Тема 11. Индексный метод в статистических исследованиях

Индексы – обобщающие показатели сравнения во времени и в пространстве не только одноименных (однотипных, однородных) явлений, но и совокупностей, состоящих из несопоставимых (в физических единицах) элементов.

По степени охвата элементов совокупности индексы делятся на индивидуальные и сводные (общие, групповые).

Индивидуальные индексы, обозначаемые символом , характеризуют относительное изменение отдельных единиц статистической совокупности и по сути представляют собой относительные величины динамики или коэффициенты (темпы) роста. Формулы индивидуальных индексов для различных показателей имеют вид:

- индекс объема; - индекс цены;

- индекс себестоимости единицы отдельного товара;

- индекс товарооборота;

- индекс затрат на производство всего объема однородного товара и т.д., где и - количество какого-либо товара (продукта) в натуральном выражении в текущем и базисном периодах; и - цена и себестоимость единицы товара (продукта) в текущем и базисном периодах.

Общие (сводные) индексы, обозначаемые символом характеризуют относительное изменение индексируемой величины (показателя) в целом по сложной совокупности, отдельные элементы которой несоизмеримы в физических величинах. Любой сводный индекс может быть исчислен в двух формах: как агрегатный и как средний из индивидуальных (в форме среднего арифметического и среднего гармонического индексов).

Формулы агрегатных индексов:

- индекс физического объема реализованной продукции;

- индекс цен (по Пааше);

- индекс цен (по Ласпейресу);

- индекс товарооборота.

Увязка индексов в систему .

Разность между числителем и знаменателем каждого из индексов позволяет определить изменение товарооборота в абсолютном выражении в целом и по факторам – за счет изменения цен и физического объема реализации : , где ; ;

.

Аналогичной системой индексов можно охарактеризовать и процессы, относящиеся к производству продукции в части себестоимости:

- индекс физического объема произведенной продукции;

- индекс себестоимости (по Пааше);

- индекс затрат на производство продукции.

Изменение затрат на производство продукции в абсолютном выражении:

в целом ; за счет изменения себестоимости единицы продукции каждого вида ; за счет изменения объема производства ; .

Формулы средних индексов из индивидуальных:

- общий индекс физического объема в средней арифметической форме;

- общий индекс цен (по Пааше) в средней гармонической форме.

Разность между числителем и знаменателем этих индексов также дает изменение товарооборота по факторам (за счет изменения физического объема реализации и за счет изменения цен).

Все рассмотренные выше индексы рассчитывались по нескольким товарам, реализуемым в одном месте, или видам продукции, производимым на одном предприятии. Если один и тот же товар реализуется в разных местах или вид продукции производится на ряде предприятий, то динамику таких процессов характеризуют с помощью индексов средних величин, которые представляют собой систему взаимосвязанных индексов переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов.

Средняя цена и средняя себестоимость определяются формулами:

; .

Динамику средних цен характеризуют следующие индексы:

- индекс переменного состава, показывающий, как изменилась средняя цена определенного вида товара, реализованного на разных рынках, за счет двух факторов: р – изменения цен на отдельных рынках и q – изменения количества (доли) товаров, реализованных на разных рынках, т.е. структуры продаж;

- индекс постоянного состава, характеризующий изменение средней цены за счет изменения цен на отдельных рынках;

- индекс структурных сдвигов, характеризующий изменение средней цены за счет структурного фактора, т.е. изменения долей продукции, реализованной на разных рынках (по разным ценам).

Все три индекса увязываются в систему:

.

Разность между числителем и знаменателем каждой из формул определяет абсолютное изменение средней цены в целом и по указанным факторам .

Изменение товарооборота в абсолютном выражении по совокупности всех рынков определяется по следующим формулам:

· в целом ;

· за счет изменения средней цены ;

· за счет изменения цен на отдельных рынках ;

· за счет изменения объема продаж ;

· за счет изменения структуры продаж .

Все рассмотренные изменения товарооборота увязываются в следующие системы:

.

Аналогичные формулы можно записать применительно и к себестоимости (заменив соответственно p на z).

