Статический межотраслевой баланс народного хозяйства

в денежном выражении

	Межотраслевые потоки материальных затрат	Конечная продукция	Валовая продукция
		…	n
	x₁₁	x₁₂	…	x_1n	Y₁	X₁
	x₂₁	x₂₂	…	x_2n	Y₂	X₂
…	…	…	I …	…	II …	…
n	x_n1	x_n2	…	x_nn	Y_n	X_n
Фонд оплаты труда Чистый доход	v₁ m₁	v₂ m₂	…III …	v_n m_n	v_кон m_кон IV
Валовая продукция	Х₁	Х₂	…	Х_n		åХ_i=åХ_j

Во втором квадранте представлена конечная продукция всех отраслей материального производства, при этом под конечной понимается продукция, выходящая из сферы производства в область конечного использования (на потребление и накопление). В таблице .1 этот раздел дан укрупненно в виде одного столбца величин Y_i и характеризует отраслевую структуру созданного национального дохода.

Третий квадрант МОБ также характеризует национальный доход, но со стороны его стоимостного состава как сумму оплаты труда и чистого дохода отраслей.

Четвертый квадрант баланса отражает часть национального дохода, идущее на конечное потребление в отраслях непроизводственной сферы в виде фонда оплаты труда и накоплений.

Таким образом, межотраслевой баланс в рамках единой модели объединяет балансы отраслей материального производства, баланс совокупного общественного продукта, балансы национального дохода, финансовый, баланс доходов и расходов населения. Следует особо отметить, что хотя валовая продукция отраслей не входит в рассмотренные выше четыре квадранта, она представлена на схеме МОБ в виде столбца, расположенного справа от второго квадранта, и в виде строки ниже третьего квадранта. Эти столбец и строка валовой продукции играют важную роль как для проверки правильности заполнения квадрантов, так и для разработки экономико-математической модели межотраслевого баланса.

На основе таблицы-матрицы статического межотраслевого баланса можно рассчитать важные объемные показатели по народному хозяйству и в разрезе отраслей, а также ряд показателей эффективности: суммарные материальные затраты, созданный и использованный национальный доход, фонд оплаты труда работников материальной сферы, суммарный чистый доход, суммарные производственные затраты в материальной сфере, объем валовой продукции, материальные затраты на 1 руб. валовой продукции и/или национального дохода - (материалоемкость продукции), производственные затраты на 1 руб. валовой продукции и/или национального дохода, рентабельность продукции и др. Расчетные формулы приведены ниже:

Рассматривая схему баланса по столбцам, можно сделать вывод, что итог материальных затрат любой потребляющей отрасли, фонда оплаты труда ее работников и чистого дохода равен валовой продукции этой отрасли:

j = 1,2,…,n. (9.1)

Рассматривая схему МОБ по строкам для каждой производящей отрасли, можно видеть, что валовая продукция той или иной отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли:

i = 1,2,…,n. (9.2)

Основные соотношения (9.2) представляют собой систему n-уравнений с (2n+n²) – переменными. Такая система имеет бесчисленное множество решений (если решения имеются). В таком виде ее применение ограничено. Систему можно упростить, если ввести в нее коэффициенты прямых материальных затрат.

Коэффициенты прямых материальных затрат (a_ij) показывают количество валовой продукции каждой отрасли (i-й отрасли), направляемое в виде прямых материальных затрат, на единицу валовой продукции данной отрасли (j-й отрасли). Величины (a_ij) расчытываются следующим образом:

i,j = 1,2,…,n. (9.3)

Из (9.3) следует, что

; i,j = 1,2,…,n. (9.4)

Подставляя в систему (9.2) значение из (9.4), получим

i=1,2,…,n. (9.5)

Если матрицу коэффициентов прямых материальных затрат обозначить через вектор А, вектор-столбец валовой продукции X_i через Х и вектор-столбец конечной продукции (Y_i) через Y, то система уравнений (9.5) примет вид

X = AX + Y. (9.6)

Система уравнений (9.5), или в векторной форме (9.6), называется экономико-математической моделью межотраслевого статического баланса (моделью В. Леонтьева, моделью “затрат-выпуска”).

