Модель Бертрана с дифференцированным продуктом

Стандартная модель Бертрана предполагает совершенную заменимость товаров двух фирм. Однако фирмы могут производить и разнородную (дифференцированную) продукцию.

Предположим, что спрос на товар каждой фирмы описывается следующим уравнением:

Qdi(Pi, Pj) = а - bРi + dPj

где Pi - цена, назначаемая данной фирмой;

Pj - цена фирмы-конкурента (i, j = 1,2; i ≠ j), причем 0<d<b и а> AC(b-d).

Пусть издержки на единицу товара у обеих фирм идентичны, постоянны и равны АС.

Здесь мы видим, что товары двух фирм - фирмы i и фирмы j -служат несовершенными заменителями друг друга. Прямая ценовая эластичность спроса на товар отрицательна, перекрестная эластичность спроса на товар положительна (что следует из знаков коэффициентов при ценах). Если цена Pi достаточно велика по сравнению с ценой Pj, то объем спроса на товар i-й фирмы равен нулю. Однако при небольшой разнице цен, даже если цена конкурента превышает цену данной фирмы, какая-то часть покупателей останется верна данному товару благодаря приверженности марке.

Условие d < b означает, что если цены товаров обеих фирм вырастут на бесконечно малую величину ε, объем спроса на оба товара сократится. Условие а > AC(b-d) означает, что если обе фирмы назначат цены на уровне предельных издержек, объемы спроса на их товары будут положительными.

Определим результат такого взаимодействия фирм, то есть найдем набор цен (Pi*, Р₂*), такой, что Pi* обеспечивает максимизацию прибыли π = (Pi - AC) Qd(Pi, Pj); i = 1, 2; j ≠ i.

Пойдем стандартным путем, вычисляя для любого Pj функцию реакции i-й фирмы, максимизирующую (Pi - AC)Qd(Pi, Pj).

Пусть Ri(Pj) - функция реакции фирмы на цену конкурента. Для рассматриваемого нами примера функция реакции будет иметь вид:

a + dPj + bAC

Ri(Pj) = —————————; i=l. 2; j ≠ i.

2b

Мы знаем, что функции реакции обеих фирм симметричны. Решив систему из двух уравнений - функций реакций фирм, - получим следующий результат:

а + bAC

Pi* = ——————; i = 1, 2; j ≠ i

2b - d

При такой комбинации цен двух фирм они будут получать положительную прибыль, так как

a + AC(b-d)

Р* - АС = ——————— > 0,

2b-d

то есть разница между равновесной ценой и предельными (и средними) издержками положительна для каждой фирмы.

Итак, мы видим, что дифференциация продукта смягчает ценовую конкуренцию, так что соперничество фирм не ведет к полному исчезновению их прибылей. В рассмотренной модели уровень дифференциации продукта был заданной величиной. Между тем в большинстве случаев производители сами выбирают степень дифференциации продукта. Исследовав модель ценовой конкуренции Бертрана с дифференцированным продуктом, мы интуитивно можем прийти к выводу о том, что оптимальный уровень продуктовой дифференциации в условиях олигополии отличен от нуля. Аналогичный результат был бы получен в моделях Хотеллинга и Салопа (см. главу 6).

Модель Эджворта

Модель Эджворта является еще одной версией модели Бертрана, которая показывает модель ценовой конкуренции фирмы с ограниченными размерами выпуска. Рассмотрим, каким образом в этих условиях будет происходить ценовое взаимодействие двух фирм, и каким образом фактор ограниченности совокупных мощностей фирм влияет на установление равновесия на рынке, подтверждая или разрешая тем самым парадокс Бертрана.

Предположим, что выпуск каждой фирмы, действующей в отрасли, ограничен величиной К, составляющей половину того объема выпуска отрасли, на который предъявляется спрос при цене, равной предельным издержкам. Это означает, что кривые средних и предельных издержек каждой фирмы имеют вертикальный вид при q = К: предельные издержки производства следующей единицы можно считать стремящимися к бесконечности.