Варианты контрольных работ

Вариант 1

Задача 1.Объем продаж магазина в отчетном году вырос по сравнению с предшествующим годом на 20%. Определить: а) относительный показатель динамики; б) объем продаж в отчетном году, если объем продаж в предшествующем году был 20 млн руб.; в)относительный показатель реализации плана, если объем продаж на отчетный год планировался 25 млн руб. Относительные показатели исчислять в коэффициентах и процентах.

Задача 2. 1.2. Постройте группировку численности безработных двух регионов по полу и возрасту (% к итогу) с целью приведения их к сопоставимому виду. Сделайте сравнительный анализ результатов. Сделайте выводы.

Регион 1	Регион 2
Возраст	Всего	Мужчин	Женщин	Возраст	Всего	Мужчин	Женщин
15 – 19	11,8	4,5	7,3	15 – 19	13,7	9,5	4,2
20 – 24	3816,2	1797,2	2119,0	20 – 24	3599,5	1937,2	1662,3
25 – 29	1711,3	1109,8	601,5	25 – 29	2600,2	1503,5	1096,7
30 – 34	948,5	348,8	599,7	30 – 34	1097,7	524,5	573,2
35 – 39	672,6	256,5	416,1	35 – 39	873,2	439,7	433,5
40 – 44	112,8	45,3	67,5	40 – 44	146,0	48,8	97,2
45 – 49	35,2	18,7	16,5	45 – 49	67,7	37,2	30,5
50 – 54	14,9	5,5	9,4	50 – 54	13,9	4,2	9,7
55 – 59	2,1	2,1		55 – 59	12,3	12,3

Таблица . Группировка численности безработных двух регионов по полу и возрасту (% к итогу)

Регион 1	Регион 2
Возраст	Процентное соотношение полов (%)	Возраст	Процентное соотношение полов (%)
Мужчин	Женщин	Мужчин	Женщин
15 – 19
20 – 24
25 – 29
30 – 34
35 – 39
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59

Задача 3. С целью определения средней продолжительности телефонных разговоров по городской сети произведено 5%-ное выборочное обследование. В результате случайного бесповторного отбора телефонных разговоров получены следующие данные:

Продолжительность разговора, мин	До 2	2-4	4-6	6-8	8-10	и более	Итого
Количество разговоров в выборке

Определите: а) с вероятностью 0,997 возможные пределы средней продолжительности телефонного разговора по городской сети; б) с вероятность 0,954 возможные пределы доли разговоров, продолжительность которых составляет 10 и более минут.

По данным таблицы найдите значение моды и медианы.

Задача 4.. Имеются следующие данные о розничном товарообороте в регионе (млрд. руб.):

Месяц	Год
Январь	7,4	7,8	8,3
Февраль	7,9	8,2	8,6
Март	8,7	9,2	9,7
Апрель	8,2	8,6	9,1
Май	7,9	8,3	8,8
Июнь	8,2	8,7	9,1
Июль	8,3	8,8	9,3
Август	8,8	9,3	9,9
Сентябрь	8,7	8,9	9,3
Октябрь	8,8	8,2	9,9
Ноябрь	8,3	8,8	9,8
Декабрь	9,0	9,5	9,3

Для изучения общей тенденции розничного товарооборота региона за 2008 – 2010 г.г. произведите:

1.преобразование исходных данных путем укрупнения периодов времени в квартальные уровни, в годовые уровни;

2.сглаживание квартальных уровней розничного товарооборота с помощью четырехчленной скользящей средней;

3.графическое изображение фактических и сглаженных уровней рядов динамики.

В заключение сделать вывод о характере общей тенденции розничного товарооборота в регионе.

Задача 5. По предприятию, выпускающему разнородную продукцию, известны данные о затратах на производство и изменениях объемов выпуска продукции за два года:

Изделие	Затраты на производство в фактических ценах, млн руб.	Изменение объема выпуска в отчетном году по сравнению с базисным, %
базисный год,	отчетный год,
А			+ 5,5
Б			+ 4
В			- 1,25

Определите:

· общие индексы затрат на производство, себестоимости (по Пааше) и физического объема выпуска;

· абсолютное изменение затрат на производство по всей продукции в целом и по факторам (за счет изменения себестоимости единицы продукции каждого вида и за счет изменения объема выпуска).

