Составление линейных математических моделей

Задача линейного программирования является достаточно распространенной задачей принятия оптимальных решений в производственном менеджменте. Общая задача линейного программирования (ОЗЛП) математически может быть сформулирована следующим образом:

Найти значения переменных X1, X2, ..., Xn, максимизирующих (минимизирующих) линейную форму

F ( ) = c1 * X1 + c2 * X2 + ... + cn * Xn (1)

при условиях

, (2-3)

xj 0, j = 1,...,p , (p n) . (4)

Соотношения (2-3) называются функциональными ограничениями, а (4) – прямыми.

Пример 1. Металлургическому заводу требуется уголь с содержанием фосфора не более 0.03% и с долей зольных примесей не более 3.25%. Завод закупает три сорта угля А, В, С с известным содержанием примесей. В какой пропорции нужно смешивать исходные продукты А, В, С, чтобы смесь удовлетворяла ограничениям на содержание примесей и имела минимальную цену?

Содержание примесей и цена исходных продуктов приведены в табл. 1.

Таблица 1

Сорт	Содержание (%)	Цена
угля	фосфора	золы	1 т, руб.
А В С	0.06 0.04 0.02	2.0 4.0 3.0

Построим математическую модель.

Обозначим:

Х1 – количество угля сорта А в тонне смеси;

Х2 – количество угля сорта В в тонне смеси, (переменные);

Х3 – количество угля сорта С в тонне смеси.

F( ) = 30×X1 + 30×X2 + 45×X3 - стоимость 1 т. смеси (целевая функция),

0.06×Х1 + 0.04×Х2 + 0.02×Х3 0.03 (%) - ограничение на содержание фосфора в смеси,

2×Х1 + 4×Х2+ 3×Х3 3.25 (%) - ограничение на содержание зольных примесей,

Х1+ Х2 + Х3 = 1 (т.) - ограничение на состав 1 т. смеси.

Окончательно, математическая модель имеет вид.

Определить количество угля сортов А, В, С (Х1, Х2, Х3) в тонне смеси, при которых достигается

F( ) = 30×X1 + 30×X2 + 45×X3

при ограничениях

0.06×Х1 + 0.04×Х2 + 0.02×Х3 0.03

2×Х1 + 4×Х2 + 3×Х3 3.25

Х1 + Х2 + Х3 = 1

Х1,X2,X3 0.

Пример 2. Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитывает 20 000 цыплят, которые выращиваются до 8-недельного возраста и после соответствующей обработки поступают в продажу. Недельный расход корма в среднем (за 8 недель) составляет 500г = 0.5 кг.

Для того, чтобы цыплята достигли к 8-й неделе необходимого веса, кормовой рацион должен удовлетворять определённым требованиям по питательности. Этим требованиям могут соответствовать смеси различных видов кормов, или ингредиентов.

В табл. 2 приведены данные, характеризующие содержание (по весу) питательных веществ в каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждого ингредиента. Смесь должна содержать:

¨ не менее 0.8% кальция;

¨ не менее 22% белка (от общего веса смеси);

¨ не более 5% клетчатки.

Требуется определить количество (в кг) каждого из трёх ингредиентов, образующих смесь минимальной стоимости, при соблюдении требований к общему расходу кормовой смеси и её питательности.

Таблица 2

Ингредиент	Содержание питательных веществ (кг/ингредиента)	Стоимость (руб./кг)
	Кальций	Белок	Клетчатка
Известняк Зерно Соевые бобы	0.38 0.001 0.002	- 0.09 0.50	- 0.02 0.08	0.04 0.15 0.40

Математическая формулировка задачи.

Введём следующие обозначения:

Х1 - содержание известняка в смеси (кг);

Х2 - содержание зерна в смеси (кг);

Х3 - содержание соевых бобов в смеси (кг);

Общий вес смеси, еженедельно расходуемый на кормление цыплят:

20 000 * 0.5 = 10 000 кг.

Ограничения, связанные с содержанием кальция, белка и клетчатки в кормовом рационе, имеют вид:

0.38×Х1 + 0.001×Х2 + 0.002×Х3 0.008 * 10 000,

0.09×Х2 + 0.50×Х3 0.22 × 10 000,

0.02×Х2 + 0.08×Х3 0.05 × 10 000.

