Манцерова, Т.Ф. , Капшина Ю.К.

Минск 2007

УДК 311.3.(076.5):[33+316.42]

ББК 60.6:65я7

Р П69

Рецензенты:

кандидат экономических наук, доцент В.Н.Нагорнов

кандидат экономических наук, доцент Е.И.Сапелкина

Относительная величина динамики

.

Существует следующая взаимосвязь:

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ

Средняя арифметическая простая исчисляется путем деления суммы значений признака на число значений:

,

где – средняя арифметическая;

– отдельные значения признака;

– число значений признака.

Если данные представлены в виде дискретного ряда распределения, то расчет средней производится по формуле средней арифметической взвешенной: ,

где х – значение признака;

f – частота повторения соответствующего признака (веса).

Средняя гармоническая представляет собой обратную величину средней арифметической из обратных величин. Она бывает простая и взвешенная:

Простая –

Взвешенная – ,

Средняя квадратическая используется в том случае, когда необходимо возводить варианты в квадрат:

Простая – ;

Взвешенная – .

Средняя геометрическая– .

Средняя хронологическая:

Простая – ;

взвешенная – .

Если данные представлены в виде интервального ряда распределения, предварительно вычисляется среднее значение признака для каждого интервала, представляющее полусумму нижнего и верхнего значений интервала ,

где ;

– нижняя граница интервала;

– верхняя граница интервала.

Способ исчисления средней арифметической с использованием ее свойств известен в статистике как способ «условного нуля» или «условной средней», а также как «способ моментов».

Этот способ расчета находит отражение в следующей формуле:

.

Если уменьшенные варианты обозначить через , то .

Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности. Медианойназывается численное значение признака, расположенное в середине ранжированного ряда, которое делит этот ряд на две равные по численности части. Для определения медианы сначала находят ее место в ряду по формуле , где n – число членов ряда ( ). Если число единиц четное, то место медианы в ряду определяется как .

Для определения моды в рядах с равными интервалами распределения модальный интервал определяется по наибольшей частоте, а в рядах с неравными интервалами – по наибольшей плотности распределения.

Для определения моды в рядах с равными интервалами используют формулу:

,

где – нижняя граница модального интервала;

– величина интервала;

– частоты предмодального, модального и послемодального интервала.

Для расчета медианы в интервальном ряду воспользуемся следующими формулами:

,

или ,

где – нижняя граница медианного интервала;

i – величина интервала медианного;

– порядковый номер медианы;

– частота, накопленная до медианного интервала;

– частота медианного интервала.

– верхняя граница медианного интервала;

– накопленная частота медианного интервала.

Задача 1. Имеются следующие данные о производстве продукции за смену.

Группы рабочих по количеству произведенной продукции за смену, шт.	Число рабочих
До 5
5 – 7
7 – 9
9 – 11
Свыше 11
Итого 100

Определите среднюю выработку продукции за смену.

Задача 2. Определите средний размер инвестиций на одно предприятие методом моментов.

Группы предприятий по размеру инвестиций, млрд. руб.	Число предприятий
8 – 10
10 – 12
12 – 14
14 – 16
16 – 18
18 – 20

Задача 3. Определить средний возраст рабочих.

Возраст, лет	До 20	20-30	30-40	40-50	50-60	Свыше 60
Число рабочих

Задача 4. Вычислите средний объем производства.

Группы бригад по объему производства, млн. руб.	Число бригад
До 200
200-400
400-600
600-800
800-1000
1000-1200
Свыше 1200

Задача 5. Определите средний размер заработной платы за месяц одного рабочего.

Размер заработной платы, тыс. руб.
Количество рабочих, чел.

Задача 6. Определите способом моментов среднегодовое производство продукции на одно предприятие.

Группы предприятий по объему выпуска, т	Число предприятий в процентах к итогу
1000 – 3000
3000 – 5000
5000 – 7000
7000 – 9000
9000 – 11000

Задача 7. Определите по трем предприятиям в целом:

среднее число отработанных рабочими человеко-дней;

среднюю дневную выработку рабочих;

средние затраты на 1 тыс. руб. произведенной продукции.

