Формальная математическая постановки задачи

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по выполнению лабораторной работы

"Решение задач оптимизации

в среде Microsoft Excel"

для студентов дневного и заочного отделений

Ижевск

СОЖЕРЖАНИЕ

	Стр.
Введение
Формальная постановка задачи оптимизации планирования производства
Пример формальной постановки задачи оптимизации планирования производства
Методика выполнения задачи оптимизации планирования производства в Microsoft Excel
Формальная постановка задачи оптимизации транспортных перевозок
Пример формальной постановки транспортной задачи
Методика выполнения транспортной задачи в Microsoft Excel
Требования к оформлению лабораторной работы
Рекомендуемая литература

Введение

В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с необходимостью решать оптимизационные задачи. Например, заходя в магазин, мы стоим перед дилеммой максимального удовлетворения своих потребностей, соизмеряя их с возможностями нашего кошелька.

Любой менеджер постоянно решает разнообразные проблемы, начиная с планирования штата сотрудников, фонда зарплаты и заканчивая составлением оптимального плана производства, планированием рекламной кампании по продвижению продукции и оптимизацией капиталовложений.

На театре военных действий командиры решают задачи оптимального указания целей и наведения оружия на эти цели в расчете на максимальное поражение противника.

Менеджер по транспортным перевозкам решает задачу минимизации транспортных издержек в условиях наиболее полного удовлетворения интересов производителей и потребителей.

Настоящее методическое пособие посвящено знакомству с задачами оптимизации, решаемых на предприятиях и одной из самых популярных экономико-математических моделей - транспортной задаче.

Студент экономических специальностей должен знать основные экономические проблемы, при решении которых возникает необходимость в математическом инструментарии. Он должен ориентироваться в экономической постановке задачи, уметь формализовать экономическую задачу, то есть описать ее с помощью известной математической модели, провести расчеты и получить количественные результаты. Однако самое главное – студент должен уметь анализировать эти результаты и делать выводы, адекватные поставленной экономической задаче.

В результате изучения методического пособия студент должен научиться определять и использовать для экономического анализа:

• целевую функцию;

• ограничения;

• модель линейного программирования;

• оптимальный план.

Для решения задач оптимизации часто используют надстройку программы Microsoft Excel "Поиск решения".

Цель методического пособия – научиться использовать возможности Microsoft Excel для нахождения решений задач оптимизации.

Оптимизация плана производства

Общая постановка задачи планирования производства: необходимо определить план производства одного или нескольких видов продукции, который обеспечивает наиболее рациональное использование имеющихся материальных, финансовых и других видов ресурсов. Такой план должен быть оптимальным с точки зрения выбранного критерия — максимума прибыли, минимума затрат на производство и т.д.

Модели

Введем обозначения:

п— количество выпускаемых продуктов;

т — количество используемых производственных ресурсов (например, производственные мощности, сырье, рабочая сила);

a_ij — объем затрат i-го ресурса на выпуск единицы j-й продукции;

c_j — прибыль от выпуска и реализации единицы j-го продукта;

b_i — количество имеющегося i-го ресурса;

x_j — объем выпуска j-го продукта.

Формально задача оптимизации производственной программы может быть описана с помощью следующей модели линейного программирования:

(1)

(2)

(3)

Здесь (1) — целевая функция (максимум прибыли);

(2) — система специальных ограничений (constraint) на объем фактически имеющихся ресурсов;

(3) — система общих ограничений (на неотрицательность переменных);

x_j— переменная (variable).

Задача (1)—(3) называется задачей линейного программирования в стандартной форме на максимум.

Задача линейного программирования в стандартной форме на минимумимеет вид

(4)

(5)

(6)

Вектор х = (x₁, x₂, ..., x_п), компоненты x_j которого удовлетворяют ограничениям (2) и (3) (или (5) и (6) в задаче на минимум), называется допустимым решением или допустимым планом задачи линейного программирования (ЛП).

