Оптимальное распределение инвестиций.
Динамическое программирование – это вычислительный метод для решения задач управления определенной структуры. Данная задача с n переменными представляется как многошаговый процесс принятия решений. На каждом шаге определяется экстремум функции только от одной переменной.
Предположим, что указано 
пунктов, где требуется построить или реконструировать предприятия одной отрасли, для чего выделено 
рублей. Обозначим через 
прирост мощности или прибыли на i-ом предприятии, если оно получит 
рублей капитальных вложений. Требуется найти такое распределение 
капитальных вложений между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибыли 
при ограничении по общей сумме капитальных вложений 
причем будем считать, что все переменные 
принимают только целые неотрицательные значения:
или 
или 
или 
Пусть 4 фирмы образуют объединение. Рассмотрим задачу распределения инвестиций в размере 700 тыс. рублей по этим 4 фирмам. Размер инвестиций пусть будет кратен 100 тыс. рублей. Эффект от направления i-й фирме инвестиций в размере m (сотен тыс. рублей) выражается функцией fi(m). Приходим к задаче f1(x1)+f2(x2)+f3(x3)+f4(x4)-->max
x1+x2+x3+x4<=7; x1,x2,x3,x4=>0, где xi - пока еще неизвестный размер инвестиций i-й фирме. Эта задача решается методом динамического программирования: последовательно ищется оптимальное распределение для k=2,3 и 4 фирм. Пусть первым двум фирмам выделено m инвестиций, обозначим z2(m) величину инвестиций 2-й фирме, при которой сумма f2(z2(j))+f1(m-z2(j)), 0<=j<=m максимальна, саму эту максимальную величину обозначим F2(m). Далее действуем также: находим функции z3 и F3 и т.д. На k-ом шаге для нахождения Fk(m)) используем основное рекуррентное соотношение:
Fk(m)=max{fk(j)+F{k-1}(m-j): 0<=j<=7}.
| X | ||||||||
| F1(x) | ||||||||
| F2(x) | ||||||||
| F3(x) | ||||||||
| F4(x) |
Таблица N 1
| t | |||||||||
| X2 | f1\F1 | ||||||||
Цветом помечены точки с максимальным суммарным эффектом от выделения соответствующего размера инвестиций 2 предприятиям.
| T | ||||||||
| F2 | ||||||||
| z2 |
Таблица N 2
| T | |||||||||
| X3 | f2\F2 | ||||||||
Цветом помечены точки с максимальным суммарным эффектом от выделения соответствующего размера инвестиций 3 предприятиям.
| T | ||||||||
| F3 | ||||||||
| z3 |
Таблица N 3
| T | |||||||||
| X4 | f3\F3 | ||||||||
Цветом помечены точки с максимальным суммарным эффектом от выделения соответствующего размера инвестиций 4 предприятиям.
| T | ||||||||
| F4 | ||||||||
| z4 |
Сведем результаты в 4 таблицы. Теперь F4(700)=100 показывает максимальный суммарный эффект по всем 4-м фирмам, а z4(700)=200 - размер инвестиций в 4-ю фирму для достижения этого максимального эффекта. После этого на долю первых 3-х фирм осталось (700-200) и для достижения максимального суммарного эффекта по первым 3-м фирмам в 3-ю надо вложить 000 и т.д. Цветом отмечены оптимальные значения инвестиций по фирмам и значения эффектов от них.
| T | ||||||||
| F1=f1 | ||||||||
| Z1=x1 | ||||||||
| F2 | ||||||||
| Z2 | ||||||||
| F3 | ||||||||
| Z3 | ||||||||
| F4 | ||||||||
| Z4 |
Ответ: Наилучшее распределение капитальных вложений по предприятиям: x1=100; x2=400; x3=0; x4=200
Анализ финансовых операций и инструментов.