Рис. 8.2 Модель Эджворта

Если обе фирмы с самого начала назначают цену Р = МС, их совокупный выпуск (Q = K1 + K₂) как раз достаточен, чтобы удовлетворить отраслевой спрос. Пусть теперь фирма 1 немного увеличивает свою цену. Потребители на рынке захотят покупать товар фирмы 2, предлагающей более низкую цену. Однако половина потребителей не смогут купить продукт из-за ограниченности производственных возможностей фирмы 2. Они (по крайней мере, некоторые из них, те, чья предельная оценка данного товара не ниже цены фирмы 1) будут вынуждены покупать продукт у фирмы 1 по высокой цене. Фирма 1 столкнется с остаточным спросом RD1 (рис. 8.2), причем QRDi(P)⁼QD(P)-К₂. По отношению к этому остаточному спросу фирма 1 будет действовать как монополист, максимизируя прибыль там, где MRrd1 = MC1. Цена фирмы 1 будет установлена на уровне Р₁ > Р₂ = МС, так что фирма 1 будет получать положительную экономическую прибыль, в то время как прибыль фирмы 2 останется равной нулю, несмотря на ее большую долю рынка.

В следующий период фирма 2 опустит свою цену до уровня немного ниже P₁ - цены первого периода фирмы 1 так, чтобы переманить покупателей фирмы 1. Однако, поскольку производственные мощности фирмы 2 ограничены, она сможет удовлетворить только две трети рыночного спроса. В этот период фирма 2 продаст в два раза больше, чем фирма 1, почти по той же цене, в результате чего прибыли фирмы 1 удвоятся.

Еще через один период фирмы будут по очереди постепенно снижать цены до тех пор, пока одна из фирм не установит цену Рк на уровне, при котором за счет роста объема продаж (внутри, конечно, ограничений, налагаемых производственными мощностями) ее прибыль не окажется равной прибыли при наивысшей цене Pk = Р1:

0,5(P1 - MC)K = (Pk - MC)K.

С этой точки другая фирма может попытаться поднять цену до уровня Р1, в результате чего начнется новый цикл последовательного снижения цен фирмами. Таким образом, статическое равновесие с одной ценой никогда не будет достигнуто; уровень цен будет последовательно подниматься и опускаться в интервале Рк < Р < Р_1; ценовая война никогда не прекратится.

Итак, мы видим, что дополнительный количественный фактор - его ограниченность выпуска фирм - способен только усугубить ситуацию. Однако всегда ли это так?

Рассмотрим следующий пример.

Предположим, рыночный спрос выражается формулой:

Qd = 100 - Р,

где Qd - величина спроса, в тыс. шт.; Р - рыночная цена.

Пусть на рынке действуют две фирмы, предельные издержки которых постоянны, одинаковы и равны 10, Мощности каждой фирмы ограничены объемом в 45 тыс. шт. (К₄ = Кг = 45). Равновесие Бертрана в данных условиях достижимо (q₁ = q₂ = 45; Р = 10), но оно не является равновесием по Нэшу[6]. Докажем это.

Пусть первая фирма назначает цену Р₁ = 10.

Ее объем предложения будет равен q1 = К1= 45.

Тогда вторая фирма может максимизировать свою прибыль по остаточному (после первой фирмы) спросу:

Q_RD2(P) = (100 - Р₂) – К1 = 55 - Р₂.

Максимизация прибыли обеспечивается ценой Р2=32,5 и объемом продаж q2=22,5. Вторая фирма получает прибыль π=506,25 - это минимальная прибыль, которую может иметь вторая фирма, ориентируясь на остаточный спрос. Тем самым мы показали, что стратегия «назначать цену на уровне предельных издержек» не является равновесием по Нэшу ни для одной фирмы, так как отклоняясь от этой стратегии при данной стратегии другого участника игры, фирма увеличивает свою прибыль.

Совокупное предложение рынка в этих условиях составит:

Qd = q₂+ K₁ = 67,5.

