Формулировка и математическая модель задачи линейного программирования.

Наиболее популярными задачами математического программирования для экономических приложений являются задачи линейного программирования, в которых целевая функция f и функции ограничений являются линейными функциями неизвестных x₁, x₂, …, x_n :

Найти max (min) f =

при условиях

Задачи планирования производства, раскроя материалов, загрузки производственного оборудования и ряд других задач линейного программирования относятся к задачам технико-экономического планирования, для которых академик Канторович Л.В. предложил обобщенную модель и единую методику решения, введя понятия ингредиентов и способов функционирования производственной системы.

Под ингредиентами производственной системы понимаются готовая продукция и услуги, производимые системой (накапливаемые ингредиенты), а также используемые в процессе производства материальные, трудовые, финансовые и др. ресурсы (потребляемые ингредиенты). Под способами функционирования производственной системы понимаются различные варианты использования имеющихся ресурсов для производства продукции и услуг.

3.Постановка и математические модели задачи планирования производства.

Предприятие может производить продукцию n видов, используя m видов ресурсов. Известны:
a_ij, i=1,...,m, j=1,...,n - нормы затрат ресурсов i-го вида на производство единицы продукции j-го вида;
b_i, i=1...,m - запасы ресурсов i-го вида;
c_j, j=1,...,n - прибыль от реализации единицы продукции j-го вида вида.

Требуется найти объемы производства продукции каждого вида x_j, j=1,...,n, при которых будет достигнута максимальная суммарная прибыль f при условии сбалансированности плана производства продукции по каждому виду ресурсов.

Базовая модель задачи планирования производства

Найти max f =

при условиях

Модифицированная модель задачи планирования производства

Найти max f =

при условиях

Q – сумма на приобретение дополнительных ресурсов;
s_i, i=1,...,m – стоимость единицы i-го ресурса; z_i, i=1,...,m – число приобретаемых единиц i-го ресурса; u_j, j=1,...,n – объем спроса, v_j, j=1,...,n – объем заказа на продукцию j-го вида.

Двухиндексная модель задачи планирования производства

Найти max f =

при условиях

r(j) j=1, ..., n - число возможных технологических вариантов изготовления продукции j-го вида;

c_jk, j=1, ..., n, k=1, ..., r(j) - прибыль от реализации единицы продукции j-го вида, изготовленной по k-му технологиче-скому варианту;

a_ijk, i=1, ..., m, j=1, ..., n, k=1, ..., r(j) - норма расхода ресурса

i-го вида на производство единицы продукции j-го вида при применении k-го технологического варианта;

x_jk, j=1, ..., n, k=1, ..., r(j) - планируемый объем выпуска продукции j-го вида с использованием k-го технологиче-ского варианта.

Двойственность в линейном программировании.

Число неизвестных двойственной задачи равно числу основных ограничений исходной задачи и, наоборот.