Совокупность всех допустимых планов называется множеством допустимых планов.

Допустимое решение задачи ЛП, на котором целевая функция (1) (или (3) в задаче на минимум) достигает максимального (минимального) значения, называется оптимальным решением задачи ЛП.

С каждой задачей ЛП связывают другую задачу ЛП, которая записывается по определенным правилам и называется двойственной задачей ЛП.

Двойственной к задаче ЛП (1)–(3) является задача

(7)

(8)

(9)

Соответственно, двойственной к задаче ЛП (7)–(9) является задача (1)–(3). Каждой переменной (специальному ограничению) исходной задачи соответствует специальное ограничение (переменная) двойственной задачи. Если исходная задача ЛП имеет решение, то имеет решение и двойственная к ней задача, при этом значения целевых функций для соответствующих оптимальных решений равны.

Компонента оптимального решения двойственной задачи (7)–(9) называется двойственной оценкой (Dual Value)ограничения исходной задачи ЛП.

Пусть , где х_j – компонента допустимого решения задачи (1)–(3).

Тогда при выполнении условий невырожденности оптимального решения имеют место следующие соотношения:

, i=1, …, m

Изменим значение правой части b_iодного основного ограничения (RHS) исходной задачи ЛП.

Пусть – минимальное значение правой части основного ограничения, при котором решение у^*двойственной задачи не изменится. Тогда величину называют нижней границей (Lower Bound) устойчивости по правой части ограничения.

Пусть –максимальное значение правой части основного ограничения, при котором решение у^* двойственной задачи не изменится. Тогда величину называют верхней границей (Upper Bound) устойчивости по правой части ограничения.

Изменим значение одного коэффициента с_j целевой функции исходной задачи ЛП.

Пусть Су'— минимальное значение коэффициента целевой функ­ции, при котором оптимальное решение х исходной задачи не изменится. Тогда величину Cj называют нижней границей устой­чивости по коэффициенту целевой функции.

Пусть с" — максимальное значение коэффициента целевой функции, при котором оптимальное решение х* исходной задачи не изменится. Тогда величину cj называют верхней границей устойчивости по коэффициенту целевой функции.

Пример решения задачи

оптимизации планирования производства

Задача.Завод производит электронные приборы трех видов (прибор А, прибор В и прибор С), используя при сборке микросхемы трех видов (тип 1, тип2, тип3). Расход микросхем задается следующей таблицей:

	Прибор А	Прибор В	Прибор С
Микросхема 1
Микросхема 2
Микросхема 3

Стоимость изготовленных приборов одинакова. Ежедневно на склад завода поступает 500 микросхем типа 1 и по 400 микросхем типов 2 и 3. Каково оптимальное соотношение дневного производства приборов различного типа, если производственные мощности завода позволяют использовать запас поступивших микросхем полностью?

Переменные

1. Обозначим через x_j дневное производство приборов j, j=1,2,3, то есть
x₁ - дневной выпуск приборов А;
x₂ - дневной выпуск приборов В;
x₃ - дневной выпуск приборов С.

2. Обозначим через R_i расход микросхем i, где i=1,2,3, то есть
R₁ - расход микросхем 1-го типа;
R₂ – расход микросхем 2-го типа;
R₃ – расход микросхем 3-го типа.

3.Обозначим через N дневное производство всех видов приборов.

Решение

1.Зададим математическую модель расхода микросхем

, где i=1,2,3.

или

2. Зададим математическую модель нахождения общего количества приборов N=x₁+x₂+x₃. Его максимизация является целью решения задачи. Следовательно, целевая функция будет иметь вид:

Ограничения

1. Расход микросхем не должен превышать их запас

(для микросхем 1-го типа)

или (для микросхем 2-го типа)

(для микросхем 3-го типа)

2. Количество выпускаемых приборов должно быть целым числом.

