –y₁), то равенство × = 0, согласно формуле, × = x₁× x₂+ y₁× y₂, в координатной форме примет вид:

a·(x–x₁) + b·(y–y₁) = 0

– уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным нормальным вектором.

Общее уравнение прямой.

Раскроем скобки в уравнении a·(x‒x₁)+ b·(y‒y₁)=0.

Следовательно, ax ‒ ax₁+ by ‒ by₁ = 0 или ax + by +(‒ ax₁‒ by₁) = 0.

Обозначим ‒ ax₁ - by₁=с,

тогда получим общее уравнение прямой:

ax + by + с = 0

– общее уравнение прямой.

Выразим из общего уравнения прямойyчерез x:

Следовательно,

‒ формула углового коэффициента по координатам нормального вектора.

Вопрос 2. Формула угла между прямыми.

Угол между прямыми: ; равен углу между их нормальными векторами, т. е.

Ð( ) = Ð( ).

Воспользовавшись формулой скалярного произведения векторов, получим:

Тогда

Если прямые заданные уравнениями:

; ,

тогда

Следовательно,

По формулам (1) или (2) находят угол между прямыми.