Итак, если P₁ достаточно низкая, второй фирме имеет смысл максимизировать прибыль по остаточному спросу.

Ситуация меняется, если цена первой фирмы P₁ достаточно высока.

Предположим, P1=40.

Тогда если вторая фирма назначит цену, немного меньшую цены первой фирмы (например, Р₂ = 39), она получит весь спрос рынка:

QRD2(P₂ = 39) = 61 > К₂.

Обратим внимание, что в этом случае объем остаточного спроса на товар второй фирмы превысит ее максимальный выпуск. Соответственно, объем ее продаж будет равен максимально возможному выпуску. Ее прибыль соответственно будет равна π₂ = 1755 - что существенно выше, чем если бы фирма ориентировалась на остаточный спрос.

В общем виде прибыль второй фирмы (в том случае, если цена первой фирмы достаточно высока) можно записать как:

π2 = (P1 - ε- АС₂)К₂,

где ε - бесконечно малая величина;

АС₂ - средние издержки второй фирмы.

Итак, у каждой фирмы есть две возможные стратегии:

1. Максимизировать прибыль по остаточному спросу

Qrd, =Qd - Kj.

2. «Подрезать» цену, устанавливая ее на уровне, несколько ниже цены конкурента

Pi = Pj - ε.

Для нашего примера первая стратегия приносит фирме прибыль πi = 506,25; вторая стратегия приносит прибыль πi = (Pj – ε - ACi) Кi.

Найдем минимальное значение P_l при котором второй фирме выгодно «подрезать» цену. Пренебрегая бесконечно малой величиной, условие предпочтительности ценовой конкуренции:

(P₁ - 10) 45 > 506,25.

Откуда

P1> 21,25.

Таким образом, ценовая конкуренция приносит большую прибыль только в том случае, если конкурент на рынке устанавливает достаточно высокую цену. Поскольку мы знаем, какую цену назначит фирма, если цена конкурента опустится достаточно низко, интервал возможных колебаний цен на рынке определен как:

Pi, Pj ε [21,25; 32,5],

где нижнее значение дается минимальным уровнем цены при выборе фирмой стратегией «подрезания» цены, а верхнее значение представляет собой цену при выборе фирмой стратегии максимизации прибыли по остаточному спросу.

Мы видим, что мощность играет на рынке существенную роль фактора, ограничивающего возможности и стимулы ценовой конкуренции. Следовательно, выбор мощности (если таковой возможен) играет роль предварительной договоренности фирм о масштабах ценовой конкуренции.

Покажем это на примере, предположив, что мощности фирм существенно выше:

Пусть К₁ = К₂ = 80.

Тогда соответствующий интервал цен будет равен: Pi, Pj ε [10,71; 15].

Видно, что чем выше мощности фирм, тем уже интервал возможных цен и тем ближе цены, назначаемые фирмами на рынке, к средним издержкам.

Пусть, напротив, К₁ = К₂ = 30

Тогда, максимизируя прибыль по остаточному спросу, фирма выберет объем продаж, равный 30 и назначит цену, равную 40, получив прибыль, равную 900. Далее, мы видим, что фирме выгодна ценовая конкуренция только при условии (P1 - 10)30 > 900, то есть если цена конкурента превышает 40. Иначе говоря, в данном случае мы получаем единственную цену рынка P1 = Р₂ = Р* = 40, ценовая война между фирмами исключена.

Итак, мы показали, что парадокс Бертрана разрешается благодаря:

• длительности взаимодействия фирм на рынке и их ориентации на долгосрочные цели;

• дифференциации продукта продавцов и приверженности марке;

• ограниченности мощности предприятий.