Проверить увязку индексов и абсолютных изменений затрат на производство. Сделать выводы.

Задача 6. Исследовалась связь между выполнением норм выработки рабочими и

уровнем их образования.

Результаты исследования характеризуются следующими данными:

Группы	Выполняющие нормы	Не выполняющие нормы
Окончившие среднюю школу
Не окончившие среднюю школу

Определите коэффициенты ассоциации и контингенции между уровня­ми образования и выполнения норм выработки.

Вариант 2

Задача 1.Предприятие за отчетный период израсходовало на производственные нужды следующие виды топлива:

Виды топлива	Количество израсходованного топлива, т	Калорийные эквиваленты перевода в условное топливо
Моторное		1,43
Мазут		1,37
Уголь		0,90
Торф		0,40

Определить: а) количество топлива каждого вида и общее количество потребленного в отчетном периоде топлива (в условно-натуральных единицах); б) относительные показатели структуры потребленного топлива.

Задача 2. Известны следующие данные страны «Х» об объеме импорта с отдельными странами Европы (данные условные) за один календарный год:

Квартал	Страна
A	B	C	D	E
I
II
III
IV

Используя эти данные, постройте интервальный вариационный ряд распределения стран Европы по объему импорта: а) выделив 4 группы с равными интервалами; б) с помощью определения количества групп по формуле Стерджесса; в) с помощью коэффициента вариации определите тесноту связи в группах. Постройте полигон, гистограмму и кумуляту.

Задача 3. С целью определения дальности поездок пассажиров пригородных поездов произведено выборочное обследование пассажиропотока. В выборку случайным отбором было включено 500 человек, что существенно меньше общей численности пассажиров. В результате обследования установлены следующие выборочные характеристики: средняя дальность поездки 24,8 км, среднее квадратическое отклонение 3,63 км, доля поездок дальностью до 10 км составляет 25%. Определите: а) с вероятностью до 0,997 возможные пределы средней дальности поездки;

б) с вероятностью 0,954 возможные пределы доли поездок дальностью до 10 км.

Задача 4 Имеются следующие данные о производстве продукции предприятиями объединения за семь лет (в сопоставимых ценах, млрд. руб.). Определите показатели, характеризующие рост производства продукции за указанный период (по годам и к базисному):

1) а) коэффициенты роста; б) темпы роста; в) абсолютные приросты; г) темпы прироста; д) абсолютное значение одного процента прироста для каждого года;

2) представьте полученные данные в табличной форме;

3) определите средний абсолютный прирост.

Объем произво-дства

Абсолютный прирост

Коэффициент роста

Темп роста

Коэффициент прироста

Темп прироста

Абсолют-ное значение 1 %

Цеп.

Баз.

Цеп.

Баз.

Цеп.

Баз.

Цеп.

Баз.

Цеп.

Баз.

Цеп.

Баз.

Задача 5. Имеются следующие данные о реализации мясных продуктов на городском рынке за два периода:

Продукт	Август	Декабрь
цена, руб./кг, р0	продано, ц, q0	цена, руб./кг, p1	продано, ц, q1
Говядина
Баранина
Свинина

Определите:

· сводные индексы цен (по Пааше), физического объема реализации и товарооборота;

· абсолютное изменение товарооборота по всей совокупности продуктов в целом и по факторам (за счет изменения цен и за счет изменения количества реализованных продуктов).

Проверить увязку индексов и абсолютных изменений товарооборота. Сделайте выводы.

Задача 6. Определите тесноту связи с помощью коэффициента знаков Фехнера между урожайностью картофеля и количеством внесённых минеральных удобрений.

Номер совхоза	Урожайность, ц с 1 га	Внесено минеральных удобрений
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.

