Учебное пособие по решению задач
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ПО КУРСУ
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ В ПРОИЗВОДСТВЕННОМ МЕНЕДЖМЕНТЕ
В учебном пособии приведены методические рекомендации по построению математических моделей и решению задач исследования операций, рассмотрены примеры решения задач, предложены задачи для самостоятельного решения.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ СОКРАЩЕНИЙ
1) ЛП – линейное программирование;
2) ЦФ – целевая функция;
3) ОДР – область допустимых решений;
4) РЗ – распределительная задача;
5) ТЗ – транспортная задача;
6) УЗ – управление запасами;
7) * – повышенная сложность вопроса или задачи.
ВВЕДЕНИЕ
В данном учебном пособии даны рекомендации по построению математических моделей и решению задач исследования операций в области: линейного программирования, сетевого планирования, регрессионного анализа, прогнозирования временных рядов, управления запасами.
В целях более эффективного усвоения учебного материала каждая тема содержит краткое теоретическое введение, подробные методические указания с описанием решения конкретных задач, варианты задач для самостоятельного решения, включая задачи повышенной сложности.
Особое внимание в учебном пособии было уделено вопросам построения математических моделей как основополагающему и наиболее творческому этапу решения задач. В связи с тем, что современное компьютерное программное обеспечение позволяет значительно упростить процесс поиска оптимальных решений, наиболее трудоемкие методы решения задач (симплекс-метод, метод потенциалов, методы оптимизации сетевых моделей) в учебном пособии рассмотрены не были.
Часть I. ОДНОИНДЕКСНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ОДНОИНДЕКСНЫХ ЗАДАЧ ЛП
Теоретическое введение
Математическое программирование ("планирование")– это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных значений функции, на аргументы которой наложены ограничения. Методы математического программирования используются в экономических, организационных, военных и др. системах для решения так называемых распределительных задач. Распределительные задачи (РЗ) возникают в случае, когда имеющихся в наличии ресурсов не хватает для выполнения каждой из намеченных работ эффективным образом и необходимо наилучшим образом распределить ресурсы по работам в соответствии с выбранным критерием оптимальности.
Линейное программирование (ЛП) является наиболее простым и лучше всего изученным разделом математического программирования. Характерные черты задач ЛП следующие:
1) показатель оптимальности L(X) представляет собой линейную функцию от элементов решения 
;
2) ограничительные условия, налагаемые на возможные решения, имеют вид линейных равенств или неравенств.
Задача № 1.01
Фабрика производит два вида красок: первый – для наружных, а второй – для внутренних работ. Для производства красок используются два ингредиента: А и В. Максимально возможные суточные запасы этих ингредиентов составляют 6 и 8 т соответственно. Известны расходы А и В на 1 т соответствующих красок (табл. 1.1). Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску 2-го вида никогда не превышает спроса на краску 1-го вида более, чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску 2-го вида никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3 тыс. руб. для краски 1-го вида; 2 тыс. руб. для краски 2-го вида.
Необходимо построить математическую модель, позволяющую установить, какое количество краски каждого вида надо производить, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.
Таблица 1.1
Параметры задачи о производстве красок
| Ингредиенты | Расход ингредиентов, т ингр./т краски | Запас, т ингр./сутки | |
| Краска 1-го вида | Краска 2-го вида | ||
| А | |||
| В |
Решение
Прежде чем построить математическую модель задачи, т.е. записать ее с помощью математических символов, необходимо четко разобраться с экономической ситуацией, описанной в условии. Для этого необходимо с точки зрения экономики, а не математики, ответить на следующие вопросы:
1) Что является искомыми величинами задачи?
2) Какова цель решения? Какой параметр задачи служит критерием эффективности (оптимальности) решения, например, прибыль, себестоимость, время и т.д. В каком направлении должно изменяться значение этого параметра (к max или к min) для достижения наилучших результатов?
3) Какие условия в отношении искомых величин и ресурсов задачи должны быть выполнены? Эти условия устанавливают, как должны соотноситься друг с другом различные параметры задачи, например, количество ресурса, затраченного при производстве, и его запас на складе; количество выпускаемой продукции и емкость склада, где она будет храниться; количество выпускаемой продукции и рыночный спрос на эту продукцию и т.д.
Только после экономического ответа на все эти вопросы можно приступать к записи этих ответов в математическом виде, т.е. к записи математической модели.
1) Искомые величины являются переменными задачи, которые как правило обозначаются малыми латинскими буквами с индексами, например, однотипные переменные удобно представлять в виде 
.
