Задачи распределения ресурсов

4.3.1. В 4-тонный самолет загружаются предметы трех наименований. Приведенная ниже таблица содержит данные о весе одного предмета w (в тоннах) и прибыли r (в тысячах долларов), получаемой от одного загруженного предмета. Как необходимо загрузить самолет, чтобы получить максимальную прибыль?

Предмет	Вес W	Прибыль r

4.3.2. Турист собирается в путешествие по дикой местности и должен упаковать в рюкзак предметы трех видов: пищу, средства первой помощи и одежду. Объем рюкзака составляет 3 кубических фута. Каждая единица пищи занимает 1 кубический фут, упаковка средств первой помощи — четверть кубического фута, а отдельный предмет одежды — половину кубического фута. Турист определил свои предпочтения весовыми коэффициентами 3, 4 и 5 —для пищи, средств первой помощи и одежды соответственно. Это означает, что одежда является самым ценным предметом среди остальных. Опыт подсказывает туристу, что он должен взять не менее одного предмета каждого вида и не более двух комплектов средств первой помощи. Сколько единиц каждого наименования возьмет турист в поход?

4.3.3. Студент должен выбрать 10 факультативных курсов на четырех различных факультетах, причем на каждом факультете должен быть выбран по меньшей мере один курс. Эти курсы распределяются между факультетами таким образом, чтобы максимизировать объем "знаний". Студент оценивает знания по шкале в сто баллов и приходит к выводам, представленным в следующей таблице.

Факультет	Номер курса
I
II
III
IV

Какие курсы следует выбрать студенты для получения наибольшего количества знаний?

4.3.4. У фермера есть небольшой огород 10 х 20 футов. Этой весной фермер собирается посадить овощи трех видов: помидоры, зеленые бобы и кукурузу. Огород разбит на ряды, длина которых равна 20 футам. Кукуруза и помидоры занимают ряды шириной 2 фута, а зеленые бобы — 3 фута. Помидоры мне нравятся больше, а бобы меньше. По 10-балльной шкале предпочтений фермер бы присвоил помидорам 10 баллов, кукурузе — 7 баллов и зеленым бобам — 3 балла. Независимо от его предпочтений, жена фермера настаивает, чтобы он посадил не менее одного ряда зеленых бобов и не более двух рядов помидоров. Сколько рядов каждого вида овощей следует посадить фермеру?

4.3.5. Контрольная работа содержит вопросы по 8 различным темам. За каждый вопрос по определенной теме I студент может получить Vi баллов. Время, отводимое на один ответ по одному I вопросу равно Wi минут. Общее время отводимое на контрольную – 30 минут. Определить максимальное количество баллов, которые может набрать студент. Данные приведены в таблице:

Темы, I	Количество вопросов	Время ответа на 1 вопрос, Wi	Количество баллов,Vi

4.3.6. Шериф округа Вашингтон баллотируется на следующий срок. Денежные средства на предвыборную кампанию составляют примерно 10 000 долларов. Хотя комитет по переизбранию хотел бы провести кампанию во всех пяти избирательных участках округа, ограниченность денежных средств предписывает действовать по-другому. Приведенная ниже таблица содержит данные о числе избирателей и денежных средствах, необходимых для проведения успешной кампании по каждому избирательному участку. Каждый участок может либо использовать все предназначенные деньги, либо вовсе их не использовать. Как следует распределить денежные средства?

Участок	Число избирателей	Затраты

4.4. Задачи планирования рабочей силы

4.4.1. Туристическое агентство организовывает недельные поездки в Египет. В соответствии с договором на ближайшие четыре недели агентство должно обеспечить туристические группы арендными автомобилями в количестве 7, 4, 7 и 8 штук соответственно. Агентство заключает договор с местным дилером по прокату автомобилей. Дилер назначает арендную плату за один автомобиль 220 долларов в неделю плюс 500 долларов за любую арендную сделку. Агентство, однако, может не возвращать арендованные автомобили в конце недели, и в этом случае оно должно будет платить только арендную плату в 220 долларов. Каково оптимальное решение проблемы, связанной с арендой автомобилей?

4.4.2. Компания на следующие четыре года заключила контракт на поставку авиационных двигателей, по 4 двигателя в год. Доступные производственные мощности и стоимость производства меняются от года к году. Компания может изготовить пять двигателей за 1-й год, шесть — за 2-й, три — за 3-й и пять — за 4-й. Стоимость производства одного двигателя на протяжении следующих четырех лет равна соответственно 300 000, 330 000, 350 000 и 420 000 долл. В течение года компания может произвести больше двигателей, чем необходимо, но в этом случае двигатели должны надлежащим образом храниться до их отгрузки потребителю. Стоимость хранения одного двигателя также меняется от года к году и оценивается в 20 000 долл. для первого года, 30 000 долл. — для второго, 40 000 долл. — для третьего и 50 000 — для четвертого. В начале первого года компания имеет один двигатель, готовый к отгрузке. Разработайте оптимальный план производства двигателей.