3. Поскольку x₁, x₂, x₃ выражают объем выпускаемых приборов, то они не могут быть отрицательны, то есть
x₁≥0; x₂≥0; x₃≥0; x₄≥0

Пример решения транспортной задачи

Исходная постановка задачи

В пунктах A и B находятся соответственно 150 и 190 тонн горючего. Пунктам 1, 2, 3 требуются соответственно 60, 70, 110 тонн горючего. Стоимость перевозки 1 т горючего из пункта A в пункты 1, 2, 3 равна 60, 10, 40 тыс. руб. за 1 т соответственно, а из пункта B в пункты 1, 2, 3 – 120, 20, 80 тыс. руб. за 1 т соответственно.

Составьте план перевозок горючего, минимизирующий общую сумму транспортных расходов.

Составим таблицу исходных данных.

Поставщики	Потребители	Запасы
A	60	10	40	150
B	120	20	80	190
Потребность	60	70	110

Важно отметить, что данная задача сбалансирована, то есть запасы горючего и потребность в нем равны. В этом случае не нужно учитывать издержки, связанные как со складированием, так и с недопоставками. В противном случае в модель нужно ввести:

· в случае превышения объема запасов - фиктивного потребителя; стоимость перевозок единицы продукции этому фиктивному потребителю полагается равной стоимости складирования, а объемы перевозок этому потребителю равны объемам складирования излишек продукции у поставщиков;

· в случае дефицита - фиктивного поставщика; стоимость перевозок единицы продукции от фиктивного поставщика полагается равной стоимости штрафов за недопоставку продукции, а объемы перевозок от этого поставщика равны объемам недопоставок продукции потребителям.

Переменные

1. Пусть x_ij - объем перевозок от i-того поставщика j-му потребителю.

2.a_i - расход горючего для i-го поставщика, где i=1,2.

3. S - cуммарные транспортные расходы

Решение

1.Зададим математическую модель расхода горючего i-го поставщика

, где i=1,2.

2. Математическая модель потребностей в горючем j-х потребителей

, где j=1,2,3.

3. Функцией цели являются суммарные транспортные расходы, то есть:

Ограничения

Неизвестные должны удовлетворять следующим ограничениям:

1. неотрицательность объема перевозок, то есть x_ij≥0, (i=1,2; j=1,2,3);

2. в силу сбалансированности задачи, вся продукция должна быть вывезена от поставщиков и потребности всех потребителей должны быть удовлетворены.

Оптимальный раскрой

Цели

В данном разделе показаны возможности использования модели линейного программирования для решения задач раскроя. Эта область приложения модели линейного программирования хорошо изучена. Благодаря работам в области оптимального раскроя основоположника теории линейного программирования лауреата Нобелевской премии академика Л.В. Канторовича задачу оптимального раскроя можно назвать классической прикладной оптимизационной задачей.

Студент должен уметь формулировать и использовать для эконо­мического анализа следующие понятия:

• материал;

• заготовка;

• отходы;

• способ раскроя (рациональный и оптимальный);

• интенсивность использования рациональных способов раскроя.

Модели

Большинство материалов, используемых в промышленности, поступает на производство в виде стандартных форм. Непосредственное использование таких материалов, как правило, невозможно. Предварительно их разделяют на заготовки необходимых размеров. Это можно сделать, используя различные способы раскроя материала.

Задача оптимального раскроя состоит в том, чтобы выбрать один или несколько способов раскроя материала и определить, какое количество материала следует раскраивать, применяя каждый из выбранных способов.

Задачи такого типа возникают в металлургии и машиностроении, лесной, лесообрабатывающей, легкой промышленности.

Выделяют два этапа решения задачи оптимального раскроя.

На первом этапе определяются рациональные способы раскроя материала.

На втором этапе решается задача линейного программирования для определения интенсивности использования рациональных способов раскроя.