2) Цель решения записывается в виде целевой функции, обозначаемой, например, 
. Математическая формула ЦФ отражает способ расчета значений параметра – критерия эффективности задачи.
3) Условия, налагаемые на переменные и ресурсы задачи, записываются в виде системы равенств или неравенств, т.е. ограничений. Левые и правые части ограничений отражают способ получения (расчет или численные значения из условия задачи) значений тех параметров задачи, на которые были наложены соответствующие условия.
В процессе записи математической модели необходимо указывать единицы измерения переменных задачи, целевой функции и всех ограничений.
Построим модель задачи №1.01, используя описанную методику.
Переменные задачи
В задаче №1.01 требуется установить, сколько краски каждого вида надо производить. Поэтому искомыми величинами, а значит, и переменными задачи являются суточные объемы производства каждого вида красок:
– суточный объем производства краски 1-го вида, [т краски/сутки];
– суточный объем производства краски 2-го вида, [т краски/сутки].
Целевая функция
В условии задачи №1.01 сформулирована цель – добиться максимального дохода от реализации продукции. Т.е. критерием эффективности служит параметр суточного дохода, который должен стремится к максимуму.Чтобы рассчитать величину суточного дохода от продажи краскок обоих видов, необходимо знать объемы производства красок, т.е. и т краски в сутки, а также оптовые цены на краски 1-го и 2-го видов – согласно условию, соответственно 3 и 2 тыс.руб. за 1 т краски. Таким образом, доход от продажи суточного объема производства краски 1-го вида равен 
тыс.руб. в сутки, а от продажи краски 2-го вида – 
тыс.руб. в сутки. Поэтому запишем ЦФ в виде суммы дохода от продажи красок 1-го и 2-го видов (при допущении независимости объемов сбыта каждой из красок)
[тыс.руб./сутки],
.
Ограничения
Возможные объемы производства красок и ограничиваются следующими условиями:
· количество ингредиентов А и В, израсходованное в течение суток на производство красок обоих видов, не может превышать суточного запаса этих ингредиентов на складе;
· согласно результатам изучения рыночного спроса суточный объем производства краски 2-го вида может превышать объем производства краски 1-го вида, но не более, чем на 1 т краски;
· объем производства краски 2-го вида не должен превышать 2 т в сутки, что также следует из результатов изучения рынков сбыта;
· объемы производства красок не могут быть отрицательными.
Таким образом, все ограничения задачи №1.01 делятся на 3 группы, обусловленные:
1) расходом ингредиентов;
2) рыночным спросом на краску;
3) неотрицательностью объемов производства.
Ограничения по расходу любого из ингредиентов имеют следующую содержательную форму записи
.
Запишем эти ограничения в математической форме.
Левая часть ограничения – это формула расчета суточного расхода конкретного ингредиента на производство красок. Так из условия известен расход ингредиента А на производство 1 т краски 1-го вида (1 т ингр. А) и 1 т краски 2-го вида (2 т ингр. А) (см. табл.1.1). Тогда на производство т краски 1-го вида и 
т краски 2-го вида потребуется 
т ингр. А.
Правая часть ограничения – это величина суточного запаса ингредиента на складе, например, 6 т ингредиента А в сутки (см. табл.1.1). Таким образом, ограничение по расходу А имеет вид
.
Аналогична математическая запись ограничения по расходу В
.
Примечание 1.1. Следует всегда проверять размерность левой и правой части каждого из ограничений, поскольку их несовпадение свидетельствует о принципиальной ошибке при составлении ограничений.
Ограничение по суточному объему производства краски 1-го вида по сравнению с объемом производства краски 2-го вида имеет
содержательную форму
и математическую форму
.
Ограничение по суточному объему производства краски 1-го вида имеет
содержательную форму
и математическую форму
.
Неотрицательность объемов производства задается как
.
Таким образом, математическая модель этой задачи имеет вид
Задача №1.02
Выполнить заказ по производству 32 изделий 
и 4 изделий 
взялись бригады 
и 
. Производительность бригады по производству изделий и составляет соответственно 4 и 2 изделия в час, фонд рабочего времени этой бригады 9,5 ч. Производительность бригады – соответственно 1 и 3 изделия в час, а ее фонд рабочего времени – 4 ч. Затраты, связанные с производством единицы изделия, для бригады равны соответственно 9 и 20 руб., для бригады – 15 и 30 руб.
Составьте математическую модель задачи, позволяющую найти оптимальный объем выпуска изделий, обеспечивающий минимальные затраты на выполнение заказа.