Модель (9.5) представляет собой систему n-уравнений с 2n-переменными, поскольку своего рода нормативы материалоемкости, которые являются отностительно стабильными величинами во времени.

Модель В. Леонтьева также имеет множество решений. Однако ее можно применить для планово-прогнозных расчетов при определенных допущениях, а именно, часть переменных (n переменных из 2n) задаются вне модели. Тогда модель (9.5) превращается в систему n-уравнений с n-переменными, которая, как известно, имеет единственное решение. Возможны три случая:

- величины конечной продукции (Y_i) задаются вне модели, а величины валовой продукции (Х_i) рассчитываются по модели В. Леонтьева;

- величины валовой продукции (X_i) задаются вне модели, а величины конечной продукции (Y_i) рассчитываются по модели В. Леонтьева;

- для одних отраслей вне модели задаются величины валовой продукции (X_i, i = 1,2,…,k), для других отраслей задаются величины конечной продукции (Y_i, i=k+1,k+2,…,n). Не заданные значения валовой и конечной продукции (X_i, i=k+1,k+2,…,n; Y_i, i = 1,2,…,k) рассчитывается по модели В. Леонтьева.

Выполним для векторной формы модели (9.6) следующие преобразования:

EX – AX =Y;

(E - A)X = Y;

X = (E - A)^-1Y,

где Е – единичная матрица n-го порядка, (E - A)^-1- обратная матрица к матрице (Е - А).

Если определитель матрицы (Е - А) не равен нулю, то обратная к ней матрица существует. Обозначим эту обратную матрицу через В = (E - A)^-1, тогда модель (9.6) можно записать в виде

Х = В∙Y. (9.7)

Если элементы вектора-матрицы В обозначить b_ij, то модель (3.8) примет следующий вид

i = 1,2,…,n. (9.8)

В принципе это модифицированная модель В. Леонтьева. Величины b_ij в модели (9.8) называются коэффициентами полных затрат. Коэффициенты полных затрат (b_ij) включают в себя как прямые, так и косвенные затраты. Например, при производстве ряда продуктов пищевой промышленности вода является одним из видов основного сырья (прямые материальные затраты). Однако вода используется и для мытья стеклотары, санитарно-гигиенических и других целей (косвенные расходы). Другой пример, топливо и энергия используются при производстве продукции для технологических целей (прямые материальные затраты), а также для освещения, отопления и т.п. (косвенные расходы).

Косвенные расходы могут быть и другого характера, относящиеся к предшествующим стадиям производства. Например, при производстве хлебобулочной продукции из муки (исходное сырье зерно), кроме затрат на топливо и энергию на предприятии хлебопекарной промышленности, затраты на топливо и энергию производятся в сельском хозяйстве (производство зерна), в элеваторно-складском хозяйстве (хранение зерна), на мелькомбинатах (переработка зерна в муку).

Коэффициенты полных затрат показывают количество валовой продукции, которое должно быть произведено в каждой отрасли (i-ой отрасли), чтобы получить единицу конечной продукции в данной отрасли (j-ой отрасли).

Модель (9.8) представляет собой систему n-уравнений с 2n-переменными. Ее применение также основывается на допущениях и аналогично применению модели (9.5).

Коэффициенты полных затрат могут быть определены на основе коэффициентов прямых материальных затрат. Рассмотрим методику на примере.

Пусть народное хозяйство представлено двумя группами отраслей, величины коэффициентов прямых материальных затрат для каждой группы отраслей и конечная продукция приведены в таблице:

Группы отраслей	Коэффициенты прямых материальных затрат	Конечная продукция, млрд. руб.