Пример решения задачи оптимального раскроя

Исходная постановка задачи

Фирма производит две модели А и Б сборных книжных полок. Их производство ограничено наличием сырья (высококачественных досок) и временем использования станков. Для каждого изделия модели А требуется 3 м² досок, а для изделия модели Б – 4 м². Фирма может получать от поставщиков до 1 700 м² досок в неделю. Для каждого изделия модели А требуется 12 мин. станочного времени, а для изготовления модели Б – 30 мин. В неделю можно использовать до 160 часов станочного времени.

Сколько изделий каждой модели следует фирме выпускать в неделю, если каждое изделие модели А приносит 10 000 руб. прибыли, а каждое изделие модели Б – 20 000 руб. прибыли?

Составим для наглядности таблицу исходных данных.

	Модели полок	Общий объем в неделю
Модель А	Модель Б
Доски	3 м2	4 м2	1 700 м2
Станки	12 мин.	30 мин.	160 час.
Прибыль	10 000 руб.	20 000 руб.

Переменные

1. Обозначим через x_j количество выпущенных за неделю полок j, j=1,2, то есть

x₁ - количество выпущенных за неделю полок модели А;

x₂ - количество выпущенных полок модели Б.

2. Обозначим через R_i фактический расход имеющегося ресурса досок и станочного времени, где i=1,2, то есть

R₁ – фактический расход досок;

R₂ – фактический расход станочного времени;

3.Обозначим через P еженедельную прибыль от реализации полок А и Б.

Решение

1.Зададим математическую модель фактического расходования ресурсов

, где i=1,2..

или

для досок

для времени

2. Зададим математическую модель нахождения общей прибыли от реализации полок . Ее максимизация является целью решения задачи. Следовательно, целевая функция будет иметь вид:

Ограничения

1. Расход ресурсов не должен превышать их запас

или или

2. Количество выпускаемых полок должно быть целым числом.

3. Поскольку x₁, x₂, выражают объем выпускаемых приборов, то они не могут быть отрицательны, то есть x₁≥0; x₂≥0

ТРЕБОВАНИЯ

Варианты заданий

Вариант 1.

Кондитерская фабрика для производства трех видов карамели А, В, С использует три вида основного сырья: сахарный песок, патоку, фруктовое пюре. Нормы расхода сырья каждого вида на производство 1 тонны карамели данного вида приведены в таблице.

Вид сырья	Норма расхода (т) на 1 т карамели	Общее количество сырья (т)
А	В	С
Сахарный песок	0,8	0,5	0,6
Патока	0,4	0,4	0,3
Фруктовое пюре	-	0,1	0,1
Прибыль (руб.)

Найти план производства карамели, обеспечивающей максимальную прибыль.

Вариант 2.

На швейной фабрике для изготовления четырех видов изделий может быть использована ткань трех артикулов. Нормы расхода тканей всех артикулов на пошив одного изделия приведены в таблице.

Артикул ткани	Норма расхода ткани (м) на одно изделие вида	Общее количество ткани (м)
I
II
III
Цена одного изделия, руб.

Определить, сколько изделий одного вида должна произвести фабрика, чтобы стоимость изготовленной продукции была максимальной.

Вариант 3.

Имеются следующие продукты питания:

Продукт	Содержится в 1 кг продукта	Стоимость 1 кг, руб.
Белки, г	Жиры, г	Углеводы, г	Калорийность, ккал
Крупа овсяная					8
Кефир					12
Горох					10
Орехи грецкие					48
Мед пчелиный	3	0	777	3200	100

Пищевой состав суточного рациона должен содержать белков не менее 120г, жиров не менее 120г, углеводов не менее 600г и иметь калорийность не менее 4000 ккал.

Требуется так составить суточный рацион, чтобы обеспечить заданные условия при минимальной стоимости рациона.

Вариант 4.

Предприятие выпускает 4 вида продукции и использует 3 типа оборудования: токарное, фрезерное и шлифовальное. Затраты времени на изготовление единицы продукции для каждого из типов оборудования приведены в таблице.