Решение
Переменные задачи
Искомыми величинами в задаче являются объемы выпуска изделий. Изделия будут выпускаться двумя бригадами и . Поэтому необходимо различать количество изделий , произведенных бригадой , и количество изделий И1, произведенных бригадой . Аналогично, объемы выпуска изделий бригадой и бригадой также являются различными величинами. Вследствие этого в данной задаче 4 переменные. Для удобства восприятия будем использовать двухиндексную форму записи 
– количество изделий 
(j=1,2), изготавливаемых бригадой 
(i=1,2), а именно,
 – количество изделий , изготавливаемых бригадой , [шт.];  – количество изделий , изготавливаемых бригадой , [шт.];  – количество изделий , изготавливаемых бригадой , [шт.];  – количество изделий  , изготавливаемых бригадой , [шт.]. |
Примечание 1.2.В данной задаче нет необходимости привязываться к какому-либо временному интервалу (в задаче №1.01 была привязка к суткам), поскольку здесь требуется найти не объем выпуска за определенное время, а способ распределения известной плановой величины заказа между бригадами.
Целевая функция
Целью решения задачи является выполнение плана с минимальными затратами, т.е. критерием эффективности решения служит показатель затрат на выполнение всего заказа. Поэтому ЦФ должна быть представлена формулой расчета этих затрат. Затраты каждой бригады на производство одного изделия и известны из условия. Таким образом, ЦФ имеет вид
,
.
Ограничения
Возможные объемы производства изделий бригадами ограничиваются следующими условиями:
· общее количество изделий , выпущенное обеими бригадами, должно равняться 32 шт., а общее количество изделий – 4 шт.;
· время, отпущенное на работу над данным заказом, составляет для бригады – 9,5 ч, а для бригады – 4 ч;
· объемы производства изделий не могут быть отрицательными величинами.
Таким образом, все ограничения задачи №1.02 делятся на 3 группы, обусловленные:
1) величиной заказа на производство изделий;
2) фондами времени, выделенными бригадам;
3) неотрицательностью объемов производства.
Для удобства составления ограничений запишем исходные данные в виде таблицы 1.2.
Таблица 1.2
Исходные данные задачи №1.02
| Бригада | Производительность бригад, шт/ч | Фонд рабочего времени, ч | |
| | | ||
| | 9,5 | ||
| | |||
| Заказ, шт |
Ограничения по заказу изделий имеют следующую содержательную форму записи
и
.
Математическая форма записи имеет вид
и
.
Ограничение по фондам времени имеет содержательную форму
и
.
Проблема заключается в том, что в условии задачи прямо не задано время, которое тратят бригады на выпуск одного изделия или , т.е. не задана трудоемкость производства. Но имеется информация о производительности каждой бригады, т.е. о количестве производимых изделий в 1 ч. Трудоемкость Тр и производительность Пр являются обратными величинами, т.е.
.
Поэтому используя табл.1.2, получаем следующую информацию:
® 
ч тратит бригада на производство одного изделия ;
® 
ч тратит бригада на производство одного изделия 
;
® 
ч тратит бригада 
на производство одного изделия ;
® 
ч тратит бригада на производство одного изделия .
Запишем ограничения по фондам времени в математическом виде
и
.
Неотрицательность объемов производства задается как
.
Таким образом, математическая модель этой задачи имеет вид
,
Задача №1.03*
Для пошива одного изделия требуется выкроить из ткани 6 деталей. На швейной фабрике были разработаны два варианта раскроя ткани. В табл.1.3 приведены характеристики вариантов раскроя 10 
ткани и комплектность, т.е. количество деталей определенного вида, которые необходимы для пошива одного изделия. Ежемесячный запас ткани для пошива изделий данного типа составляет 405 . В ближайший месяц планируется сшить 90 изделий.
Постройте математическую модель задачи, позволяющую в ближайший месяц выполнить план по пошиву с минимальным количеством отходов.
Таблица 1.3
Характеристики вариантов раскроя отрезов ткани по 10
| Вариант раскроя | Количество деталей, шт./отрез | Отходы, /отрез | |||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||
| 0,5 | |||||||
| 0,35 | |||||||
| Комплектность, шт./изделие |
Решение
Переменные задачи
В данной задаче искомые величины явно не указаны, но сказано, что должен быть выполнен ежемесячный план по пошиву 90 изделий. Для пошива 90 изделий в месяц требуется раскроить строго определенное количество деталей. Крой производится из отрезов ткани по 10 двумя различными способами, которые позволяют получить различное число деталей. Поскольку заранее неизвестно, сколько ткани будет раскраиваться первым способом и сколько – вторым, то в качестве искомых величин можно задать количество отрезов ткани по 10 , раскроенных каждым из способов:
– количество отрезов ткани по 10 , раскроенных первым способом в течение месяца, [отрез./мес.];
– количество отрезов ткани по 10 , раскроенных вторым способом в течение месяца, [отрез./мес.].