№ предприятия	Число рабочих, чел	Среднее число отработанных рабочими чел.-дней	Средняя дневная выработка рабочих, тыс. руб.	Затраты на 1 тыс. руб. продукции, руб.
			25,0	90,6
			30,0	85,4
			28,0	82,0

Задача 8. Определите средний процент брака по следующим данным:

Цех
Процент брака	0,8	1,2	0,5
Фактическая стоимость продукции, млн. руб.

Задача 9. Определить средний процент выполнения плана за каждый год.

Кварталы	2005 г.	2006 г.
% выполнения плана	план, млрд. руб.	% выполнения плана	факт, млн. руб.
	80,4	180,3	72,8	120,0
	90,5	195,0	75,2	108,4
	100,2	203,2	80,4	96,2
	101,3	215,8	90,2	70,8

Задача 10. Определите средние затраты времени на производство 1 тыс. шт. кирпича по 1-й и 2-й группе заводов.

1-я группа	2-я группа
Затраты времени на производство 1 тыс.шт. кирпича, чел.-ч.	Производство кирпича, тыс. шт.	Затраты времени на производство 1 тыс.шт. кирпича, чел.-ч.	Затраты времени на производство всего кирпича, чел.-ч.
6,0		6,5
6,5		7,0
7,2		7,5

Задача 11. Определите среднюю себестоимость единицы продукции и среднюю выработку продукции на одного рабочего.

№ предприятия	Себестоимость, тыс. руб.	Затраты на всю продукцию, млн. руб.	Число рабочих

Задача 12. Определите среднюю себестоимость 1 т пшеницы и среднюю ее урожайность.

№ предприятия	Затраты на производство пшеницы, тыс. руб.	Себестоимость 1 т пшеницы, тыс. руб.	Урожайность пшеницы, ц/га

Задача 13. Определите среднюю себестоимость 1 кВт-ч и средний расход условного топлива на 1 кВт-ч.

ТЭЦ	Затраты на выработку электроэнергии, млн. руб.	Себестоимость 1 кВт-ч, тыс. руб.	Расход условного топлива на 1 кВт-ч электроэнергии, г.
		0,59
		0,60
		0,62
		0,57

Задача 14. Определите среднюю посевную площадь, среднюю урожайность пшеницы, среднюю себестоимость 1 т пшеницы.

Фермерское хозяйство	Урожайность, ц/га	Посевная площадь, га	Себестоимость 1 т пшеницы, тыс. руб.

Задача 15. Определите средний удельный вес числа специализированных строительных организаций в их общей численности по Минской и по Брестской областям.

Минская область	Брестская область
№ района	общее число строительных организаций	удельный вес специализированных организаций, %	№ района	число специализированных строительных организаций	удельный вес специализированных организаций, %

Задача 16. Определите среднюю выработку на одного рабочего в среднем по фабрике за 1-й и 2-й квартал.

1-й квартал	2-й квартал
№ цеха	средняя выработка ткани за смену на 1 рабочего, м	численность рабочих, чел.	№ цеха	средняя выработка ткани за смену на 1 рабочего, м	выработано ткани за смену, м

Задача 17. Определите среднюю посевную площадь, среднюю урожайность пшеницы, среднюю себестоимость 1 т пшеницы.

Агрофирма	Посевная площадь, га	Валовой сбор, ц	Затраты на производство всей пшеницы, тыс. руб.

Задача 18. Определите среднюю урожайность пшеницы, средние затраты труда на 1 га посевной площади, средние затраты труда на 1 ц зерна.

Совхозы	Валовой сбор, тыс.ц	Урожайность, ц/га	Затраты труда, чел.-ч.
на 1 га посевной площади	на 1 ц зерна
	3,0	21,1	34,3	1,6
	2,2	11,4	54,4	4,7
	4,2	23,0	46,7	2,0
	1,9	13,2	67,8	5,0

Задача 19. Распределение студентов по количеству часов в неделю, затрачиваемых на самостоятельную подготовку к занятиям характеризуется следующими данными:

Бюджет времени, час	До 20	20-25	25-30	30-35	35 и выше
Число студентов, чел.

Определите моду и медиану.

Задача 20. Определите моду и медиану по следующим данным:

Размер обуви
Число пар, в % к итогу

Задача 21. Определите модальный и медианный уровень заработной планы рабочих цеха

Группы рабочих по заработной плате, тыс.руб.	350-450	450-500	550-650	650-750	750-850	850-950
Число рабочих, чел.