Тип оборудования	Норма расхода времени на одно изделие, мин.	Общий фонд рабочего времени
Токарное
Фрезерное
Шлифовальное
Цена одного изделия, руб.

Определить такой объем выпуска каждого изделия, при котором общая прибыль от их реализации являлась бы максимальной.

Вариант 5.

Для изготовления разных изделий А, В и С предприятие использует 3 различных вида сырья. Нормы расхода сырья на производство одного изделия каждого вида, цена одного изделия А, В и С, а также общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано предприятием, приведены в таблице.

Вид сырья	Норма расхода ткани (м) на одно изделие вида	Общее количество ткани (м)
А	В	С
I
II
III
Цена одного изделия, руб.

Изделия А, В и С могут производиться в любых соотношениях, но производство ограничено выделенным предприятию сырьем каждого вида. Составить план производства изделий, при котором общая стоимость всех произведенных изделий является максимальной.

Вариант 6.

Компания производит различные виды мебели для кабинетов. В частности она производит cтолы трех видов (I, II, III). Объем работы, необходимый для производственной операции, приводится в таблице

Операция	Объем работы, чел.-ч.
I	II	II
Изготовление частей
Сборка
Полировка и контроль

Максимум объема работ в неделю составляет 360 чел.-ч. на изготовление частей, 240 чел.-ч. на сборку и 180 чел.-ч. на полировку и контроль. Рынок сбыта расширяется, возможности хранения ограничивают производство 170 столами в неделю. Прибыль от реализации столов типов I, II и III составляет 750, 110 и 950 руб. соответственно. Составьте оптимальный план производства.

Вариант 7.

Предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силой и оборудованием, необходимым для производства любого из четырех видов производственных товаров. Затраты ресурсов на изготовление единицы данного товара, прибыль и запасы указаны в таблице

Виды ресурсов	Виды товара, шт.	Объем ресурсов
Сырье, кг
Рабочая сила, чел.
Оборудование, станко-час.
Прибыль на единицу товара, руб.

Заданы производственные издержки в рублях на единицу каждого изделия: 6, 9, 12 и 3 рублей соответственно. Найти ассортимент, максимизирующий прибыль, при условии, что суммарные производственные издержки не должны превышать 96 рублей.

Вариант 8.

Фирма рекламирует свою продукцию с использованием четырех средств: телевидения, радио, газет и афиш. Из различных рекламных экспериментов, которые проводились фирмой в прошлом, известно, что эти средства приводят к увеличению прибыли соответственно на 10, 3, 7 и 4 руб. в расчете на 1руб., затраченный на рекламу.

На распределение рекламного бюджета накладываются следующие ограничения:

1) полный бюджет не должен превышать 500 млн.руб.;

2) следует расходовать не более 40% бюджета на телевидение и не более 20% бюджета на афиши;

3) вследствие привлекательности для подростков радио, на него следует расходовать, по крайней мере, половину того, что планируется на телевидение.

Как наиболее эффективно использовать рекламный бюджет?

Вариант 9.

Правительственное учреждение получило следующее предложение от фирм Ф1, Ф2, Ф3 на покупку пальто трех размеров Р1, Р2, Р3:

Фирма	Стоимость одного пальто, руб.
Р1	Р2	Р3
Ф1			3260
Ф2			3300
Ф3	3040	3090	3160

Должны быть заключены контракты на продажу 1000 пальто размера Р1, 1500 пальто размера Р2 и 1200 пальто размера Р3, однако ограниченность производственных мощностей фирм приводит к тому, что общее количество заказов не может превосходить 1000 пальто для фирмы Ф1, 1500 пальто для фирмы Ф2 и 2500 пальто для фирмы Ф3. Необходимо, чтобы эти контракты были заключены с минимизацией общей стоимости, однако каждая фирма должна получить заказ. Как следует распределить заказы?