Вариант 3

Задача 1. Фирма в мае выпустила 200 агрегатов. Относительные показатели динамики с переменной базой сравнения в июне и июле были 1,1 и 1,2 соответственно. Определить:

а) количество агрегатов, выпущенных в июне и в июле; б) относительный показатель динамики за весь исследуемый период; в)относительный показатель выполнения плана за июль, если в июле намечалось выпустить 280 агрегатов. Относительные показатели исчислять в коэффициентах и процентах.

Задача 2. Имеются данные о работе 20 предприятий:

Номер предприятия	Стоимость основных производственных фондов/среднегодовая/, млн. руб.	Продукция за отчетный период, млн. руб.
	6,3	8,5
	6,9	9,0
	8,1	9,6
	13,0	15,0
	4,3	7,6
	4,5	7,8
	5,1	8,3
	5,7	8,8
	8,1	10,6
	6,1	9,1
	1,0	4,1
	3,6	7,1
	5,1	8,4
	4,7	8,0
	5,5	8,7
	7,9	10,1
	4,9	8,1
	2,6	6,0
	4,1	8,0
	4,0	7,3

Требуется определить:

1) Применяя к данным метод аналитической группировки, выявите характер зависимости выпуска продукции на одно предприятие в зависимости от величины основных фондов.

2) При группировке по факторному признаку образуйте 4 группы предприятий с равными интервалами. Каждую группу охарактеризуйте количеством предприятий, среднегодовой стоимостью основных производственных фондов, продукцией за отчетный период (по группе на одно предприятие и в целом по предприятию). Постройте статистический ряд распределения предприятий по выпуску продукции.

Таблица. Аналитическая группировка предприятий по стоимость основных производственных фондов и продукция за отчетный период.

№ п/п	Ширина интервала	Кол-во пред-тий в группе, шт.	Удельный вес группы, в %	Стоимость основных производственных фондов, млн руб.	Продукция за отчетный период, млн. руб.
Всего в группе	В среднем на одно пред-тие	Всего в группе	В среднем на одно пред-тие

Задача 3. Для изучения состояния станочного фонда предприятия было проведено 10%-ное выборочное обследование. В результате случайного бесповторного отбора получены следующие данные:

Срок службы станков, лет	До 3	3 – 5	5 – 7	7 – 9	и более	Итого
Число станков в выборке, шт.

Определите: а) с вероятностью 0,997 возможные пределы среднего срока службы станков на предприятии; б) с вероятностью 0,954 возможные пределы доли станков, срок службы которых составляет 7 и более лет.

По данным таблицы определить моду и медиану.

Задача 4. Используя взаимосвязь показателей динамики, определите уровни ряда динамики и недостающие в таблице базисные показатели динамики по следующим данным о производстве яиц в регионе за 2002 – 2010 г.г.:

Год	Производство яиц, млн шт.	Базисные показатели динамики
абсолютный прирост, млн шт.	темп роста, %	темп прироста, %
	55,1	-		-
		2,7
			110,2
				14,9
				17,1
			121,2
		13,5
				25,4
		14,9

После определения уровней ряда и базисных показателей динамики исчислите: средний уровень ряда, средний абсолютный прирост, среднегодовой темп роста, среднегодовой темп прироста, возможный объем производства яиц в 2011 году (используя средний абсолютный прирост).

В заключение сделать выводы о динамики производства яиц в регионе.

Задача 5. По торговому предприятию известны данные о товарообороте и изменении цен по трем группам товаров за два периода:

Товарные группы	Товарооборот в совпоставимых ценах, млн руб.,	Изменение цен в отчетном периоде по сравнению с базисным, %
базисный период p0q0	отчетный период p0q1
А			+ 5,6
Б			- 2,4
В			+ 14,0

Определите:

· общие индексы физического объема реализации, цен (по Пааше) и товарооборота (в фактических ценах);

· абсолютное изменение товарооборота (в фактических ценах) по всей совокупности товаров в целом и по факторам (за счет изменения цен и за счет изменения количества реализованных товаров).

Проверить увязку индексов и абсолютных изменений товарооборота. Сделайте выводы.

Задача 6. Определите тесноту связи с помощью коэффициента знаков Фехнера между урожайностью картофеля и количеством внесённых минеральных удобрений.