Задача 22. Средняя себестоимость продукции одной марки на трех предприятиях, входящих в концерн, соответственно равна 8,7 тыс.руб.; 12,3 тыс.руб.; 14,1 тыс.руб. Определите среднюю себестоимость продукции по концерну в целом, если: 1) на каждом предприятии было произведено одинаковое количество продукции; 2) затраты на выпуск продукции на данных предприятиях одинаковы.

Задача 23. Определите средний объем инвестиций на одно предприятие методом моментов

Группа предприятий по объему инвестиций, тыс.руб.	Число предприятий, ед.
1-3
3-5
5-7
7-9
9-11
11-13

Задача 24. При расчете средней величины к каждому значению осредняемого признака было добавлено 30 единиц. Полученные результаты были увеличены в 2 раза. Из преобразованных таким образом величин была рассчитана средняя величина и вес каждой варианты был уменьшен в 3 раза. Полученная после преобразований средняя равна 70.

Определите действительную среднюю величину признака.

Задача 25. В результате инфляции платные услуги населения возросли в 2000 г. в 1,049 раза, в 2001 г. – в 1,09 раз, в 2002 г. – в 1,087 раз, в 2003 г. – в 1,112 раз, в 2004 г. – в 1,129 раз и в 2005 г. – в 1,150 раз. Как изменились цены на платные услуги населению за период с 2000 по 2005 годы.

Задача 26. На обслуживание одного покупателя один продавец расходует 2 мин., второй – 3 мин., третий – 5 мин. Определите средние затраты времени продавцов на обслуживание одного покупателя в течение часа.

Задача 27. Автомобиль с грузом ехал к потребителю со скоростью 30 км/час., обратный путь порожняком на предприятие – со скоростью 40 км/час. С какой средней скоростью проделал весь путь автомобиль?

Задача 28.Автомобиль с грузом выехал к потребителю в соседний район, проделав одну треть пути со скоростью 40 км/час. и два трети пути со скоростью 50 км/час. С какой средней скоростью совершил весь путь к потребителю автомобиль?

3. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ

Для сравнения между собой отдельных уровней ряда динамики рассчитываются следующие показатели: абсолютные приросты, темпы (коэффициенты) роста, темпы прироста, абсолютное значение одного процента прироста. Расчет этих показателей основан на сравнении между собой уровней ряда динамики. При этом уровень, с которым производится сравнение, может быть базисным или цепным.

Абсолютный прирост (А) показывает, насколько в абсолютном выражении уровень отчетного периода больше или меньше уровня базисного периода.

(переменная база сравнения);

(постоянная база сравнения);

- уровень ряда, принятого за базу сравнения.

Коэффициент роста ( ) показывает, во сколько раз уровень отчетного периода больше или меньше уровня базисного периода.

или .

Коэффициенты роста, выраженные в процентах, носят название темпов роста ( ).

Темп роста ( ) показывает, на сколько процентов уровень отчетного периода больше или меньше уровня базисного.

или .

Абсолютное значение 1% прироста ( )

или .

Средний уровень ряда динамики исчисляется различно в зависимости от вида ряда. Для интервального ряда он рассчитывается по формуле средней арифметической простой

,

где n – число уровней ряда.

Средний абсолютный прирост ( )

или .

Средний коэффициент роста ( )

или .

Средний темп роста .

Средний темп прироста .

Метод скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем – средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго и т.д.:

; ; .

Выравнивание ряда по прямойпредусматривает решение следующего уравнения: , где t – время (порядковый номер интервала или момент времени).

Расчет параметров значительно упрощается, если .

, следовательно – средний уровень ряда;

, следовательно – средний абсолютный прирост.

Глубину сезонных колебаний измеряют индексами сезонности (I_сез):

,

где – средняя из фактических средних уровней одноименных месяцев;

– общая средняя за исследуемый период.

Задача 1. Остатки вкладов населения города характеризуются следующими данными (млрд. руб.):

на 01.01.	- 532,5
на 01.03.	- 570,1
на 01.05.	- 640,4
на 01.07.	- 487,5
на 01.09.	- 540,2
на 01.11.	- 620,3
на 01.01. следующего года	- 749,3

Рассчитайте средний остаток вкладов за I и II полугодие и за год.

Задача 2. Определите недостающие данные.