Целевая функция
Целью решения задачи является выполнение плана при минимальном количестве отходов. Поскольку количество изделий строго запланировано (90 шт./мес.), то этот параметр не описывает ЦФ, а относится к ограничению, невыполнение которого означает, что задача не решена. А критерием эффективности выполнения плана служит параметр "количество отходов", который необходимо свести к минимуму. Поскольку при раскрое одного отреза (10 
) ткани по 1-му варианту получается 0,5 отходов, а по 2-му варианту – 0,35 (см. табл.1.3), то общее количество отходов при крое (ЦФ) имеет вид
,
.
Ограничения
Количество раскроев ткани различными способами ограничивается следующими условиями:
· должен быть выполнен план по пошиву изделий, другими словами, общее количество выкроенных деталей должно быть таким, чтобы из него можно было пошить 90 изделий в месяц, а именно: деталей 1-го вида должно быть как минимум 90 и деталей остальных видов – как минимум по 180 (см. комплектность в табл.1.3).
· расход ткани не должен превышать месячного запаса его на складе;
· количество отрезов раскроенной ткани не может быть отрицательным.
Ограничения по плану пошива пальто имеют следующую содержательную форму записи
;
;
…
.
Математически эти ограничения записываются в виде
;
;
;
;
;
;
.
Ограничение по расходу тканиимеет следующие формы записи:
Содержательную
и математическую
,
.
Неотрицательность количества раскроенных отрезов задается в виде
Таким образом, математическая модель задачи №1.03 имеет вид
[м2 отх./мес.],
Теоретическое введение
Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач ЛП с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и ЦФ задачи.
Каждое из неравенств задачи ЛП (1.1) определяет на координатной плоскости 
некоторую полуплоскость (рис.2.1), а система неравенств в целом – пересечение соотвествующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений (ОДР). ОДР всегда представляет собой выпуклуюфигуру, т.е. обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлена выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучем, одной точкой. В случае несовместности системы ограничений задачи (1.1) ОДР является пустым множеством.
Примечание №2.1. Все вышесказанное относится и к случаю, когда система ограничений (1.1) включает равенства, поскольку любое равенство
можно представить в виде системы двух неравенств (см. рис.2.1)
ЦФ 
при фиксированном значении 
определяет на плоскости прямую линию 
. Изменяя значения L, мы получим семейство параллельных прямых, называемых линиями уровня.
Это связано с тем, что изменение значения L повлечет изменение лишь длины отрезка, отсекаемого линией уровня на оси 
(начальная ордината), а угловой коэффициент прямой 
останется постоянным (см. рис.2.1). Поэтому для решения будет достаточно построить одну из линий уровня, произвольно выбрав значение L.
Вектор 
с координатами из коэффициентов ЦФ при и перпендикулярен к каждой из линий уровня (см. рис.2.1). Направление вектора 
совпадает с направлением возрастания ЦФ, что является важным моментом для решения задач. Направление убывания ЦФ противоположнонаправлению вектора .
Суть графического метода заключается в следующем. По направлению (против направления) вектора 
в ОДР производится поиск оптимальной точки 
. Оптимальной считается точка, через которую проходит линия уровня 
( 
), соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции . Оптимальное решение всегда находится на границе ОДР, например, в последней вершине многоугольника ОДР, через которую пройдет целевая прямая, или на всей его стороне.
При поиске оптимального решения задач ЛП возможны следующие ситуации: существует единственное решение задачи; существует бесконечное множество решений (альтернативный оптиум); ЦФ не ограничена; область допустимых решений – единственная точка; задача не имеет решений.
Задача №2.01
Найдем оптимальное решение задачи №1.01 о красках, математическая модель которой имеет вид
Построим прямые ограничений, для чего вычислим координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис.2.2).
(1) – 
(2) – 
(3) – 
Прямая (4) проходит через точку 
параллельно оси 
.