Вариант 10.

Для изготовления трех видов изделий А, В и С используется токарное, фрезерное, сварочное и шлифовальное оборудование. Затраты времени на обработку одного изделия для каждого из типов оборудования приведены в таблице.

Тип оборудования	Затраты времени на обработку одного изделие, час.	Общий фонд рабочего времени оборудования
А	В	С
Токарное				120
Фрезерное				280
Сварочное				240
Шлифовальное				360
Прибыль	10	14	12

Требуется определить, сколько изделий и какого вида следует изготовить предприятию, чтобы от их реализации была максимальной.

Вариант 11.

Автозавод выпускает две модели автомобилей: «Каприз» и (более дешевую) «Фиаско». На заводе работает 1000 неквалифицированных и 800 квалифицированных рабочих, каждому из которых оплачивается 40 часов в неделю.

Для изготовления модели «Каприз» требуется 30 часов неквалифицированного труда и 50 часов квалифицированного труда. Для «Фиаско» требуется 40 часов неквалифицированного труда и 20 часов квалифицированного труда.

Каждая модель «Фиаско» требует затрат в размере 500$ на сырье и комплектующие изделия, тогда как каждая модель «Каприз» требует затрат в размере 1500$; суммарные затраты не должны превосходить 900 000$ в неделю.

Рабочие, осуществляющие доставку, работают по пять дней в неделю и могут забрать с завода не более 210 машин в день.

Каждая модель «Каприз» приносит фирме 1000$ прибыли, а каждая модель «Фиаско» - 500$ прибыли.

Какой объем выпуска каждой модели Вы бы порекомендовали?

Вариант 12

Фирма специализируется на производстве буфетов. Она может производить три типа буфетов А, Б и В, что требует различных затрат труда на каджой стадии производства:

Производственный участок	Затраты труда, чел-ч.
А	Б	В
Лесопилка
Сборочный цех
Отделочный цех

В течение недели можно планировать работу на лесопилке на 380 чел-ч. в сборочном цехе – на 510 чел-ч. и в отделочном цехе на 230 чел-ч.

Прибыль от продажи каждого буфета А,Б,В составляет 450 руб.,500 руб. и 760 руб.

Составьте оптимальный план производства и определите избыток чел-ч. работы на каждом из производственных участков.

Для выполнения обязательств по организации интерьера гостиниц необходимо производить по крайней мере 10 буфетов типа В еженедельно. Как это требование повлияет на решение?

Вариант 13.

На звероферме могут выращиваться песцы, черно-бурые лисы, нутрии и норки. Для их питания используются три вида кормов. В таблице приведены нормы расхода кормов, их ресурс в расчете на день, а также прибыль от реализации одной шкурки каждого зверя.

Вид корма	Нормы расхода кормов (кг/день)	Ресурс кормов, кг
Песец	Лиса	Нутрия	Норка
I					300
II					400
III					600
Прибыль, руб./шкурка	6	12	8	10

Определить, сколько и каких зверьков следует выращивать на ферме, чтобы прибыль от реализации шкурок была наибольшей.

Вариант 14

Завод изготовляет корпуса для холодильников и комплектует их оборудованием, поставляемым без ограничений другими предприятиями. В таблице указаны нормы трудозатрат, затрат материалов для изготовления корпусов, ограничения по этим ресурсам в расчете на месяц и прибыль от реализации холодильника каждой из пяти марок.

Наименование ресурса	Марка холодильника	Объем ресурса
Саратов	Норд	Бирюса	Свияга	Атлант
Трудозатраты, чел/час						9000
Металл, м2						8500
Пластик, м2						4000
Краска, кг						5000
Прибыль, руб.	40	70	120	120	50

Найти месячный план выпуска холодильников, максимизирующий прибыль.