Год	Производство продукции, млн. у.е.	А, млн. у.е.	Тр, %	Тпр, %	А1%, млн. у.е.
	92,5
		1,8
			104,0
				5,8
		7,0			1,15

Задача 3. Определите недостающие данные.

Год	Фонд заработной платы, млрд. руб.	А, млрд. руб.	Тр, %	Тпр, %	А1%, млрд. руб.
	143,2
		18,9
				5,4
			103,4
				1,2

Задача 4. Приведите ряд к сопоставимому виду.

Годы   Показатель
Численность, тыс. чел				-	-
В старых границах
В новых границах

Задача 5. Приведите ряд к сопоставимому виду (млн. т).

Годы	Мазут	Торф

Задача 6. Отпуск тепловой энергии ТЭЦ за пять лет следующий:

Год
Отпуск теплоэнергии, Гкал

Определите ежегодные абсолютные приросты с постоянной и переменной базой, темпы роста и прироста, абсолютное значение 1% прироста.

Задача 7. Среднесписочный состав автомобильного парка предприятия характеризуется следующими данными:

1) списочное число автомобилей на 01.01. – 900 шт.;

2) поступило автомобилей 15.01 – 15 шт.; 22.01. – 3 шт.; 10.02. – 5 шт.;

3) списано автомобилей 24.01. – 4 шт.; 12.02. – 3 шт.

Определите изменение среднесписочного числа автомобилей в феврале и в январе.

Задача 8. Производство цемента характеризуется следующими данными:

Год
Производство цемента, млн. т

Выровнять ряд по прямой и использовать уравнение для экстраполяции уровней на 2009 г. Построить график первичного и выровненного рядов.

Задача 9. Определите показатели динамики по следующим данным.

Год
Прибыль, млрд. руб.	10,3	10,5	12,2	13,0	13,5	14,1	16,0	18,0	20,2	22,9

Задача 10. Имеются данные о выработке продукции по предприятию за первую половину сентября (в млн. руб.):

Дни месяца

Произвести сглаживание ряда методом пятидневной скользящей средней и выровнять ряд по прямой. Представить на графике первичный и выровненные ряды.

Задача 11. Выполнить следующие расчеты: рассчитать показатели динамики с постоянной и переменной базой сравнения; рассчитать среднегодовые показатели динамики; произвести сглаживание ряда методом 3-х дневной скользящей средней; выровнять ряд по прямой; построить график искомого и выровненного ряда.

№ варианта	Годы
Показатель
	Мощность эл. станций, млн. кВт	115,0	166,1	217,5	266,7	315,1	338,9	341,4
	Мощность ТЭС, млн. кВТ	92,8	133,8	172,1	201,9	225,1	239,7	239,6
	Мощность ГЭС, млн. кВт	22,2	31,4	40,9	52,3	61,7	63,8	64,3
	Производство эл. энергии эл. станциями, млрд. кВт-ч	506,7	740,9	1038,6	1293,9	1544,2	1705,0	1722,0
	Производство эл. энергии ТЭС, млрд. кВт-ч	425,2	612,8	892,4	1037,1	1162,3	1258,6	1285,9
	Производство электроэнергии ГЭС, млрд. кВт-ч	81,5	124,4	126,0	163,9	214,5	230,8	223,5
	Выработка эл. энергии, млрд. кВт-ч	33,2	36,3	37,8	38,2	38,2	39,5	38,7
	Выпуск эл. оборудования распр. сетей, млн. руб.	1549,3	1709,2	1926,7	2060,3	2404,4	2636,0	2491,9
	Выпуск трансформаторов, млн. руб.	767,2	757,3	890,2	1006,4	916,6	939,7	1162,7
	Эл. оборудование пром. назначения, млн. руб.	2975,1	3224,5	3796,8	4532,4	4209,1	4951,9	5613,2

Задача 12. По таксомоторному предприятию имеются следующие данные о величине платного пробега за 3 года (в тыс. км):

Месяц	Год
Январь	60,0	70,0	100,2
Февраль	62,0	77,4	105,0
Март	66,4	78,2	107,0
Апрель	70,0	80,0	110,5
Май	78,4	88,4	113,7
Июнь	80,0	89,5	115,0
Июль	80,3	90,3	116,4
Август	86,5	94,6	120,0
Сентябрь	79,0	94,0	118,7
Октябрь	76,4	92,5	115,0
Ноябрь	75,0	90,0	107,5
Декабрь	70,4	85,5	98,2

На основе приведенных данных выявить наличие сезонной неравномерности и измерить ее степень.

