Издержки предприятия на производство продукции, задача их минимизации

Классификация издержек.Любое производство связано с затратами сырья, электроэнергии, рабочей силы, оборудования, земли и так далее. Без использования необходимых ресурсов невозможно создать новые блага.

Издержки производства – это совокупность расходов, которые несет предприниматель при обеспечении того или иного объема производства продукции и ее последующей реализации в определенный период времени. Издержки можно классифицировать по многим признакам.

Постоянные издержки (FC) – это издержки, величина которых в краткосрочном периоде не изменяется с увеличением или сокращением объема производства. К постоянным издержкам относятся издержки, связанные с использованием зданий и сооружений, машин и производственного оборудования, арендой, капитальным ремонтом, а также административные расходы. Они выплачиваются даже тогда, когда продукция вообще не выпускается.

Переменные издержки (VC) – это издержки, величина которых изменяется в зависимости от увеличения или уменьшения объема производства. К ним относятся затраты на сырье, электроэнергию, вспомогательные материалы, оплату труда.

Общие издержки (ТС) – это совокупность постоянных и переменных издержек фирмы в связи с производством продукции в краткосрочный период.

Каждому производителю необходимо знать средние издержки (т.е. издержки на производство единицы продукции), так как именно они сравнимы с ценой. Они имеют значение при определении прибыльности и убыточности производства.

Средние постоянные издержки (AFC) – это постоянные издержки на производство единицы продукции (FC/y). Поскольку с увеличением объема производства растет общая выручка, то средние постоянные издержки представляют собой все меньшую и меньшую величину.

Средние переменные издержки (AVC) – переменные издержки на производство единицы продукции (VC/y). Они достигают своего минимума, когда достигнут технологически оптимальный размер предприятия. Понятие средних переменных издержек необходимо для определения эффективности хозяйствования фирмы, положения равновесия и определения ближайших перспектив развития – расширения, сокращения производства или ухода из отрасли.

Средние общие издержки (АТС) – отношение общих издержек к объему выпускаемой продукции (ТС/у).

Предельные издержки (МС) – это приращение совокупных издержек, вызванное бесконечно малым увеличением производства (DТС/Dу). Когда МС<АТС, кривая средних издержек идет вниз: производство каждой новой единицы продукции уменьшает средние издержки. Когда МС>АТС, кривая средних издержек идет вверх: производство новой единицы продукции увеличивает средние издержки. Когда АТС=min, то МС=АТС. Кривая предельных издержек пересекает кривую средних переменных издержек и кривую средних общих издержек в точках их минимального значения.

Дадим понятие функции издержек. Функция издержек выражает зависимость между объемом произведенной продукции и минимально необходимыми затратами ее производства:

C=C (y). (6-1)

Для количественной характеристики зависимости общих затрат от объема выпускаемой продукции используется коэффициент эластичности затрат от выпуска (е_C,_Q). Он показывает, на сколько процентов изменятся общие затраты при изменении выпуска на 1%:

е_C,Q=(DTC/Dy)*(y/TC) = MC/AC (6-2)

Для количественного определения затрат нужно знать цены услуг факторов производства. В общем виде, зависимость:

x=x(y) (6-3)

это зависимость объемов ресурсов от объема выпуска продукции. Такую функцию называют функцией производственных затрат ресурсов, а сами издержки

Z(y)=q₁*x₁(y)+q₂*x₂(y)+…+q_n*x_n(y) (6-4)

Рассмотрим случай, когда имеется два фактора производства: труд и капитал. Обозначим ставку заработной платы (цену труда) – r_L, а арендную плату за использование капитала в единицу времени – r_K. Тогда общие издержки (ТС) выпуска некоторого количества продукции равны:

TC = r_L*L+r_K*K (6-5)

Объемы применяемых факторов производства при заданном выпуске предопределены технологией, представляемой производственной функцией y=y(L,K). Поэтому L=L(y), K=K(y), а, следовательно, и TC=TC(y). Допустим, что технология производства характеризуется производственной функцией Кобба-Дугласа:

y=A*x₁^a1*x₂^a2*…*x_n^aⁿ, (6-6)

где А>0, 0<a_j<1, j=1,…,n (в нашем случае y=L^aK^1-^a ) (6-7)

(различные виды производственных функций подробнее будут рассмотрены в главе II)

В краткосрочном периоде объем капитала фиксирован, и производственная функция в качестве аргумента содержит лишь количество применяемого труда. Чтобы при заданной технологии произвести у единиц продукции, требуется L=(y*K^1-^a)^1/^a единиц труда. Подставим это значение в формулу (6-5):

TC=r_L*(y*K^1-^a)^1/^a+r_K*K=TC (y) (6-8)

Предельные затраты при данной технологии, характеризующейся функцией Кобба-Дугласа, равны:

MC=r_L/a*(y/K)^(1-^a^)/^a (6-9)

Средние постоянные издержки, средние переменные и средние общие издержки соответственно равны r_K*K/y, r_L*(y/K)^(1-^a)/^a и r_K*K/y+r_L*(y/K)^(1-^a)/^a.