	0,3	0,2
	0,1	0,2

Запишем модель В. Леонтьева для случая, когда народное хозяйство представлено двумя группами отраслей:

Согласно определения коэффициентов полных затрат, если в этой модели Y₁ принять равным единице (1 руб.), а Y₂ – за ноль, то X₁ и Х₂ будут означать коэффициенты полных затрат для 1-ой группы отраслей, т.е. X₁ = b₁₁, X₂ = b₂₁.

Аналогично, если принять Y₁ = 0; Y₂= 1, то в модели В. Леонтьева Х₁и Х₂ будут означать коэффициенты полных затрат для 2-ой группы отраслей, т.е. X₁ = b₁₂; X₂ = b₂₂.

Выполним указанные расчеты для нашего примера. Для первой группы отраслей:

7,714Х₂ = 1,429; Х₂ = 1,429/7,714 = 0,185;

Х₁ = 1,429 + 0,286 ∙ 0,185 = 1,482.

Таким образом X₁= b₁₁ = 1,482 руб.;

X₂= b₂₁ = 0,185 руб.

Аналогично можно рассчитать b_ij для 2-ой группы отраслей:

После упрощения получим

Откуда 7,714Х₂ = 10; Х₂ = 10/7,714 = 1,296;

Х₁ = 0,286 * 1,296 = 0,371.

Следовательно, Х₁ = b₁₂ = 0,371 руб.;

X₂ = b₂₂ = 1,296 руб.

Динамические балансовые модели – это модели, в которых учитывается фактор времени, а также связи и зависимости показателей последующих лет от показателей предыдущих лет.

Особенности динамических балансовых моделей можно проиллюстрировать на примере полудинамического межотраслевого баланса, первые две части которого приведены в таблице 9.2.

7. Дайте определение матрицы коэффициентов полных материальных затрат и обоснуйте его отличие от определения матрицы коэффициентов прямых материальных затрат. Обоснуйте различие двух матриц коэффициентов полных материальных затрат В и С.

Коэффициенты прямых затрат по определению являются неотрицательными, следовательно, матрица А в целом может быть названа неотрицательной: А > 0. Так как процесс воспроизводства нельзя было бы осуществлять, если бы для собственного воспроизводства в отрасли затрачивалось большее количество продукта, чем создавалось, то очевидно, что диагональные элементы матрицы А меньше единицы: a_ii<1.

Система уравнений межотраслевого баланса является отражением реальных экономических процессов, в которых содержательный смысл могут иметь лишь неотрицательные значения валовых выпусков; таким образом, вектор валовой продукции состоит из неотрицательных компонентов и называется неотрицательным: X > 0. Встает вопрос, при каких условиях экономическая система способна обеспечить положительный конечный выпуск по всем отраслям. Ответ на этот вопрос связан с понятием продуктивности матрицы коэффициентов прямых материальных затрат.

Коэффициентом полных материальных затрат c_ij называется сумма прямых затрат и косвенных затрат продукции i-й отрасли для производства единицы продукции j-й отрасли через все промежуточные продукты на всех предшествующих стадиях производства. Если коэффициент косвенных материальных затрат k-го порядка обозначить через а_ij⁽^k⁾, то имеет место формула

c_ij = a_ij + а_ij⁽¹⁾ + а_ij⁽²⁾ + … + а_ij⁽^k⁾+ … (12)

а если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов полных материальных затрат С=(c_ij) и матрицы коэффициентов косвенных материальных затрат различных порядков

А⁽^k⁾ =( а_ij⁽^k⁾), то поэлементную формулу (12) можно записать в более общем матричном виде:

С = А + А⁽¹⁾ + А⁽²⁾+...+А⁽^k⁾+... (13)

Исходя из содержательного смысла коэффициентов косвенных материальных затрат можно записать ряд матричных соотношений:

А⁽¹⁾= АА + А²; А⁽²⁾> = АА² = А³; А⁽^k⁾> = АА⁽^k^-1) = АА^k = АА^k⁺¹