Три названных характеристики служат важнейшими условиями, ограничивающими ценовую конкуренцию. Но раз это так, то эти параметры деятельности фирм должны служить объектом стратегического выбора. Нетрудно показать, какое влияние оказывают стратегические решения фирмы, не связанные с ценой, на политику ее конкурентов, в том числе политику ценообразования. Масштабные расходы на рекламу могут рассматриваться другими фирмами и как затраты на создание приверженности марке, и как свидетельство намерений длительного присутствия на рынке. И то, и другое снижает стимулы ценовой конкуренции. Политика ассортимента очень много сообщает конкуренту об избранном уровне дифференциации продукта. Типы контрактов, используемых фирмой, косвенно предоставляют информацию о предполагаемом времени пребывания продавца на рынке. Значительные инвестиции в НИОКР играют сходную роль. Таким образом, неценовая политика действующих на рынке фирм способна служить предварительным соглашениемо масштабе ценовой конкуренции.

Кроме того, мы установили, что выбор мощности продавцов предопределяет их ценовую политику. Иначе говоря, выбор доступного объема продаж можно рассматривать в качестве этапа определения стратегии, предшествующего моменту назначения цены. Таким образом, мы в известном смысле оправдали использование моделей (где стратегической переменной служит количество) в качестве инструмента анализа олигополии. Обратим внимание, что фирмы, желающие исключить ценовую войну между собой, выберут производственные мощности, равные равновесному объему выпуска в другой модели поведения олигополии - модели Курно. Рассмотрим теперь модель Курно в общем виде.

Модель Курно

Цель модели заключается в том, чтобы показать, каким образом устанавливается равновесный объем продаж на рынке, если фирма выбирает количество в зависимости от того количества, которое продает на рынке другая фирма. Фирмы выбирают объем продаж одновременно - обе они проводят «недальновидную» политику. Из-за недальновидности выбора выпуска каждой фирмой, реакция контрагента приводит к тому, что ожидаемый фирмой выпуск контрагента может отличаться от фактического. Равновесие на рынке достигается тогда, когда ожидания каждой фирмы относительно объема выпуска конкурента реализуются.

Пусть фирма 1 ожидает, что фирма 2 произведет q2 количества товара. Тогда фирма 1 решает произвести q1 единиц товара. Совокупный объем продаж отрасли составит Q = q1 + q2.Этот объем будет продан по цене P(Q) = P(q, + q₂).

Фирма 1 стремится к максимизации прибыли. Максимум прибыли достигается при таком объеме производства фирмы 1, когда ее предельные издержки равны ее предельной выручке: МС = MR, то есть:

ò[P(Q)q1] òTC

————— = ———

òq1 òq1

òP(q1 + q2) òTC

P(q1 + q2) + ————— q1 = ———

òq1 òq1

Такое же условие максимизации прибыли можно записать и для фирмы 2.

Поскольку по условию каждая фирма выбирает объем своего производства, исходя из предположения о размере выпуска другой фирмы, оптимальный объем производства фирмы 1 будет зависеть от ожидаемого объема производства фирмы 2: q1= f(q2^exp), а оптимальный объем производства фирмы 2 будет зависеть от ожидаемого объема выпуска фирмы 1: q2=h(q1^exp), где f и h - функции реакции[7] первой и второй фирм соответственно, qi^exp - ожидаемый j-й фирмой выпуск i-й фирмы, i,j = 1,2; i≠j.

Если ожидания фирм не оправдываются, q1 ≠ q1^exp q2 ≠ q2^exp, фирмы пересматривают как предположения, так и свой собственный объем производства в соответствии с реальным выпуском другой фирмы. В результате меняется совокупное предложение отрасли и рыночная цена.

Стабильное равновесие на рынке устанавливается тогда, когда ожидаемые выпуски фирм равны их реальным объемам производства, причем реальный выпуск и является оптимальным:

q1* = f(q2*); q2* = h(q1*).

Другими словами, каждая фирма выбирает такой оптимальный объем производства, какой ожидает от нее другая фирма. Такое равновесие называется равновесием Курно.

Пусть функция рыночного спроса линейна и имеет вид

P(Q) = a – q1 – q2

где а - параметр спроса;

q1, q₂ - объемы выпуска фирм 1 и 2.

