Методы линейного программирования

СОДЕРЖАНИЕ

1. МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ_ 3

1.1. Алгебраический симплексный метод_ 3

1.2 Графический метод_ 12

1.3 Метод искусственного базиса_ 23

2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ_ 26

2.1.Транспортная задача_ 26

2.2. Задача о назначениях_ 30

3. МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ_ 32

3.1. Метод множителей Лагранжа_ 32

3.2. Градиентные методы выпуклого программирования_ 32

4. ЗАДАЧИ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ_ 34

4.1. Задачи выбора оптимальной стратегии обновления оборудования_ 34

4.2. Задачи выбора оптимальной стратегии обновления оборудования_ 36

4.3. Задачи распределения ресурсов_ 37

4.4. Задачи планирования рабочей силы_ 40

5. ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ИГР_ 41

6. ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ_ 47

МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Графический метод

1.2.1 Из пункта А в пункт В ежедневно отправляются пассажирские и скорые поезда. В следующей таблице указаны наличный парк вагонов разных типов, из которых ежедневно можно комплектовать данные поезда, и количество пассажиров, вмещающихся в каждом из вагонов:

Поезда	Вагоны
багажн.	почт.	ж. плацк.	куп.	мягк.
Скорый
Пассажирский		-
Число пассажиров	-	-
Парк вагонов

Определить оптимальное число скорых и пассажирских поездов, при которых число перевозимых пассажиров достигает максимума.

1.2.2 При составлении суточного рациона кормления скота можно использовать свежее сено (не более 50 кг) и силос (не более 85 кг). Рацион должен обладать определенной питательностью (число кормовых единиц не менее 30) и содержать питательные вещества: белок (не менее 1 кг), кальций (не менее 100 г) и фосфор (не менее 80г). В следующей таблице приведены данные о содержании указанных компонентов в 1 кг каждого продукта питания и себестоимости (коп./кг) этих продуктов:

	Количество кормовых единиц	Белок, г/кг	Кальций, г/кг	Фосфор, г/кг	Себестоимость, коп/кг
Сено свежее	0,5		1,25		1,2
Силос	0,5		2,5		0,8

Определить оптимальный рацион из условия минимума себестоимости.

1.2.3 Для изготовления двух видов изделий А и В фабрика расходует в качестве сырья сталь и цветные металлы, имеющиеся в ограниченном количестве. На изготовлении указанных двух изделий заняты токарные и фрезерные станки.

В следующей таблице приведены исходные данные задачи:

Виды ресурсов	Объём ресурсов	Нормы расхода на 1 изделие
Изделие А	Изделие В
Сталь………………………
Цветные материалы (кг)
Токарные станки (станко-ч).
Фрезерные станки (станко-ч)
Прибыль (тыс. руб)

Определить план выпуска продукции, при котором будет достигнута максимальная прибыль.

1.2.4 Фирма выпускает кастрюли и кофеварки, используя листовой металл на корпуса, полосовой металл на ручки и заклепки в качестве соединительных элементов. Количество единиц каждого ресурса, идущего на производство единицы товара представлено в таблице. Доход от продажи кофеварки составляет 8 руб., от продажи кастрюли – 10 руб.

	Кофеварка	Кастрюля	Запас ресурса
Листовой металл
Полосовой металл
Заклепки

Определите оптимальный план производства посуды для получения максимального дохода.

1.2.5 Найдите максимум целевой функции

При ограничениях:

1.2.6 Постройте на плоскости область решений системы линейных неравенств и найдите максимальное и минимальное значения линейной функции в этой области.

1.2.7 Постройте на плоскости область решений системы линейных неравенств и найдите максимальное и минимальное значения линейной функции в этой области.

1.2.8 Фирма производит и продает столы и шкафы из древесины хвойных и лиственных пород. Расход каждого вида в кубометрах на каждое изделие задан в таблице.