Окончательный вид математической формулировки задачи:

F( ) = 0.04×X1 + 0.15×X2 + 0.40×X3

при ограничениях

Х1 + Х2 + Х3 = 10 000

0.38×Х1 + 0.001×Х2 + 0.002×Х3 80

0.09×Х2 + 0.50×Х3 2200

0.02×Х2 + 0.08×Х3 500

Хj 0, j = 1, 2, 3.

Пример 3. В отделе технического контроля (ОТК) некоторой фирмы работают контролеры разрядов 1 и 2. Норма выработки ОТК за 8-часовой рабочий день составляет не менее 1800 изделий. Контролер разряда 1 проверяет 25 изделий в час, причем не ошибается в 98% случаев. Контролер разряда 2 проверяет 15 изделий в час; его точность составляет 95%.

Заработная плата контролера разряда 1 равна 4 руб. в час, контролер разряда 2 получает 3 руб. в час. При каждой ошибке контролера фирма несет убыток в размере 2 рубля. Фирма может использовать 8 контролеров разряда 1 и 10 контролеров разряда 2. Руководство фирмы хочет определить оптимальный состав ОТК, при котором общие затраты на контроль будут минимальными.

Математическая формулировка задачи.

Пусть X1 и X2 обозначают количество контролеров разрядов 1 и 2 соответственно. Число контролеров каждого разряда ограничено, т.е. имеются следующие ограничения:

X1 £ 8 (разряд 1)

X2 £ 10 (разряд 2)

Ежедневно необходимо проверять не менее 1800 изделий. Поэтому выполняется неравенство

8×25×X1 + 8×15×X2 = 200×X1 + 120×X2 ³ 1800,

или 5×X1 + 3×X2 ³ 45.

При построении целевой функции следует иметь в виду, что расходы фирмы, связанные с контролем, включают две составляющие:

1) зарплату контролеров.

2) убытки, вызванные ошибками контролеров.

Расходы на одного контролера разряда 1 в час составляют

4 руб. + 2×25×0,02 руб. = 5 руб.

Расходы на одного контролера разряда 2 в час составляют

3 руб. + 2×15×0,05 руб. = 4 руб.50 коп.

Следовательно, минимизируемая целевая функция, выражающая ежедневные расходы на контроль, имеет вид

8×(5×X1 + 4,5×X2) = 40×X1 + 36×X2.

Теперь можно сформулировать следующую задачу ЛП

F( ) = 40×X1 + 36×X2

при ограничениях

X1 £ 8

X2 £ 10

5×X1 + 3×X2 ³ 45

X1,Х2 ³ 0 .

Пример 4. Промышленная фирма производит изделие, представляющее собой сборку из трех различных узлов. Эти узлы изготовляются на двух заводах. Из-за различий в составе технологического оборудования производительность заводов по выпуску каждого из трех видов узлов неодинакова. В приводимой ниже таблице содержатся исходные данные, характеризующие как производительность заводов по выпуску каждого из узлов, так и максимальный суммарный ресурс времени, которым располагает каждый из заводов для производства этих узлов.

Таблица 3

Завод	Максимальный недельный	Производительность, (узел/час)
	фонд времени, час	Узел 1	Узел 2	Узел 3

Идеальной является такая ситуация, когда производственные мощности обоих заводов используются таким образом, что в итоге обеспечивается выпуск одинакового количества каждого из видов узлов. Однако этого трудно добиться из-за различий в производительности заводов. Более реальная цель состоит, по-видимому, в том, чтобы максимизировать выпуск изделий, что, по существу, эквивалентно минимизации дисбаланса, возникающего вследствие некомплектности поставки по одному или двум видам узлов.

Требуется определить еженедельные затраты времени ( в часах) на производство каждого из трех видов узлов на каждом заводе, обеспечивающие максимальный выпуск изделий.

Математическая формулировка задачи.

Возможный объем производства каждого из трех видов узлов зависит от того, какой фонд времени выделяет каждый завод для их изготовления. Это послужит для нас исходным моментом при идентификации переменных.