Поскольку по определению функция затрат выражает зависимость между выпуском продукции и минимальными затратами на ее производство, то предварительно нужно найти такое сочетание труда и капитала, которое обеспечивает минимальные затраты на заданный выпуск. При заданной сумме общих производственных затрат ТС множество всевозможных сочетаний труда и капитала определено уравнением (6- 5) Решим его относительно К:

K=TC/r_K-(r_L/r_K)*L (6-10)

Уравнение (6-10) – это уравнение изокосты. Тангенс угла наклона изокосты равен соотношению цен на факторы, а ее отдаленность от начала координат определяется объемом производственных расходов. Все сочетания объемов труда и капитала, соответствующие точкам на изокосте и под ней, «по карману» производителю, а все комбинации обоих факторов, отмеченные точками выше изокосты, ему не доступны. Траектория точек касания изоквант (графиков производственных функций) и изокост указывает такое сочетание ресурсов, при котором затраты, необходимые для каждого из выпусков, минимальны. В точке касания наклон изокванты совпадает с наклоном изокосты. Таким образом, задача минимизации издержек сводится к следующему: необходимо найти такую изокосту, которая являлась бы касательной к заданной изокванте, т. е. нужно найти точку касания изокосты с наиболее удаленной изоквантой. Точка касания х^* и есть оптимальное решение. Эту задачу будем решать методом множителей Лагранжа.

Задача минимизации издержек

Для задачи минимизации издержек функция Лагранжа имеет вид:

F(x₁,x₂,…,x_n,l₁)=q₁*x₁+q₂*x₂+…+q_n*x_n+l₁*(y₀-f(x₁,x₂,…,x_n)), (6-11)

где q₁,q₂,…,q_n – цены соответственно ресурсов x₁,x₂,…,x_n

f(x₁,x₂,…,x_n)=y₀

x₁>=0, x₂>=0, …, x_n>=0

Далее получаем систему уравнений:

¶F / ¶x_j=q_j-l₁* ¶f/ ¶x_j=0, j=1,2,…,n (6-12)

¶F / ¶l₁=y₀-f(x₁,x₂,…,x_n)=0 или

¶f / ¶x_j=1/l₁*q_j, j=1,2,…,n; f(x₁,x₂,…,x_n)=y₀ (6-13)

В точке минимума получим:

Предельные производительности ресурсов пропорциональны их ценам (коэффициент пропорциональности равен 1/l^*₁), т.е.:

¶f / ¶x_j=(1/l^*₁)*q_j; j=1,2,…,n; (6-14)

отношение предельных производительностей ресурсов равно отношению их цен, т.е.:

(¶f / ¶x_j):( f/ x_i)=q_j/q_i; j,i=1,2,…,n; j¹i; (6-15)

отношение предельных производительностей ресурсов к их ценам равны между собой, т.е.:

(¶f / ¶x_j):q_j=1/l^*₁, j=1,2,…,n (6-16)

Полученные соотношения составляют основу теории предельной производительности факторов производства как теории стоимости, а именно: цены ресурсов пропорциональны предельным производительностям ресурсов, в частности для труда имеем, что он оценивается в соответствии со своей предельной производительностью.

Дадим интерпретацию множителя Лагранжа. Имеем:

dZ=q₁*dx₁+q₂*dx₂+…+q_n*dx_n .

В точке минимума q_j=(l^*₁)*( ¶f / ¶x_j), j=1,2,…,n, следовательно,

dZ=l^*₁(( ¶f / ¶x₁)*dx₁+( ¶f / ¶x₂)*dx₂+…+( ¶f /¶x_n)*dx_n)=(l^*₁)*dy. (6-17)

Отсюда:

l^*₁=dZ/dy, (6-18)

т.е. l^*₁ есть общие предельные издержки на единицу дополнительной продукции.

Рассмотрим некоторые типы функций затрат ресурсов и издержек.

Пусть задана линейная неоднородная функция затрат ресурсов

x_j=a_j*y+b_j, j=1,2,…,n, a_j>0, b_j>0, j=1,2,…,n.

Тогда функция издержек имеет вид:

C(y)=a*y+b,