	Расход древесины, м2	Цена изделия, тыс. руб.
хвойные	лиственные
Стол	0,15	0,2	0,8
Шкаф	0,3	0,1	1,5
Запасы древесины

Определите оптимальное количество столов и шкафов, которое следует поставлять на продажу для получения максимального дохода фирмы.

1.2.9 Фирма производит два безалкогольных широко популярных напитка “Колокольчик” и “Буратино”. Для производства 1л. “Колокольчика” требуется 0,02 ч. Работы оборудования, а для “Буратино” – 0,04 ч, а расход специального ингредиента на них составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л. соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы 16 кг специального ингредиента и 24 ч работы оборудования. Доход от продажи 1 л. “Колокольчика” составляет 0,25 руб., а “Буратино” – 0,35 руб. Определите ежедневный план производства напитков каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от их продажи.

1.2.10 Фирма производит для автомобилей запасные части типа А и В. Фонд рабочего времени составляет 5000 чел.-ч в неделю. Для производства одной детали типа А требуется 1 чел.-ч., а для производства одной детали типа В – 2 чел.-ч. Производственная мощность позволяет выпускать максимум 2500 деталей типа А и 2000 деталей типа В в неделю. Для производства деталей типа А уходит 2 кг полимерного материала и 5 кг листового материала, а для производства одной детали типа В – 4 кг полимерного материала и 3 кг листового материала. Еженедельные запасы каждого материала – по 10000 кг. Общее число производимых деталей в течение одной недели должно составлять не менее 1500 штук. Определите, сколько деталей каждого вида следует производить, чтобы обеспечить максимальный доход от продажи за неделю, если доход от продажи одной детали типа А и В составляет соответственно 1,1 руб. и 1,5 руб.

1.2.11 Найдите минимум целевой функции при указанных ограничениях.

1.2.12 Найдите минимум целевой функции при указанных ограничениях.

1.2.13 Найдите минимум целевой функции при указанных ограничениях.

1.2.14 Найдите минимум целевой функции при указанных ограничениях.

1.2.15 Найдите минимум целевой функции при указанных ограничениях.

1.2.16 Найдите минимум целевой функции при указанных ограничениях.

1.2.17 Найдите минимум целевой функции при указанных ограничениях.

1.2.18 Найдите минимум целевой функции при указанных ограничениях.

1.2.19 Найдите минимум целевой функции при указанных ограничениях.

1.2.20 Найдите минимум целевой функции при указанных ограничениях.

1.2.21Найдите минимум целевой функции при указанных ограничениях.

1.2.22Найдите минимум целевой функции при указанных ограничениях

1.2.23 Найдите минимум целевой функции при указанных ограничениях

1.2.24Найдите минимум целевой функции при указанных ограничениях.

1.2.25 Найдите минимум целевой функции при указанных ограничениях.

1.2.26 Найдите минимум целевой функции при указанных ограничениях.

1.2.27 Найдите минимум целевой функции при указанных ограничениях.

1.2.28Найдите минимум целевой функции при указанных ограничениях.

1.2.29 Найдите минимум целевой функции при указанных ограничениях.

1.2.30 Найти минимум целевой функции при ограничениях:

1.2.31 Найти максимум целевой функции при ограничениях:

1.2.32 Найти минимум целевой функции при ограничениях:

1.2.33 Найти максимум целевой функции при ограничениях:

1.2.34 Найти максимум целевой функции при ограничениях:

1.2.35 Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья. Другие условия задачи приведены в таблице:

Вид сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие, кг.	Общее количество сырья, кг.
А	В
Прибыль от реализации одного изделия, ден. ед.

Составить такой план выпуска продукции, при котором прибыль предприятия от реализации продукции будет максимальной при условии, что изделий В надо выпустить не менее, чем изделий А.