Пусть x_ij – недельный фонд времени (в часах), выделяемый на заводе i для производства узлов вида j. Тогда объемы производства каждого из трех комплектующих узлов равны:

узел 1: 8 * x₁₁ + 6 * x₂₁,

узел 2: 5 * x₂₁ + 12 * x₂₂,

узел 3: 10 * x₁₃ + 4 * x₂₃.

Так как в конечной сборке каждый из комплектующих узлов представлен в одном экземпляре, количество конечных изделий должно быть равно количеству комплектующих узлов, объем производства которых минимален. Если, например, объем производства двух заводов составляет 100, 112 и 108 соответствующих узлов, то количество конечных изделий будет равно min {100,112,108}= 100. Поэтому количество конечных изделий можно выразить через число комплектующих узлов следующим образом:

min {(8 * x₁₁ + 6 * x₂₁), (5 * x₁₂ + 12 * x₂₂), (10 * x₁₃ + 4 * x₂₃)}.

Условия рассматриваемой задачи устанавливают ограничения только на фонд времени, которым располагает каждый завод. Таким образом, математическую модель можно представить в следующем виде:

F( ) = min{(8×x₁₁+ 6×x₂₁), (5×x₁₂ + 12×x₂₂), (10×x₁₃ + 4×x₂₃)}

при ограничениях

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ £ 100 (завод 1);

x₂₁ + x₂₂ + x₂₃ £ 80 (завод 2);

x_ij³ 0, i=1, 2; j=1, 2, 3.

Данная модель не является линейной, но ее можно привести к линейной форме с помощью простого преобразования. Пусть у – количество изделий

y = min { 8×x₁₁ + 6×x₂₁, 5×x₁₂ + 12×x₂₂, 10×x₁₃ + 4×x₂₃}.

Этому выражению с математической точки зрения эквивалентна следующая формулировка:

у

при ограничениях

8×x11 + 6×x21 ³ у

5×x12 + 12×x22 ³ у

10×x13 + 4×x23 ³ у

у ³ 0.

Можно убедиться в том, что максимизация у будет приводить к равенству этой переменной наименьшей из левых частей трех введенных ограничений, а это как раз и требуется.

Таким образом, окончательно математическую модель можно записать в виде

у

при ограничениях

8×x11 + 6×x21 – у ³ 0

5×x12 + 12×x22 – у ³ 0

10×x13 + 4×x23 – у ³ 0

x11 + x12 + x13 £ 100

x21 + x22 + x23 £ 80

x_ij ³ 0, i = 1, 2; j = 1, 2, 3, у ³ 0.

Пример 5. Фирма выпускает три вида продукции (изделий). В процессе производства используются три технологические операции. На рис. 1 показана технологическая схема производства изделий видов 1, 2 и 3. При изготовлении изделия 2 технологическая операция 2 не выполняется, а при производстве изделия 3 используются только технологические операции 1 и 2. В прямоугольниках на рис. 1 указана длительность технологических операций при изготовлении изделия каждого вида.

Рис. 1. Технологическая схема производства изделий

Так как эти технологические операции используются фирмой и для других производственных целей, фонд рабочего времени, в течение которого операции 1, 2 и 3 могут быть применены для производства рассматриваемых изделий, ограничен следующими предельными значениями (в сутки):

для первой операции - 430 мин,

для второй операции - 460 мин,

для третьей операции - 420 мин.

Изучение рынка сбыта показало, что ожидаемая прибыль от продажи одного изделия видов 1, 2 и 3 составляет 3,2 и 5 руб. соответственно.

Каков наиболее выгодный суточный объем производства каждого вида изделия?

Как уже было показано, построение математической модели следует начинать с идентификации управляемых переменных (искомых величин). После этого определяются целевая функция и ограничения через соответствующие переменные.

Пусть

X1 - количество производимых изделий вида 1,

X2 - количество производимых изделий вида 2,

X3 - количество производимых изделий вида 3.

При использовании этих обозначений математическая формулировка задачи принимает вид

F( )= 3×X1 + 2×X2 + 5×X3 (целевая функция) (величина прибыли за сутки)

при ограничениях

для операции 1: 1×X1 + 2×X2 + 1×X3 £ 430 (предельное время

для операции 2: 3×X1 + 0×X2 + 2×X3 £ 460 использования операций

для операции 3: 1×X1 + 4×X2 + 0×X3 £ 420 в течение суток)

X1, X2, X3 ³ 0.