Номер совхоза	Урожайность, ц с 1 га	Внесено минеральных удобрений
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.

Вариант 4

Задача 1. Торговая фирма имела оборот в июне месяце 250 млн руб. и планировала увеличить его в июле на 12%. Фактический оборот фирмы в июле оказался больше планового на 3,6%. Определить: а) абсолютное приращение фактического июльского товарооборота по сравнению с июньским; плановое и сверхплановое приращение; б) относительный показатель динамики товарооборота.

Относительные показатели исчислять в коэффициентах и процентах.

Задача 2. Имеются данные о работе 20 предприятий промышленности:

Номер предприятия	Стоимость основных производственных фондов (среднегодовая) млн. руб.	Продукция за отчетный период
	5,3	8,5
	5,6	9,0
	7,1	9,6
	9,0	13,0
	4,3	7,6
	4,5	7,8
	5,1	8,3
	5,7	8,8
	8,1	10,6
	6,1	9,1
	1,0	5,1
	3,6	7,1
	4,1	7,4
	4,7	8,0
	5,5	8,7
	7,9	10,1
	4,9	8,1
	2,6	6,0
	3,1	7,0
	3,0	7,3

применяя к исходным данным метод аналитической группировки, выявите характер зависимости выпуска продукции на одно предприятие от величины основных фондов (При группировке по факторному признаку образуйте 4 группы предп­риятий с равными интервалами. Каждую группу охарактеризуйте коли­чеством предприятий, среднегодовой стоимостью ОПФ, продукцией за отчётный период, по группе на одно предприятие и в целом по предприятию)

Постройте статистический ряд распределения предприятий по выпуску продукции образовав 4 группы с равными интервалами.

Таблица. Аналитическая группировка предприятий по стоимость основных производственных фондов и продукция за отчетный период.

№ п/п	Ширина интервала	Кол-во пред-тий в группе, шт.	Удельный вес группы, в %	Стоимость основных производственных фондов, млн руб.	Продукция за отчетный период, млн. руб.
Всего в группе	В среднем на одно пред-тие	Всего в группе	В среднем на одно пред-тие

Задача 3.С целью демографического анализа проведено выборочное обследование возраста студентов вуза. Механическим бесповторным отбором в выборочную совокупность было включено 200 студентов из общего числа 4000 человек. Результаты обработки материалов наблюдения приведены в таблице:

Возраст, лет
Число студентов, чел.

Определите: а) с вероятностью 0,997 возможные пределы среднего возраста студентов вуза;

б) с вероятностью 0,954 возможные пределы генеральной доли студентов, возраст которых не превышает 20 лет.

По данным таблицы найдите значение моды и медианы.

Задача 4. Известны следующие данные о производстве тканей в регионе за 2000 – 2010 г.г.:

Год	Производство тканей, млн м2
шелковые	хлопчатобумажные	шерстяные
	1,14	6,15	0,64
	1,51	6,63	0,74
	1,60	6,78	0,76
	1,65	6,81	0,77
	1,69	6,97	0,78
	1,73	6,97	0,77
	1,77	7,07	0,76
	1,81	7,17	0,77
	1,82	7,15	0,74
	1,90	7,30	0,70
	1,96	7,36	0,72

Для сравнительного анализа производства тканей в регионе приведите ряды динамики к общему основанию, укажите производство какого вида тканей развивается опережающими темпами.

В заключение сделать вывод о характере динамики производства тканей в регионе.

Задача 5. Имеются данные о реализации специализированным магазином товаров бытовой техники:

Товар	Товарооборот отчетного периода в фактических ценах, тыс. руб. p1q1	Изменение цен в отчетном периоде по сравнению с базисным, %
Электромясорубка		+ 6,0
Кухонный комбайн		+ 8,4
Миксер		+ 2,2

Определите:

· общий индекс цен по всей группе товаров;

· дополнительную выручку, полученную магазином в отчетном периоде вследствие изменения цен на товары.

Сделайте выводы.

Задача 6. В результате социологического обследования на одной из новостроек были получены следующие данные:

Образование	Довольны своей работой	Не довольны своей работой
Высшее и законченное среднее
Незаконченное среднее
Итого

Найдите, коэффициент ассоциации и контингенции между уровнем образования и удовлетворённостью выполняемой работой.