1.2.36 Рацион для питания животных на ферме состоит из двух видов кормов I и II. Один килограмм корма I стоит 80 ден. ед. и содержит: 1 ед. жиров, 3 ед. белков, 1 ед. углеводов, 2 ед. нитратов. Один килограмм корма II стоит 10 ден. ед. и содержит 3 ед. жиров, 1 ед. белков, 8 ед. углеводов и 4 ед. нитратов. Составить наиболее дешевый рацион питания, обеспечивающий жиров не менее 6 ед., белков не менее 9 ед., углеводов не менее 8 ед., нитратов не более 16 ед.

1.2.37 Фирма, специализирующаяся на производстве замороженных пищевых полуфабрикатов, выпускает три различных продукта: продукт 1, продукт 2 и продукт 3, каждый из которых получается путем определенной обработки картофеля и подлежит соответствующей упаковке. Фирма имеет двух поставщиков картофеля. При этом объемы продуктов 1, 2 и 3, которые можно получить из одной тонны картофеля первого поставщика равны соответственно 0,2, 0,2, 0,3, второго поставщика – 0,3, 0,1, 0,3. Фирма может выпустить следующие объемы продуктов: 1-1,8 т., 2 – 1,2 т., 3 – 2,4 т. Относительная прибыль при закупке картофеля у поставщика 1 равна 5 усл. ед., у поставщика 2 составляет 6 усл. ед. Необходимо найти количество картофеля, которое нужно закупить у поставщиков, чтобы получить максимальную прибыль.

1.2.38 Найти максимум функции при ограничениях:

1.2.39 Найти максимум функции при ограничениях:

1.2.40 Найти максимум функции при ограничениях:

1.2.41 Найти максимум функции при ограничениях:

Метод искусственного базиса

1.3.1

1.3.2

1.3.3

1.3.4

1.3.5

1.3.6

1.3.7

1.3.8

1.3.9

1.3.10 В состав рациона кормления входят три продукта: сено, силос и концентраты, содержащие питательные вещества: белок, кальций и витамины. Содержание питательных веществ (в г на 1 кг) соответствующего продукта питания и минимально необходимые нормы их потребления заданы следующей таблицей:

№	Продукты	Питательные вещества
Белок	Кальций	Витамины
	Сено
	Силос
	Концентраты
Нормы потребления

Определить оптимальный рацион кормления из условия минимальной стоимости, если цена 1 кг продукта питания соответственно составляет: сена – 3 руб. силоса – 2 руб. и концентратов – 5 руб.

1.3.11 Для кормления подопытного животного ему необходимо давать ежедневно не менее 15 ед. химического вещества А₁ (витамина или некоторой соли) и 15 ед. химического вещества А₂. Не имея возможности давать вещество А₁ или А₂ в чистом виде, можно приобретать вещество В₁ по 1 руб. или В₂ по 3 руб. за 1 кг, причем каждый килограмм В₁ содержит 1 ед. А₁ и 5 ед. А₂, а килограмм В₂ — 5 ед. А₁ и 1 ед. А₂. Определить оптимальное содержание веществ В₁ и В₂ в ежедневном рационе.

1.3.12 Производитель ковровых покрытий выпускает ковровые покрытия шириной 10, 12 и 15 м и реализует их розничным торговцам рулонами по 200 м. Для производства одного рулона требуется следующее количество шерсти: покрытие шириной 10 м – 40 кг; покрытие шириной 12 м – 45 кг; покрытие шириной 15 м – 50 кг.

Шерсти имеется в количестве только 2750 кг. Общий объем продаж рулонов шириной 12 и 10 м вряд ли превысит 30 штук. Производитель уже получил заказы на производство 20 рулонов шириной 15 м. На каждом рулоне производитель получает следующую прибыль: покрытия шириной 10 м – 450 руб.; покрытия шириной 12 м – 550 руб.; покрытия шириной 15 м – 600 руб.

Найдите, сколько рулонов каждого вида необходимо производить, чтобы максимизировать прибыль.

