Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений

Как известно, уравнения с двумя переменными вида

описывают на координатной плоскости Оху прямую. Система двух уравнений такого вида означает, что ее решения как точ­ки на координатной плоскости должны принадлежать одновре­менно двум прямым, соответствующим уравнениям этой сис­темы. Отсюда возможны следующие варианты: а) обе прямые пересекаются, и тогда система имеет единственное решение; б) прямые параллельны, и система не имеет решения (несов­местна); в) прямые совпадают, т.е. ранг системы равен едини­це, и система имеет бесчисленное множество решений.

Уравнение с тремя переменными вида

описывает плоскость в трехмерном пространстве. Решение сис­темы трех уравнений с тремя неизвестными — это точки про­странства, принадлежащие одновременно трем плоскостям, ко­торые описываются уравнениями системы. В этом случае воз­можны следующие варианты: а) три плоскости пересекаются в одной точке, и система имеет единственное решение; б) три плоскости пересекаются по одной прямой — система имеет бесчисленное множество решений (все точки на этой прямой); в) две плоскости совпадают, а третья пересекает их — бес­численное множество решений (все точки прямой — на пересе­чении трех плоскостей), ранг системы равен двум; г) все три плоскости совпадают — все точки общей плоскости являются решениями, и ранг системы равен единице; д) хотя бы одна из плоскостей параллельна какой-либо из двух других — систе­ма несовместна; е) плоскости пересекаются попарно по парал­лельным прямым — система несовместна. В последних двух случаях несовместность системы уравнений обусловлена тем, что нет таких точек трехмерного пространства, которые принадлежали бы одновременно всем трем плоскостям.

В случае системы уравнений с n неизвестными каждое ура­внение вида

можно интерпретировать как гиперплоскость в координатном пространстве Aⁿ. Решение системы (15.1) — это множество точек пространства Aⁿ, которые принадлежат одновременно всем m гиперплоскостям, соответствующим уравнениям этой системы.

Однородные системы линейных уравнений

Определение 1. Система линейных уравнений называется од­нородной, если во всех ее уравнениях свободные члены равны нулю.

В общем случае однородная система (или система однород­ных уравнений) имеет вид

Однородная система уравнений всегда совместна. Дейст­вительно, набор значений неизвестных x_i = 0 (i = 1, 2,... , п) удовлетворяет всем уравнениям системы. Это решение одно­родной системы называется нулевым, или тривиальным.