Пусть предельные издержки фирм одинаковы, постоянны и равны МС. Тогда условие максимизации прибыли для первой и второй фирмы соответственно будет иметь вид

а - 2q1 - q₂ = МС,

а – q1 - 2q₂ = MC.

Отсюда можно вывести функции реагирования для каждой фирмы:

q1 = 0,5(а - q₂ - МС),

q₂ = 0,5(а - q1 - МС).

Эти уравнения описывают все комбинации q1 и q₂, которые приносят максимальную прибыль каждой фирме. Решение уравнений дает равновесие Курно. Поскольку фирмы идентичны, в равновесии они будут производить одинаковое количество товара, то есть

q1* = q₂* = l/3(a - МС).

T кол-во

А-АС

Рис. 8.3. Модель Курно

Общий объем продаж в отрасли составит

Q = q1* + q1* = 2/3(a-MC).

Если кривые реакции изобразить графически (рис. 8.3. ), равновесие Курно достигается в точке их пересечения. Именно здесь ожидаемые объемы двух фирм совпадают с их реальными величинами. Механизм достижения равновесия можно показать следующим образом. Что произойдет, например, в точке А? В этой точке фирма 1 произведет большее количество товара, чем от нее ожидает фирма 2. В результате фирма 2 будет вынуждена сократить свой объем выпуска в следующем периоде. В то же время фирма 1 в расчете на большое количество товара фирмы 2 тоже сократит свой выпуск. Когда и эти ожидания не оправдываются, фирмы будут корректировать объемы производства до тех пор, пока не будет достигнута точка равновесия, пока их ожидания не будут оправдываться.

Равновесие Курно для n фирм.Предположим, что на рынке действует несколько фирм, каждая из которых проводит стратегию, соответствующую предпосылкам модели Курно. Другими словами, каждая фирма на рынке выбирает оптимальный объем производства, исходя из своих ожиданий относительно объемов производства других фирм. Причем фирмы одновременно выбирают модель поведения. В равновесии ожидания фирм оправдываются.

Если число фирм на рынке равно n, то общий объем предложения составляет величину

Q= q1 + q2 +….+ qn

Каждая фирма, максимизируя прибыль, будет производить такой объем, чтобы:

Mri=MCi, i = 1, 2,...,n,

то есть

òP

P(Q)+ —— qi = MCi(qi)

òqi

Обратим внимание, что каждая фирма ожидает, что другие участники рынка сохраняет свой объем продаж неизменным. Поэтому с ее точки зрения изменение объема продаж на рынке в точности совпадет с изменением ее собственных продаж, dQ, = dqi, Домножим второе слагаемое в левой части на выражение PQ/PQ. Поскольку произведение òР(Q)/òQ Q/P представляет собой эластичность рыночного спроса Ed, условие максимизации прибыли фирмы можно записать в виде:

qi

P(Q)[1 + ———] = MCi,

QEd

где qi/Q - доля выпуска данной фирмы в общем объеме производства отрасли, qi/Q. = Yi.

Тогда цена на рынке и индекс Лернера монопольной власти

Yi

P(Q)[1 + ———] = Mci,

Ed

P-MC Yi

L = ——— = ——

P Ed

Обратим внимание, что эта формула показывает зависимость рыночной цены и монопольной власти фирм, действующих на рынке, от числа фирм и их рыночной доли. Если Y, стремится к нулю (ситуация свободной конкуренции), цена стремится к уровню предельных издержек: P(Q) = МС. Если Yi = 1 (рынок монополии), мы получаем формулу монопольной цены: P(Q) = МС/[1 + 1/ Ed]. Соответственно, промежуточные случаи расположены между двумя этими крайними ситуациями. Таким образом, равновесие Курно позволяет связать воедино разные рыночные структуры.