Транспортная задача

2.1.1 Имеются всего 5 пунктов отправления (i= 1, ..., 5) и 5 пунктов назначения (k=1,…,5). Для каждого из пунктов указаны объем производства a_i и объем потреблений b_k. Заданы также коэффициенты cik затрат на перевозки из i-го пункта в k-й. Все указанные данные приведены в следующей таблице:

k						ai	bk
i

Составить оптимальный план перевозок, минимизирующий суммарные затраты.

2.1.2. Имеются всего 4 пунктов отправления (i= 1, ..., 4) и 6 пунктов назначения (k=1,…,6). Для каждого из пунктов указаны объем производства a_i и объем потреблений b_k. Заданы также коэффициенты cik затрат на перевозки из i-го пункта в k-й. Все указанные данные приведены в следующей таблице:

ai/ bk

2.1.3-2.1.13 На складах хранится мука, которую необходимо завезти в хлебопекарни. Номера складов и номера хлебопекарен выбираются в соответствии с вариантами табл. 2.1.1. Текущие тарифы перевозки муки [руб./т], ежемесячные запасы муки [т/мес.] на складах и потребности хлебопекарен в муке [т/мес.] указаны в табл. 2.1.2.

При этом необходимо учитывать, что из-за ремонтных работ временно нет возможности перевозить муку с некоторых складов в некоторые хлебопекарни. В табл. 2.1.1 это показано в графе "Запрет перевозки". Кроме того, необходимо учесть, что некоторые хлебопекарни имеют договоры на гарантированную поставку муки с определенных складов. Необходимо организовать поставки наилучшим образом, учитывая, что мука хранится и транспортируется в мешках весом по 50 кг.

Таблица 2.1.1.

№ задачи	№ Складов	№ Хлебопекарен	Запрет перевозки	Гарантированная поставка, т/мес.
2.1.3	2, 3, 4, 5	1, 2, 5	2x2, 3x5	3x2=40
2.1.4	1, 2, 4	1, 2, 3, 5	1x5, 2x3	4x3=45
2.1.5	1, 2, 3, 4	3, 4, 5	3x3, 4x5	3x5=40
2.1.6	1, 2, 5	2, 3, 4, 5	1x4, 5x3	1x5=60
2.1.7	1, 2, 3, 5	2, 3, 5	5x5, 2x2	3x5=30
2.1.8	2, 3, 4	2, 3, 4, 5	3x3, 2x5	4x3=45
2.1.9	1, 2, 3, 5	1, 2, 4	1x2, 5x4	3x2=20
2.1.10	2, 3, 5	1, 2, 3, 5	5x1, 3x5	5x2=30
2.1.11	2, 3, 4, 5	2, 3, 4	5x4, 3x2	4x3=35
2.1.12	3, 4, 5	1, 2, 3, 4	3x4, 5x1	4x1=40
2.1.13	1, 2, 3, 4	1, 2, 3	3x2, 4x1	2x2=50

Таблица 2.1.2

Склады	Хлебопекарни
					Запас, т/мес.
Спрос, т/мес.	77,86	56,78	58,88	62,44	73,92

2.1.14-2.1.17 Решить следующие транспортные задачи.

2.1.14.

ai/ bk

2.1.15.

ai/ bk

2.1.16.

ai/ bk

2.1.17.

ai/ bk

2.1.18.Известен выпуск продукции на трех заводах: a1=460, a2=340, a3=300; требования на эту продукцию трех потребителей: b1=200, b2=450, b3=100; и матрица С транспортных расходов на доставку 1 ед. продукции из i-го завода k-му потребителю:

С = .

Составить оптимальный план перевозок, минимизирующий суммарные затраты.

2.1.19.Известен выпуск продукции на трех заводах: a1=500, a2=700, a3=600, требования на эту продукцию трех потребителей: b1=400, b2=800, b3=200; и матрица С транспортных расходов на доставку 1 ед. продукции из i-го завода k-му потребителю:

С = .

Составить оптимальный план перевозок, минимизирующий суммарные затраты.

