Анализ решения задачи линейного программирования на основе теории двойственности
6.3.1 Постановка задачи планирования производства продукции
Рассмотрим частный случай задачи линейного программирования – задачу планирования производства продукции.
Для производства продукции n типов требуются ресурсы m видов. Нормы расхода ресурсов на производство единицы продукции каждого типа заданы матрицей 
, где 
– количество ресурса i–го вида, необходимое для производства единицы продукции j-го типа. Известно количество ресурсов 
( 
) каждого вида, которое имеется в наличии у предприятия. Известны также величины прибыли Сj ( 
), которую получит предприятие при реализации единицы продукции j-го типа. Требуется найти оптимальный план производства продукции, т.е. количество продукции каждого типа, которое нужно произвести, чтобы получить наибольшую прибыль. Условие задачи можно представить в виде таблицы 6.1.
Таблица 6.1. - Исходные данные к задаче планирования производства продукции
| Ресурсы | Продукция | Наличие ресурсов | |||
| Тип 1 | Тип 2 | … | Тип n | ||
| Ресурс 1 | a11 | a12 | … | a1n | b1 |
| Ресурс 2 | a21 | a22 | … | a2n | b2 |
| … | … | … | … | … | … |
| Ресурс m | am1 | am2 | … | amn | bm |
| Прибыль | C1 | C2 | … | Cn |
Обозначим через xj – количество продукции j-го типа, которое планируется выпустить ( ). Тогда математическая модель задачи будет выглядеть следующим образом:
(6.1)
(6.2)
(6.3)
Целевая функция (6.1) этой задачи представляет собой общую прибыль от производства всей продукции. Ограничения (6.2) выражают условие того, что потребление ресурса i-го вида не должно превышать запаса этого ресурса. Условия неотрицательности переменных (6.3) вытекают из смысла переменной xj ( ): количество продукции не может быть отрицательным.
Каноническая форма записи ЗЛП
Каноническойназывается форма записи ЗЛП, в которой целевая функция стремится к максимуму, все ограничении имеют вид равенства и на все переменные наложено условие неотрицательности.
Чтобы привести к каноническому виду задачу с ограничениями-неравенствами, вводят дополнительные переменные. Причем если неравенство имеет вид “меньше или равно”( 
), то дополнительную переменную прибавляют к левой части ограничения, а если вид “больше или равно”( 
), то дополнительную переменную вычитают из его левой части. В целевую функцию дополнительные переменные вводят с коэффициентами, равными 0.
Таким образом, задача (6.1) – (6.3) может быть записана в следующей канонической форме:
(6.4)
Дополнительные переменные yi ( ) представляют собой остатки ресурсов каждого вида. Если в оптимальном решении какой-либо ресурс будет использован полностью, то ограничение исходной задачи (6.2) будет выполнено в виде равенства и yi=0. Такое ограничение в отчетах Exсel называется связанным.Ресурс, который использован полностью, считается дефицитным.