Задача 12. На основе приведенных данных измерить сезонные колебания методом абсолютных разностей; методом относительных разностей; рассчитать индексы сезонности; изобразить графически сезонную волну.

Производство трансформаторов, тыс. шт.

Месяц	Год
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь

Задача 13. На основе приведенных данных измерить сезонные колебания методом абсолютных разностей; методом относительных разностей; рассчитать индексы сезонности; изобразить графически сезонную волну.

Потребление жидкого топлива, тыс. шт.

Месяц	Год
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь

Задача 14. На основе приведенных данных измерить сезонные колебания методом абсолютных разностей; методом относительных разностей; рассчитать индексы сезонности; изобразить графически сезонную волну.

Реализация электроосветительной аппаратуры, млн. руб.

Месяц	Год
Январь	12,7	16,3	30,8
Февраль	11,5	17,4	24,1
Март	12,0	18,4	21,2
Апрель	45,6	78,9	73,1
Май	40,4	67,3	69,9
Июнь	60,0	66,6	77,7
Июль	42,0	42,7	43,6
Август	23,4	39,9	40,7
Сентябрь	14,1	28,9	70,0
Октябрь	14,6	25,2	40,7
Ноябрь	16,3	27,9	32,7
Декабрь	18,0	30,5	33,0

Задача 15. Вычислить средний остаток материалов на складе за первый квартал текущего года

Остаток материалов на складе, млн.руб.
На 1-е января	На 1-е февраля	На 1-е марта	На 1-е апреля
24,8	25,6	21,2	18,1

4. ИНДЕКСЫ

Индекс стоимости

.

; .

Перемножим данные индексы:

.

Следовательно, .

Базисный агрегатный индекс физического объема продукции:

; .

Цепной агрегатный индекс физического объема продукции:

; .

Последовательно перемножение цепных агрегатных индексов физического объема продукции дает возможность получить базисный индекс:

.

Средний арифметический индекс физического объема:

.

Средний гармонический индекс цен: .

Индекс переменного состава:

.

Индекс постоянного (фиксированного) состава:

.

Индекс структурных сдвигов:

,

.

Сложным явлением следует считать такой показатель, который может быть представлен как произведение двух и более показателей. Предположим, что сложное явление А представляет собой произведение двух показателей: a и b, т.е. А=a · b, или , где – средняя заработная плата, – среднесписочная численность работающих. Изменение сложного явления может быть представлено индексом:

или .

Абсолютное изменение явления под влиянием всех факторов представляет разность между числителем и знаменателем:

или .

Метод экстраполяции

.

Пересчет осуществляется на основе использования следующего равенства:

.

Выбор метода расчета ВВП и ВДС в постоянных ценах:

		нет данных о

При анализе макроэкономических показателей в динамике рассчитывается абсолютный прирост стоимости ВВП:

.

Для того, чтобы оценить влияние цены на изменение ВВП, рассчитывают следующее изменение:

.

Для оценки влияния физического объема на изменение ВВП используют следующую зависимость:

.

Для анализа влияния на изменение ВВП объема валового выпуска и доли ВВН в ВВ используют следующую индексную модель:

или .

Рассмотрим влияние изменения и на общее изменение ВВП за период:

1. Рассчитаем абсолютный прирост ВВП за счет изменения ВВ:

.

2. Абсолютное изменение за счет изменения :

.

3. Общее изменение ВВП:

.

.

Определение валового внутреннего продукта распределительным методом:

ВВП = ОТ + ЧНП + ДНП + ВПЭ

ЧНП – чистые налоги на производство и импорт;

ДНП – другие налоги на производство.

Для статистического анализа необходимо определить структуру ВВП и выявить закономерности в его изменении.

Анализ изменения суммы оплаты труда можно также проводить с помощью следующей индексной модели:

.

Аналогично работают индексные модели для ЧНП и ВПЭ:

,

.

Годовые нормы амортизации

,

где А – амортизационные отчисления.

Объем основных фондов по полной первоначальной стоимости на конец года (