2.1.20.Строительный песок добывается в трех карьерах и доставляется на четыре строительные площадки. Данные о производительности карьеров за день (aiв т), потребностях в песке строительных площадок (bkв т), затратах на добычу песка (diв руб./т) и транспортных расходах (cik) приведены в следующей таблице:

ai /bk					ai

Определить оптимальный вариант решения поставок песка.

2.1.21.-2.1.25. Решить следующие транспортные задачи:

Известен выпуск продукции на заводах (a_i), требования на эту продукцию потребителей: (bk) и матрица С транспортных расходов на доставку 1 ед. продукции из i-го завода k-му потребителю:

2.1.21 a1=30, a2=25, a3=45; b1=20, b2=15, b3=45; b4=40, C = .

2.1.22 a1=45, a2=65, a3=40; b1=70, b2=30, b3=50; C = .

2.1.23 a1=35, a2=70; b1=30, b2=15, b3=35; b4=10, C = .

2.1.24 a1=75, a2=65; b1=50, b2=20, b3=40; b4=30, C = .

2.1.25 a1=40, a2=20, a3=40; а4=20, b1=30, b2=60; b3=30, C = .

Задача о назначениях

2.2.1-2.2.11 Отдел кадров предприятия устроил конкурсный набор специалистов на две вакантные должности. На эти новые места (НМ) претендуют 3 прежних сотрудника (ПС), уже работающие в других отделах, и 4 новых сотрудника (НС). Номера новых сотрудников, новых и прежних мест выбираются по вариантам из табл. 2.2.1. Номера прежних мест являются номерами прежних сотрудников.

Отдел кадров оценил по десятибалльной шкале компетентность новых сотрудников (табл. 2.2.2) и прежних сотрудников (табл. 2.2.3.) для работы и на новых местах, и на прежних местах (ПМ), то есть занимаемых прежними сотрудниками. Необходимо учесть, что руководство предприятия, во-первых, предпочитает, чтобы прежние сотрудники не претендовали на места друг друга, и, во-вторых, не намерено увольнять прежних сотрудников. Необходимо распределить сотрудников по должностям наилучшим образом.

Таблица 2.2.1.

Номера сотрудников и мест их работы для конкретного варианта

№ задачи	Новые сотрудники (НС)	Места работы прежних сотрудников (ПМ)	Новые места (НМ)
2.2.1	1, 2, 5, 6	2, 5, 6	2, 3
2.2.2	5, 6, 7, 8	1, 2, 5	3, 4
2.2.3	3, 4, 5, 6	4, 5, 6	1, 4
2.2.4	1, 2, 3, 4	2, 3, 4	2, 4
2.2.5	2, 4, 6, 8	3, 4, 6	1, 3
2.2.6	1, 3, 5, 7	2, 3, 6	1, 4
2.2.7	2, 3, 6, 7	3, 4, 5	2, 3
2.2.8	1, 4, 5, 8	2, 3, 5	3, 4
2.2.9	2, 3, 4, 5	1, 2, 6	1, 2
2.2.10	4, 5, 6, 7	1, 3, 5	2, 4
2.2.11	1, 2, 7, 8	2, 4, 6	1, 3

Таблица 2.2.2

Компетентность новых сотрудников

	НМ1	НМ2	НМ3	НМ 4	ПМ1	ПМ 2	ПМ3	ПМ4	ПМ5	ПМ6
НС1
НС2
НС3
НС4
НС5
НС6
НС7
НС8

Таблица 2.2.3.

Компетентность прежних сотрудников

	НМ1	НМ2	НМ3	НМ4
ПС1
ПС2
ПС3
ПС4
ПС5
ПС6

Метод множителей Лагранжа

В задачах 3.1.1. – 3.1.5. найти условный экстремум с помощью метода Лагранжа.

3.1.1. при условии

3.1.2. при условии

3.1.3. при условии

3.1.4. при условии

3.1.5. при условии

В задачах 3.1.6. – 3.1.10. определить стационарные точки при исследовании условного экстремума функций.

