Геометрическая интерпретация задачи о красках

В этом разделе мы приводим простейшую геометрическую интер­претацию задачи о красках для того, чтобы читателю было проще ра­зобраться с основными понятиями, используемыми в при анализе от­четов.

Эта интерпретация иллюстрируется следующим графиком (рис. 1.3).

На осях координат отложены суточные объемы производства кра­сок, определенные выше как содержимое изменяемых ячеек (см. По­иск решения, Обшие рекомендации по разработке структур ЭТ).

Тонкими линиями представлены ограничения для задачи о красках:

ограничения по запасам продуктов:

Продукт П1: 1*Краска_Н + 2*Краска_В <=6; (1)

Продукт П2: 2* Краска_Н + 1* Краска_В <= 8; (2)

Рис. 1.3. Геометрическая интерпретация задачи окрасках

ограничения по сбыту:

Краска_В <= Краска_Н+1; (3)

Краска_В <=2; (4)

Эти ограничения мы вводили в электронную таблицу (см. табл. 2).

На рис. 1.3 все прямые ограничений построены по отношениям (1)—(4), в которых знаки неравенства заменены знаками равенства. Маленькие стрелки на рисунке рядом с прямыми ограничений указы­вают на область, в которой действуют соответствующие ограничения. Например, для ограничения (4) это область левее прямой (4), т. е. диапазон, в котором Краска_В <=2 (и, конечно, Краска_В >= 0).

Пересечения прямых ограничений образуют область ABCDEF, в которой только и могут находиться оптимальные решения задачи. Эта область называется полигоном возможных решений.

Целевая функция (ЦФ) задана выражением

3*Краска_Н + 2*Краска_В,

которое уже использовалось нами при составлении ЭТ. На рисунке приведена прямая ЦФ₆, определенная уравнением

3*Краска_Н + 2*Краска_В = 6,

т.е. дляслучая, когда ЦФ принимает значение 6 (тыс. долл.). Стрелки у этой прямой, указывающие на знаки «+» и «-», показывают, в каком направлении будет перемещаться прямая ЦФ (параллельно сама себе) соответственно при увеличении значений ЦФ и уменьшении этих значений. Все точки этой прямой, находящиеся внутри полигона, будут удовлетворять ограничениям задачи. Чем больше прибыль, получаемая от продажи красок, тем дальше перемещается прямая ЦФ от ЦФ₆ в направлении «+». Естественно, что максимальное значение прибыли будет наблюдаться в единственной точке полигона — точке С. Эта точка и будет определять оптимальные объемы производства красок Краска_Н_опт и Краска_В_опт.

Прямые ограничений, проходящие через точку оптимума (в на­шем случае С), определяют связанные ограничения, остальные прямые ограничений определяют несвязанные ограничения. Эти термины определяют влияние запасов соответствующих ресурсов на оптимальное решение задачи. Для используемого примера связанными являются ограничения по запасам ресурсов (1) и (2). Эти ресурсы называются дефицитными. Понятие дефицитного ресурса тесно связано с понятием связанного ограничения.

Изменение запасов дефицитного ресурса всегда изменяет значение целевой функции и соответственно оптимальное решение задачи. Недефицитный ресурс не влияет на такое решение, но, разумеется, в определенных пределах. Для ситуации, изображенной на рис. 1.3, ресурс сбыта краски В (2 т в день, ограничение (4)) недефицитен. Но если спрос на этот вид краски начнет уменьшаться и достигнет величины, меньшей значения Краска_В_опт, он станет дефицитным.

Из этого примера видно, что в зависимости от изменения условий производства и сбыта красок ресурсы могут менять свой статус, т. е. переходить из дефицитных в недефицитные, и наоборот. Возможно­сти таких изменений определяют устойчивость бизнес-процессов в системах менеджмента.

Коэффициенты в системе ограничений (1)—(4) и в ЦФ определяют углы наклона прямых на рисунке. Эти коэффициенты полностью определяются исходными данными задачи, вместе с тем вариации таких коэффициентов могут представлять самостоятельный интерес в исследовании систем менеджмента. Например, если в нашей задаче прямая ЦФ окажется параллельной прямой ограничения (2), то мак­симальному значению ЦФ будет соответствовать множество решений (все точки отрезка ВС на рисунке). Эти и подобные им аспекты при проведении исследований на ЭТ анализируются на основе использования отчетов, создаваемых программой поиска решений.

К сожалению, в общем случае для сложных задач с большим ко­личеством переменных столь наглядную геометрическую интерпрета­цию задачи поиска решения дать не удается.

Отчет по результатам

Здесь обсуждается отчет по результатам, подготовленный систе­мой при решении задачи о красках. Этот отчет состоит из трех разде­лов: целевая ячейка, изменяемые ячейки и ограничения.

В разделе «Целевая ячейка» отмечается вид оптимизации, в на­шем случае это максимизация — (Макс). В столбце «Ячейка» указы­вается адрес ячейки ($Е$24), в столбце «Исходно» приводится исход­ное содержимое ячейки (до поиска оптимального решения), в столбце «Результат» — максимальное значение целевой функции. В столбце «Имя» приводится имя целевой ячейки — «Общий_доход», заданное нами при именовании ячейки.