Модель Штакельберга

В предыдущих моделях предполагалось, что фирмы обладают одинаковой рыночной силой, и их поведение определяется одновременно. Рассмотрим теперь ситуацию, когда фирмы неодинаковы по силе, а выбор объема производства осуществляется последовательно: сначала объем производства определяется для более «сильной» фирмы, затем «слабая» фирма выбирает свою линию поведения. При этом мы исходим из того, что фирмы, выбирая мощность, устанавливают границы ценовой конкуренции и барьеры входа для потенциального конкурента. Модели Эджворта и Курно показали нам, каким образом выбор производственной мощности влияет на ценовую конкуренцию и какие мощности выбирают фирмы, принимая решения одновременно, с тем чтобы исключить ценовую войну. Теперь мы рассмотрим, какую производственную мощность должен выбрать лидер, учитывая будущую реакцию другой фирмы (или фирм) на свои действия.

Пусть фирмы выбирают, какое количество товара производить, а цена устанавливается рынком. Предположим, фирма 1 является лидером на рынке и принимает решение относительно величины выпуска независимо, в то время как фирма 2 корректирует свое поведение, исходя из того выбора, который сделала фирма 1.

Тогда мы знаем, как ведет себя на рынке фирма 2. Ее цель заключается в том, чтобы максимизировать прибыль при заданном объеме производства фирмы 1:

max [P(q1+q₂) q₂ - TC₂(q₂)].

Кроме того, мы знаем функцию реакции фирмы 2, которая служит результатом максимизации ее прибыли:

q₂= h(q1).

В случае линейной функции спроса Р = а - q1 - q₂ функция реакции фирмы 2, как было показано выше,

q₂ = 0,5(а - q1 - МС₂).

Рассмотрим теперь поведение фирмы-лидера. Фирма 1, фирма-лидер, знает, что ее выбор объема производства оказывает непосредственное влияние на размер выпуска фирмы 2, а следовательно, на общий объем предложения отрасли, рыночную цену и в конечном итоге прибыль самой фирмы-лидера. Поэтому для нее условие максимизации прибыли принимает вид:

max [P(q₁ + q₂)q₁ – TC₁(q₁)] при q₂ = h(q₁).

To есть

max [P(q₁ + h(q₁)) q₁ - TC₁(q₁)]

В нашем примере условие максимизации прибыли лидера будет выглядеть:

(а – q₁ - 0,5(а - q₁ - MC₂))q₁ = MC₁

Откуда

q₁* = 0,5(а – МС₁,),

q₂* = 0,25(а - МС₂).

Общий объем предложения отрасли равен (в нашем условии МС₁ = МС₂):

Q* = qi* + q₂* = 0,75(a – MC₁).

Видно, что прибыль лидера в модели Штакельберга вдвое превышает прибыль последователя. Стратегическое поведение лидера, учитывающее будущую реакцию конкурента на рынке, приносит ему •«преимущество первого хода».

Рис. 8.4. Модель Штакельберга

Мы рассмотрели несколько вариантов моделей олигополии. Возникает вопрос, какую модель использовать при анализе того или иного рынка. Применение той или иной модели зависит от характеристик рынка и возможностей фирмы влиять на рыночную цену или объем выпуска. Модели Курно и Штакельберга применяются при исследованиях рынков, когда у фирм существуют фиксированные производственные планы, так что относительно трудно изменить количество выпускаемого продукта, если план уже принят. Это характерно для отраслей с длительным сроком изготовления товара (тяжелая промышленность, самолетостроение, производство уникального оборудования, судостроение и т. д.). а также для тех отраслей, где фирмам необходимо инвестировать значительные средства в специализированное оборудование для сбыта данного товара (например, строительство крупного универмага). На таких рынках изменение цен товаров более вероятно, чем изменение объемов продаж. Модели Бертрана и Форхаймера применяются в тех случаях, когда фирмам сложнее корректировать принятые цены. Примерами могут служить продажи по каталогам, тендеры, аукционы, причем преимущественно в отраслях, производящих товары потребительского назначения. В этом случае, напротив, изменение цен менее вероятно, чем изменение объемов продаж.