3.1.6. при .

3.1.7 при и при .

3.1.8. при .

3.1.9. при .

3.1.10. при и .

ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ИГР

5.1. Два конкурирующих продавца мороженого независимо выбирают места для своих ларьков на улице длиной 2 км. Цена у обоих продавцов составляет $0.30 за порцию. Потребители равномерно распределены вдоль всей улицы. Прохождение 1 км пешком эквивалентно затрате $0.20. Покупатель готов заплатить за мороженое $1.00. Если расстояния до ларьков одинаковы (в частности, если ларьки находятся в одной точке), то место покупки выбирается случайно и равновероятно. Найти все равновесные расположения ларьков (в чистых стратегиях).

5.2.Рассмотрим игру, в которой участвуют государство и налогоплательщик. Доход налогоплательщика равен 5 единицам. Государство выбирает уровень подоходного налога: высокий (В = 40%) либо низкий (Н = 20%). Налогоплательщик может честно заплатить налог, а может уклониться от его уплаты. Если он решает не платить налоги, то с вероятностью 50% налоговые органы обнаруживают это и заставляют его заплатить весь налог и дополнительно внести в казну штраф в размере 1 единица. Выигрыш государства – это ожидаемый объем налоговых поступлений, а выигрыш налогоплательщика – его ожидаемый доход (после уплаты всех налогов и штрафов). Постройте матрицу игры и найдите равновесие Нэша в чистых стратегиях. А каково будет равновесие Нэша, если вероятность поимки составит 75%?

5.3.Комитет, состоящий из трех членов {А, В, С}, выбирает председателя. Голосуют по очереди: Сначала А сообщает вслух, кого из {А, В, С} он поддерживает, затем то же самое делает В, и наконец, С. Участник А старше всех, поэтому его мнение уважают, и если все проголосовали за разных кандидатов, то у А решающий голос (то есть принимается решение, предложенное А). В остальных случаях решение принимается простым большинством. Предпочтения участников заданы следующим образом:

( каждый в первую очередь хочет видеть на месте председателя себя, но в отношении других вкусы расходятся). За кого проголосует А? Кто станет председателем?

5.4. Два преступника ожидают приговора суда за совершенное злодеяние. Адвокат конфиденциально предлагает каждому из преступников облегчить его участь (и даже освободить!), если он сознается и даст показания против сообщника, которому грозит угодить в тюрьму за совершенное преступление на 10 лет. Если никто не сознается, то обоим угрожает заключение на определенный срок (скажем, 1 год) по обвинению в незначительном преступлении. Если сознаются оба преступника, то, с учетом чистосердечного признания, им обоим грозит попасть в тюрьму на 5 лет. Каждый заключенный имеет на выбор 2 стратегии: не сознаваться или сознаваться, выдав при этом сообщника.

5.5. Семейная пара – Муж и Жена каждый вечер решают проблему: как им провести свой досуг. В городке, где они живут, имеется два вида развлечений: Балет и Футбол. У каждого из супругов есть свое любимое зрелище: Жена предпочитает Балет, Муж- Футбол. Однако супруги так привязаны друг к другу, что посещение любимого развлечения в одиночку доставляет им совсем не такое удовольствие, как присутствие на них вдвоем, т.е. если Жена идет вечером на Балет с Мужем, она получает максимум удовольствия – 4 единицы; Муж недолюбливает Балет, но присутствие на нем с Женой скрашивает тягостное времяпровождение, Муж получает 1ед. удовольствия. История повторяется с точностью до наоборот, когда Жена идет с Мужем на обожаемый им Футбол: Муж получает 4 ед. удовольствия от игры любимой команды и присутствия любимой жены; Жена получает 1 ед. удовольствия, проведя вечер с Мужем на Футболе. В принципе Муж может сходить на Футбол, а Жена - на Балет в одиночку, но отсутствие супруга снижает удовольствие от любимых зрелищ – каждый получает по 2 ед. удовольствия. И, наконец, вечер будет проведен совсем уж без пользы (т.е. супруги получат по 0 ед. удовольствия), если Муж отправится на Балет, в то время как Жена будет смотреть на стадионе футбол.