Вариант 5

Задача 1. По акционерному обществу, состоящему из трех предприятий, известны следующие данные за отчетный период:

Предприятие	Фактический выпуск продукции, млн руб.	Относительный показатель выполнения плана, %
	29,40
	24,48
	34,68

Определить: а) плановый объем выпуска продукции по каждому предприятию; б) относительный показатель выполнения плана в целом по АО; в) относительные показатели структуры совокупности (удельные веса предприятий в общем объеме фактического выпуска).

Задача 2. Имеются данные о работе 20 предприятий промышленности:

Номер предприятия	Стоимость основных производственных фондов (среднегодовая) млн. руб.	Продукция за отчетный период
	5,2	8,4
	5,8	8,9
	7,0	9,5
	12,0	15,0
	4,2	7,5
	4,4	7,7
	5,0	8,2
	5,6	8,7
	8,0	10,5
	6,0	9,0
	2,0	5,0
	3,5	7,0
	4,0	7,3
	4,6	7,9
	5,4	8,6
	9,9	13,0
	4,8	8,0
	2,5	5,9
	3,0	6,9
	3,9	7,2

1. Применяя к исходным данным метод аналитической группировки выявите характер зависимости выпуска продукции на одно предприятие от величины основных фондов. (При группировке по факторному признаку образуйте 5 группы предприятий с равными интервалами. Каждую группу охарактеризуйте количеством предприятий среднегодовой стоимостью ОПФ, продукцией за отчётный период, по группам на одно предприятие и в целом по предприятию).

2.Постройте статистический ряд распределения предприятий по выпуску продукции образовав 5 группы с равными интервалами.

Таблица. Аналитическая группировка предприятий по стоимость основных производственных фондов и продукция за отчетный период.

№ п/п	Ширина интервала	Кол-во пред-тий в группе, шт.	Удельный вес группы, в %	Стоимость основных производственных фондов, млн руб.	Продукция за отчетный период, млн. руб.
Всего в группе	В среднем на одно пред-тие	Всего в группе	В среднем на одно пред-тие

Задача 3. С целью определения затрат времени на изготовление деталей на предприятии с численностью рабочих 500 человек в порядке случайной бесповторной выборки произведен хронометраж работы 50 рабочих. По данным обследования получили следующие результаты: среднее время на изготовление одной детали 10 мин, среднее квадратическое отклонение 1 мин. Определите: а) как изменится ошибка выборки, если объем выборочной совокупности увеличить в 1,5 раза; б) как скажется на ошибке выборки увеличение дисперсии в 2 раза; в) как изменится ошибка выборки, если с увеличением дисперсии в 1,44 раза объем выборочной совокупности увеличить в 2,56 раза; г) как изменится ошибка выборки, если численность генеральной совокупности будет в 3 раза больше.

Задача 4. Имеются следующие данные о темпах роста объема продукции обрабатывающей промышленности за десять лет (в % к предыдущему году (цепные реакции)):

1 год	2 год	3 год	4 год	5 год	6 год	7 год	8 год	9 год	10 год

Определите среднегодовые темпы роста объема продукции обрабатывающей промышленности: а) за период с 1 – 5 гг.; б) за период 5 - 10 гг.; в) в целом за весь период.

Постройте графическое отображение полученных данных.

Задача 5. По предприятию, производящему разнородную продукцию, имеются данные о себестоимости и объемах производства продукции за два периода:

Изделие	Базисный период	Отчетный период
себестоимость единицы продукции, руб. z0	произведено продукции, тыс. шт. q0	себестоимость единицы продукции, руб. z1	произведено продукции, тыс. шт. q1
А		63,4		52,7
Б		41,0		38,8
В		89,2		91,0

Определите:

· сводные индексы себестоимости (по Пааше), физического объема продукции и затрат на ее производство;

· абсолютное изменение затрат на производство по всей совокупности продукции в целом и по факторам (за счет изменения себестоимости единицы продукции кажд