Геометрическая интерпретация задачи производственного планирования

Задачи производственного менеджмента во многих случаях оказываются ассоциированными с задачами распределительного типа, т.е. с задачами, в которых требуется распределить ограниченные ресурсы по нескольким видам производственной деятельности.

Рассмотрим следующую ситуацию, получившую название задачи производственного планирования. Пусть из технологических соображений известен перечень продуктов, которые предприятие может производить без дополнительных капиталовложений. Кроме того, известны вид и количество ресурсов отпущенных предприятию для производственного потребления и структура материальных затрат и доходов. В этих условиях перед предприятием стоит задача выбора плана производства, обеспечивающего получение максимальной прибыли.

Перейдем к построению математической модели рассмотренной ситуации. Будем считать, что предприятие может производить n различных продуктов (j = 1, ..., n). Количество j-го продукта выпускаемого по плану, обозначим через xj. В этом случае план производства может быть описан с помощью вектора = (X1, X2, ..., Xn). Предположим, что предприятие располагает для организации производственного процесса m видами различных ресурсов (i = 1, ..., m). Количество ресурса i-го вида, отпущенное предприятию для потребления обозначим через bi. Количество ресурса i-го вида, расходуемое предприятием на производство единицы j-го продукта, обозначим через aij, а прибыль, от производства единицы продукции j-го вида через cj.

Тогда, в принятых нами обозначениях, задача выбора плана производства, обеспечивающего получение максимальной прибыли может быть сформулирована как математическая задача в следующем виде:

Найти вектор-план =(X1,X2,...,Xn), удовлетворяющий системе ограничений

i=1,...,m,

Xj 0 ,

и доставляющий целевой функции задачи

F( ) =

максимальное значение.

Пример 1. Предприятие производит два вида продукции А1, А2 , используя сырье трех типов: S1, S2, S3. Нормы расхода сырья каждого типа на единицу продукции, их наличие в распоряжении предприятия, а также прибыль от реализации единицы продукции приведены в таблице 1. Требуется составить такой план выпуска продукции, при котором прибыль предприятия от ее реализации является максимальной.

Таблица 1

Вид	Норма расхода сырья на единицу продукции	Наличие
сырья	А1	А2	сырья
S1
S2
S3
Прибыль от единицы продукции

Математическая модель данной задачи может быть записана следующим образом. Определить объемы производства продукции вида А1 и А2, при которых достигается максимум целевой функции

F( )= 3×X1 + 4×X2

при ограничениях

X1 + X2 5

2×X1 + X2 9

X1 + 2×X2 7

X1,X2 0 ,

где X1 и X2 - количество единиц продукции вида А1 и А2.

С формальных позиций данная модель является линейной потому, что все входящие в нее функции линейные. Так как модель содержит только две переменные, задачу можно решить графически.

Первый шаг, при использовании графического метода, заключается в геометрическом представлении допустимых решений, т.е. построении области, в которой одновременно выполняются все ограничения модели. Искомая область (пространство) решений показана на рис. 1.

Рис. 1. Геометрическая интерпретация задачи производственного планирования

Пространство решений содержит бесконечное число точек. Известно, что направление возрастания целевой функции модели определяется вектором-градиентом, т.е. вектором с координатами (3;4) – [ = {3, 4}]. На рис.1 это направление показано стрелкой. Чтобы найти оптимальное решение, следует перемещать прямую характеризующую прибыль (линию уровня целевой функции) в направлении вектора-градиента до тех пор, пока она не сместится в область недопустимых решений. Из рис.1 видно, что оптимальному решению соответствует точка С с координатами (3;2). Полученное решение означает, что объем производства продукции А1 равен трем единицам, а продукции А2 равен двум единицам. Прибыль от реализации составит 17 денежных единиц. Заметим, что оптимальному решению всегда может быть поставлена в соответствие одна из допустимых угловых точек пространства решений (на рис.1 это точки А,B,С,D,Е). Какая из этих точек окажется оптимальной, зависит от наклона линии уровня целевой функции, т.е. от коэффициентов целевой функции.