5.6. Представим экономику, в которой имеется два субъекта: Игрок 1 и Игрок 2, и два товара (блага): x₁ и x₂. Каждый из игроков имеет функцию полезности, заданную на наборе товаров: h₁(x1, x₂), h₂(x₁, x₂); предполагается, что эти функции непрерывны и монотонны по каждой из переменных и выпуклы. В начале игры в экономике имеется общее количество Х₁ первого товара и Х₂ – второго товара. Это начальное количество благ как-то распределено между игроками: !-й Игрок обладает количеством первого товара и - второго, 2-й Игрок – количествами и 1-го и 2-го товаров соответственно, так что + = и + = . Могут ли игроки путем обмена имеющимися у них товарами улучшить свое положение, т.е. увеличить значение функций полезности h₁и h₂ по сравнению с начальными уровнями h₁( , ) и h₂( , )?

5.7. На рынке некоторого продукта доминирует производитель-монополист (Фирма 1), и монопольное положение приносит ему 12 млрд. руб. прибыли. Высокая прибыль в данном секторе привлекает других производителей, и, в частности, Фирма 2 решает вопрос: построить ли ей свой завод и начать на нем производство такого же товара? Однако ей известно, что Фирма 1 может предпринять некоторые действия в ответ на вторжение. С одной стороны, Фирма 1 может снизить объем своего производства. В этом случае каждая из фирм получит по 6 млрд. руб прибыли. С другой стороны, Фирма 1 может сохранить объем своего производства. В этом случае рост совокупного предложения товара Фирмами 1 и 2 снизит цену на этот товар, и, как следствие, прибыль фирмы 1 упадет до 5 млрд. руб. Одновременно снижение цен приведет к тому, что Фирма 2, сделавшая предварительные затраты для выхода на новый для нее рынок, понесет чистые убытки: она потеряет на этом 2 млрд. руб.. В случае, если Фирма 2 воздерживается от вступления на рынок, она ничего не выигрывает и не проигрывает ( ее прибыль равна 0 млрд. руб), а Фирма 1 продолжает получать монопольную прибыль в 12 млрд. руб.. Если же Фирма 1 вдруг решит в этой ситуации снизить объем производства, ее прибыль упадет до 8 млрд. руб.

5.8. Найти решение антагонистической игры 2*2, если платежная матрица имеет вид:

P =

5.9. Существует программа Lotto Pro 2003. Для игры в лото предлагается воспользоваться генерируемыми ей комбинациями. Если человек решил играть N числами, то программа генерирует определенные комбинации по 6 из этих чисел. Понятно, что если использовать все возможные комбинации из N чисел по 6 и из N чисел он угадал 6, то одна из комбинаций будет содержать эти 6 угаданных числа. Использование всех комбинаций дает гарантию 6/6, что означает: при угаданных 6 числах одна из комбинаций содержит их все. Но играть всеми комбинациями дорого, поэтому там же предлагают оптимальное количество комбинаций, в которых гарантируется, что если из N выбранных чисел угаданы 6, то хотя бы одна из предложенных комбинаций содержит 5 из угаданных цифр, т.е. дается гарантия 5/6. Kак построить комбинации дающие такую гарантию?

5.10. Чистыми стратегиями является установка орудия на север, юг, запад, восток. Смешанная стратегия ξ=(0,1; 0,5; 0,2; 0,2) означает, что 10 % времени орудие смотрит на север, 50% на юг и по 20% времени оно повернуто на запад и восток. Если чистыми стратегиями являются покупка сахара, муки, картофеля, то ξ=(0,5; 0,2; 0,3) означает, что деньги истрачены следующим образом: 50% на сахар, 20% на муку, 30% на картофель. Принятие чистой стратегии означает, что покупатель принял решение истрат