4.4.3. Строительный подрядчик оценивает минимальные потребности в рабочей силе на каждую из последующих пяти недель следующим образом: 5, 7, 8, 4 и 6 рабочих соответственно. Содержание избытка рабочей силы обходится подрядчику в 300 долл. за одного рабочего в неделю, а наем рабочей силы на протяжении одной недели обходится в 400 долл. плюс 200 долл. за одного рабочего в неделю. Найдите оптимальный план распределения рабочих

ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ИГР

5.1. Два конкурирующих продавца мороженого независимо выбирают места для своих ларьков на улице длиной 2 км. Цена у обоих продавцов составляет $0.30 за порцию. Потребители равномерно распределены вдоль всей улицы. Прохождение 1 км пешком эквивалентно затрате $0.20. Покупатель готов заплатить за мороженое $1.00. Если расстояния до ларьков одинаковы (в частности, если ларьки находятся в одной точке), то место покупки выбирается случайно и равновероятно. Найти все равновесные расположения ларьков (в чистых стратегиях).

5.2.Рассмотрим игру, в которой участвуют государство и налогоплательщик. Доход налогоплательщика равен 5 единицам. Государство выбирает уровень подоходного налога: высокий (В = 40%) либо низкий (Н = 20%). Налогоплательщик может честно заплатить налог, а может уклониться от его уплаты. Если он решает не платить налоги, то с вероятностью 50% налоговые органы обнаруживают это и заставляют его заплатить весь налог и дополнительно внести в казну штраф в размере 1 единица. Выигрыш государства – это ожидаемый объем налоговых поступлений, а выигрыш налогоплательщика – его ожидаемый доход (после уплаты всех налогов и штрафов). Постройте матрицу игры и найдите равновесие Нэша в чистых стратегиях. А каково будет равновесие Нэша, если вероятность поимки составит 75%?

5.3.Комитет, состоящий из трех членов {А, В, С}, выбирает председателя. Голосуют по очереди: Сначала А сообщает вслух, кого из {А, В, С} он поддерживает, затем то же самое делает В, и наконец, С. Участник А старше всех, поэтому его мнение уважают, и если все проголосовали за разных кандидатов, то у А решающий голос (то есть принимается решение, предложенное А). В остальных случаях решение принимается простым большинством. Предпочтения участников заданы следующим образом:

( каждый в первую очередь хочет видеть на месте председателя себя, но в отношении других вкусы расходятся). За кого проголосует А? Кто станет председателем?

5.4. Два преступника ожидают приговора суда за совершенное злодеяние. Адвокат конфиденциально предлагает каждому из преступников облегчить его участь (и даже освободить!), если он сознается и даст показания против сообщника, которому грозит угодить в тюрьму за совершенное преступление на 10 лет. Если никто не сознается, то обоим угрожает заключение на определенный срок (скажем, 1 год) по обвинению в незначительном преступлении. Если сознаются оба преступника, то, с учетом чистосердечного признания, им обоим грозит попасть в тюрьму на 5 лет. Каждый заключенный имеет на выбор 2 стратегии: не сознаваться или сознаваться, выдав при этом сообщника.

5.5. Семейная пара – Муж и Жена каждый вечер решают проблему: как им провести свой досуг. В городке, где они живут, имеется два вида развлечений: Балет и Футбол. У каждого из супругов есть свое любимое зрелище: Жена предпочитает Балет, Муж- Футбол. Однако супруги так привязаны друг к другу, что посещение любимого развлечения в одиночку доставляет им совсем не такое удовольствие, как присутствие на них вдвоем, т.е. если Жена идет вечером на Балет с Мужем, она получает максимум удовольствия – 4 единицы; Муж недолюбливает Балет, но присутствие на нем с Женой скрашивает тягостное времяпровождение, Муж получает 1ед. удовольствия. История повторяется с точностью до наоборот, когда Жена идет с Мужем на обожаемый им Футбол: Муж получает 4 ед. удовольствия от игры любимой команды и присутствия любимой жены; Жена получает 1 ед. удовольствия, проведя вечер с Мужем на Футболе. В принципе Муж может сходить на Футбол, а Жена - на Балет в одиночку, но отсутствие супруга снижает удовольствие от любимых зрелищ – каждый получает по 2 ед. удовольствия. И, наконец, вечер будет проведен совсем уж без пользы (т.е. супруги получат по 0 ед. удовольствия), если Муж отправится на Балет, в то время как Жена будет смотреть на стадионе футбол.