Рис.2.2. Графическое решение задачи №2.01
Определим ОДР. Например, подставим точку (0;0) в исходное ограничение (3), получим 
, что является истинным неравенством, поэтому стрелкой (или штрихованием) обозначим полуплоскость, содержащую точку (0;0), т.е. расположенную правее и ниже прямой (3). Аналогично определим допустимые полуплоскости для остальных ограничений и укажем их стрелками у соответствующих прямых ограничений (см. рис.2.2). Общей областью, разрешенной всеми ограничениями, т.е. ОДР является многоугольник ABCDEF.
Целевую прямую можно построить по уравнению
,
Строим вектор 
из точки (0;0) в точку (3;2). Точка Е – это последняя вершина многоугольника допустимых решений ABCDEF, через которую проходит целевая прямая, двигаясь по направлению вектора . Поэтому Е – это точка максимума ЦФ. Определим координаты точки Е из системы уравнений прямых ограничений (1) и (2)
,
[т/сутки].
Максимальное значение ЦФ равно 
[тыс. руб./сутки]. Таким образом, наилучшим режимом работы фирмы является ежесуточное производство краски 1-го вида в объеме 
т и краски 2-го вида в объеме 
т. Доход от продажи красок составит 
тыс. руб. в сутки.
Задача №2.02
Построим ограничения (рис.2.3).
(1) – 
(2) – 
(3) – 
(4) – 
Целевую прямую построим по уравнению
,
Определим ОДР. Ограничение-равенство (4) допускает только точки, лежащие на прямой (4). Подставим точку (0;0) в ограничение (3), получим 
, что является ложным неравенством, поэтому стрелкой (или штрихованием) обозначим полуплоскость, не содержащую точку (0;0), т.е. расположенную выше прямой (3). Аналогично определим и укажем допустимые полуплоскости для остальных ограничений (см. рис.2.3). Анализ полуплоскостей, допустимых остальными ограничениями-неравенствами, позволяет определить, что ОДР – это отрезок АВ.
Строим вектор из точки (0;0) в точку (-2;-1). Для поиска минимума ЦФ двигаем целевую прямую против направления вектора . Точка В – это последняя точка отрезка АВ, через которую проходит целевая прямая, т.е. В – точка минимума ЦФ.
Определим координаты точки В из системы уравнений прямых ограничений (3) и (4)
.
Минимальное значение ЦФ равно
.
При поиске точки максимума ЦФ будем двигать целевую прямую по направлению вектора . Последней точкой отрезка АВ, а значит, и точкой максимума будет А. Определим координаты точки А из системы уравнений прямых ограничений (1) и (4)
.
Максимальное значение ЦФ равно
.
Таким образом, В(3,46; 1,85) – точка минимума, 
;
– точка максимума, 
Задача №2.03
Построим ограничения (рис.2.4)
(1) – 
(2) – 
(4) – 
Прямая (3) – проходит через точку 
параллельно оси .
Целевую прямую построим по уравнению
,
Определим ОДР. Подставим точку (0;0) в ограничение (2), получим 
, что является ложным неравенством, поэтому стрелкой (или штрихованием) обозначим полуплоскость, не содержащую точку (0;0), т.е. расположенную правее и выше прямой (2).
Рис.2.4. Графическое решение задачи №2.03
Аналогично определим и укажем допустимые полуплоскости для остальных ограничений (см. рис.2.4). Анализ допустимых полуплоскостей позволяет определить, что ОДР – это незамкнутая область, ограниченная прямыми (2), (3), (4) и осью .
Строим вектор из точки (0;0) в точку (1;-3). Для поиска минимума ЦФ двигаем целевую прямую против направления вектора . Поскольку в этом направлении ОДР не ограничена, то невозможно в этом направлении найти последнюю точку ОДР. Отсюда следует, что ЦФ не ограничена на множестве планов снизу (поскольку идет поиск минимума).
При поиске максимума ЦФ будем двигать целевую прямую по направлению вектора до пересечения с вершиной А – последней точкой ОДР в этом направлении. Определим координаты точки А из системы уравнений прямых ограничений (2) и (4)
.
Максимальное значение ЦФ равно
.
Таким образом, в данной задаче ЦФ не ограничена на множестве планов снизу, а А(1;4) является точкой максимума ЦФ, 
.
Теоретическое введение
Неизбежное колебание значений таких экономических параметров, как цены на продукцию и сырье, запасы сырья, спрос на рынке и т.д. может привести к неоптимальности или непригодности прежнего режима работы. Для учета подобных ситуаций проводится анализ чувствительности, т.е. анализ того, как возможные изменения параметров исходной модели повлияют на полученное ранее оптимальное решение задачи ЛП.
Для решения задач анализа чувствительности ограничения линейной модели классифицируются следующим образом. Связывающиеограничения проходят чер