Вариант 15

В металлургический цех в качестве сырья поступает латунь (сплав меди с цинком) четырех типов с содержанием цинка 10, 20, 25 и 40% по цене 100, 300, 400 и 600 руб. за 1 кг соответственно. В каких пропорциях следует переплавлять это сырье в цехе, чтобы получить сплав (латунь), содержащий 30% цинка и при этом самый дешевый?

Вариант 16

Для серийного изготовления детали механический цех может использовать пять различных технологий ее обработки на токарном, фрезерном, строгальном и шлифовальном станках. В таблице указано время (в минутах) обработки детали на каждом станке в зависимости от технологического способа, а также общий ресурс рабочего времени станков каждого вида за одну смену.

Станки	Технологические способы	Ресурс времени станков (мин)
Токарный						4100
Фрезерный						2000
Строгальный						5800
Шлифовальный	3	4	2	1	1	10800

Требуется указать, как следует использовать имеющиеся технологии с тем, чтобы добиться максимального выпуска продукции.

Вариант 17

Цех выпускает три вида деталей, которые изготовляются на трех станках. На рисунке показана технологическая схема изготовления детали каждого вида с указанием рабочего времени ее обработки на станках.

Суточный ресурс рабочего времени станков 1, 2, и 3 составляют соответственно 890, 920 и 840 мин.

Стоимость одной детали вида 1, 2, и 3 равна соответственно 30, 10 и 20 рублей.

Требуется составить суточный план производства с целью максимизации стоимости выпущенной продукции.

Вариант 18

Объединение "Комфорт" производит холодильники, газовые плиты, морозильные шкафы и электропечи по цене 12000, 7000, 15000 и 2500 руб. соответственно.

Постоянным фактором, ограничивающим объемы производства, является фиксированная величина трудовых ресурсов – 12000 человеко-часов в месяц.

Выяснилось, однако, что в ближайший месяц дефицитной будет и листовая сталь для корпусов указанных изделий, поскольку поставщики смогут обеспечить лишь 7000 м² этого материала.

Требуется составить план производства на данный месяц с тем, чтобы максимизировать стоимость выпущенной продукции. Известно, что для изготовления холодильника требуется 2 м² листовой стали и 3 чел.-ч. рабочего времени, для газовой плиты – соответственно 1,5 м² листовой стали и 3 чел.-ч., для морозильного шкафа – 3 м² и 4 чел.-ч., для электропечи – 1 м² и 2 чел.- ч.

Вариант 19

Участник экспедиции "Северный полюс" укладывает рюкзак, и ему требуется решить, какие положить продукты. В его распоряжении имеется мясо, мука, сухое молоко и сахар.

В рюкзаке для продуктов осталось лишь 45 дм³ объема, и нужно, чтобы суммарная масса продуктов не превосходила 35 кг.

Врач рекомендовал, чтобы мяса (по массе) было больше муки по крайней мере в два раза, муки не меньше молока, а молока по крайней мере в восемь раз больше, чем сахара.

Сколько и каких продуктов нужно положить в рюкзак, с тем, чтобы суммарная калорийность продуктов была наибольшей? Характеристики продуктов приведены в таблице.

Характеристики	Продукты
Мясо	Мука	Молоко	Сахар
Объем (дм3/кг)		1,5
Калорийность (Ккал/кг)

Вариант 20

На мебельной фабрике требуется раскроить 5000 прямоугольных листов фанеры размером 4´5 м каждый, с тем, чтобы получить два вида прямоугольных деталей: деталь А должна иметь размер 2´2 м; деталь Б – размер 1´3 м. Необходимо, чтобы деталей А оказалось не меньше, чем деталей Б.

Каким образом следует производить раскрой, чтобы получить минимальное (по площади) количество отходов?

Вариант 21

Для серийного производства некоторого изделия требуются комплекты заготовок профильного проката. Каждый комплект состоит из двух заготовок длиной 1800 мм и пяти заготовок длиной 700 мм.

Как следует раскроить 770 полос проката ста