5.6. Представим экономику, в которой имеется два субъекта: Игрок 1 и Игрок 2, и два товара (блага): x₁ и x₂. Каждый из игроков имеет функцию полезности, заданную на наборе товаров: h₁(x1, x₂), h₂(x₁, x₂); предполагается, что эти функции непрерывны и монотонны по каждой из переменных и выпуклы. В начале игры в экономике имеется общее количество Х₁ первого товара и Х₂ – второго товара. Это начальное количество благ как-то распределено между игроками: !-й Игрок обладает количеством первого товара и - второго, 2-й Игрок – количествами и 1-го и 2-го товаров соответственно, так что + = и + = . Могут ли игроки путем обмена имеющимися у них товарами улучшить свое положение, т.е. увеличить значение функций полезности h₁и h₂ по сравнению с начальными уровнями h₁( , ) и h₂( , )?

5.7. На рынке некоторого продукта доминирует производитель-монополист (Фирма 1), и монопольное положение приносит ему 12 млрд. руб. прибыли. Высокая прибыль в данном секторе привлекает других производителей, и, в частности, Фирма 2 решает вопрос: построить ли ей свой завод и начать на нем производство такого же товара? Однако ей известно, что Фирма 1 может предпринять некоторые действия в ответ на вторжение. С одной стороны, Фирма 1 может снизить объем своего производства. В этом случае каждая из фирм получит по 6 млрд. руб прибыли. С другой стороны, Фирма 1 может сохранить объем своего производства. В этом случае рост совокупного предложения товара Фирмами 1 и 2 снизит цену на этот товар, и, как следствие, прибыль фирмы 1 упадет до 5 млрд. руб. Одновременно снижение цен приведет к тому, что Фирма 2, сделавшая предварительные затраты для выхода на новый для нее рынок, понесет чистые убытки: она потеряет на этом 2 млрд. руб.. В случае, если Фирма 2 воздерживается от вступления на рынок, она ничего не выигрывает и не проигрывает ( ее прибыль равна 0 млрд. руб), а Фирма 1 продолжает получать монопольную прибыль в 12 млрд. руб.. Если же Фирма 1 вдруг решит в этой ситуации снизить объем производства, ее прибыль упадет до 8 млрд. руб.

5.8. Найти решение антагонистической игры 2*2, если платежная матрица имеет вид:

P =

5.9. Существует программа Lotto Pro 2003. Для игры в лото предлагается воспользоваться генерируемыми ей комбинациями. Если человек решил играть N числами, то программа генерирует определенные комбинации по 6 из этих чисел. Понятно, что если использовать все возможные комбинации из N чисел по 6 и из N чисел он угадал 6, то одна из комбинаций будет содержать эти 6 угаданных числа. Использование всех комбинаций дает гарантию 6/6, что означает: при угаданных 6 числах одна из комбинаций содержит их все. Но играть всеми комбинациями дорого, поэтому там же предлагают оптимальное количество комбинаций, в которых гарантируется, что если из N выбранных чисел угаданы 6, то хотя бы одна из предложенных комбинаций содержит 5 из угаданных цифр, т.е. дается гарантия 5/6. Kак построить комбинации дающие такую гарантию?

5.10. Чистыми стратегиями является установка орудия на север, юг, запад, восток. Смешанная стратегия ξ=(0,1; 0,5; 0,2; 0,2) означает, что 10 % времени орудие смотрит на север, 50% на юг и по 20% времени оно повернуто на запад и восток. Если чистыми стратегиями являются покупка сахара, муки, картофеля, то ξ=(0,5; 0,2; 0,3) означает, что деньги истрачены следующим образом: 50% на сахар, 20% на муку, 30% на картофель. Принятие чистой стратегии означает, что покупатель принял решение истратить все деньги на один из этих продуктов.

5.11. Играют два лица. Каждое лицо имеет две стратегии I = (1,2), J = (1,2), платежная матрица имеет вид:

P =

Как закончится эта игра?

5.12. Играют три команды: А, Б, В. Каждая команда играет с каждой. Уже состоялось два матча: А выиграла у В со счётом 6-2, и Б выиграла у В со счётом 7-3. Каким вероятнее будет результат игры между А и Б?

5.13. Найти решение игры с платежной матрицей вида:

5.14. Рассматривается игра 4*5. Необходимо провести последовательные преобразования платежной матрицы:

5.15.Покажите, что в приведенной ниже игре в развернутой форме нет совершенного байесовского равновесия в чистых стратегиях. Что можно сказать про совершенное байесовское равновесие в смешанных стратегиях?

5.16.Найдите скрывающее совершенное байесовское равновесие, в котором Отправитель любого типа играет R в следующей сигнальной игре:

5.17. В данной сигнальной игре Природа выбирает один из трех типов с равной вероятностью. Найдите все скрывающие совершенные байесовские равновесия, в которых Отправитель любого типа играет L.

5.18. Найдите решения антагонистической игры. Игрок 1 выбирает число х из множества Х = [0; 1], игрок 2 выбирает число y из множества Y = [0; 1]. После этого игрок 2 платит игроку 1 сумму M(x, y) = 2х2.

5.19. Найдите все скрывающие и выявляющие совершенные байесовские равновесия в следующих сигнальных играх.