В разделе «Изменяемые ячейки» аналогично описываются ячейки варьируемых переменных. В столбце «Результат» этого раздела отчета приводится оптимальное решение задачи (точка оптимума).

В разделе «Ограничения» приводится описание всех ограничений задачи, заданных через диалоговое окно Поиск решения. Количество строк этого раздела отчета равно количеству ограничений.

В столбцах «Ячейка» и «Имя» приводятся адреса и имена всех ячеек, используемых в левых частях ограничений задачи. В столбце «Значение» выводятся значения этих ячеек на момент окончания процесса поиска. В столбце «Состояние» описывается вид ограничения.

В столбце «Формула» выводятся формулы ограничений. В столбце «Состояние» описывается вид ограничения.

Поскольку мы не именовали ячейки Е16, Е17, содержание столбца «Имя» для них система определила по правилам умолчания.

Эти правила сводятся к тому, что в столбце «Имя» размещается название строки и столбца соответствующей ячейки. При этом в ка­честве первого используется содержимое ближайшей текстовой ячей­ки слева от именуемой (для Е16 это «П1»), а в качестве второго — содержимое ближайшей текстовой ячейки сверху (для Е16 это строка «Суточный_расход исх.продуктов (т)»). Использование определения имени ячейки по умолчанию в общем случае снижает наглядность от­чета. Для того чтобы избавиться от этого недостатка, целесообразно именовать ячейки таблицы по правилам системы EXCEL (меню Вставка, раздел Имя).

Термин «связанное» определяет ограничение, которое повлияло на определение оптимального решения, термин «не связанное» свидете­льствует о том, что данное ограничение не повлияло на определение точки оптимума. (Этот термин уже пояснялся в предыдущем разделе «Геометрическая интерпретация задачи о красках».) В нашем примере два связанных ограничения: $E$16 <= $D$16 и $E$I7 <= $D$17. Оба относятся к ограничениям на запасы исходных продуктов П1 и П2, используемых для производства красок. Тот факт, что эти ограниче­ния связанные, свидетельствует о том, что запасы продуктов в этой за­даче являются дефицитными ресурсами, — любое их изменение приве­дет к изменению оптимального решения задачи.

Остальные ограничения - не связанные. Это означает, что значе­ния ячеек, используемых в правых частях ограничений, определяют количества недефицитных ресурсов. Запасы таких ресурсов могут из­меняться в некоторых пределах, не оказывая влияния на оптимальное решение задачи. Вместе с тем при выходе за такие пределы недефи­цитный ресурс может стать дефицитным, и наоборот.

Понятие ресурса в общем случае имеет довольно абстрактно. Так, для первых двух ограничений рассматриваемой задачи это вполне конкретные запасы продуктов П1 и П2. В то же время для третьего и четвертого ограничений это некоторый условный ресурс сбыта. Пра­вая часть любого ограничения всегда может интерпретироваться как запас некоторого ресурса, но что именно мы вкладываем в это поня­тие в каждом конкретном случае, зависит только от нашего понимания проблемы. В сложных задачах иногда очень непросто интерпре­тировать понятие ресурса.

В столбце «Разница» приводятся значения разности левой и пра­вой части ограничений. Для связанных ограничений эта разность равна нулю, т. е. запасы дефицитных ресурсов при оптимальной органи­зации исследуемой системы должны быть полностью исчерпаны (поэ­тому они и называются дефицитными).

Для несвязанных ограничений разница между левой и правой час­тями не равна нулю. Это свидетельствует о том, что недефицитные ресурсы полностью не израсходованы, и запас таких ресурсов может быть уменьшен на величину, не превышающую обсуждаемой разницы, без изменения оптимального решения. Разумеется, что увеличение запасов недефицитных ресурсов не представляет интереса для анализа иссле­дуемой системы, поскольку недефицитный ресурс и так имеется в из­бытке.

В качестве примера приведем анализ третьего ограничения этой системы. Оно относится к ограничениям по спросу, между левой и правой частями неравенства существует разница в 3 (тонны краски), которые определяют разницу в спросе между краской В и краской Н. Поскольку ограничение относится к категории не связанных, разницу в спросе можно уменьшить на 3 т. т. е.:

В23 - D29 = 3; a D29 = В24 - 1 (см. табл. 2).

Следовательно, В23 - В24 + 1 - 3 = 0. Отсюда В23 = В24 + 2.

Иными словами, оптимальное решение не изменится, если спрос на краску Н (В23) превысит спрос на краску В (В24) не более чем на 2т.

Анализ четвертого ограничения позволяет утверждать, что умень­шение спроса на краску В не более чем на 0,67 т также не повлияет на оптимальное решение.

Отчет по устойчивости

Отчет по устойчивости имеет две различные формы: отчет по устойчивости решений, полученных с помощью линейных моделей оптимизации и нелинейных.

Результатам решения линейных задач можно дать наглядную эко­номическую интерпретацию. К сожалению, результаты, получаемые с помощью нелинейных моделей; в большинстве случаев не имеют та­кой интерпретации.

Основной вопрос, освещаемый в этом отчете: насколько устойчиво найденное оптимальное решение по отношению к возможным изменениям параметров задачи. Любая строка любой таблицы этого отчета говорит о том, какие изменения можно произвести по отношению к ячейке (столбец «Ячейка») при условии, что содержимое остальных ячеек определяется оптимальным решением.