Равновесие потребителя: максимизация полезности при заданном бюджетном ограничении.

Теория поведения потребителя основывается на допущении, что потребители максимизируют полезность в рамках бюджетного ограничения. Из главы 3 мы узнали, что для каждого потребителя можно определить функцию полезности, которая присваивает некоторый уровень полезности каждой рыночной потребительской корзине. Мы также видели, что предельная полезность товара определяется как изменение полезности, связанное с увеличением на одну единицу потребления данного товара. С точки зрения дифференциального исчисления, предельная полезность равна изменению полезности, возникающему в результате предельно малого увеличения потребления.

Предположим, например, что функция полезности Боба задается формулой U(X, Y) - log X + log У, где X — это количество продовольствия, а У — количество одежды.

В этом случае предельная полезность, связанная с потреблением X, является частной производной функции полезности относительно товара X. Таким образом, MUр означающая предельную полезность товара Ху равняется

dU(X,Y)_d(\ogX + \ogY)_ 1 ЭХ ЭХ X'

При дальнейшем анализе мы, как и в главе 3, будем предполагать, что хотя уровень полезности является возрастающей функцией от количества потребленного товара, предельная полезность уменьшается с ростом потребления. Для двух товаров X и Y проблему оптимизации для потребителя можно сформулировать так:

Максимизировать U(X, У) (А4.1)

с учетом ограничения, что весь доход расходуется на два товара:

PJ + PyY-I, (А4.2)

где U( ) является функцией полезности, X и Y — количества двух покупаемых товаров, РхиРу — это цены этих товаров, а / — это доход.

Для упрощения расчетов предположим, что функция полезности непрерывна (с непрерывными производными) и что товары бесконечно делимы.

Чтобы определить спрос отдельного потребителя на товар, мы выбираем те стоимости X и У, которые максимизируют (А4.1) при условии (А4.2). Если мы знаем конкретный вид функции полезности, мы можем непосредственно найти спрос на X и У Однако даже если мы запишем функцию полезности в ее общем виде 11(Ху У), то описать условия, которые должны выполняться, если потребитель максимизирует свою полезность, можно с помощью методики определения оптимума с учетом заданных ограничений.

Рассмотрим простейший случай, когда потребительский набор состоит только из двух благ, где x1 – количество первого блага (например, буханок хлеба), x2 – количество
второго блага (например, литров молока); потребление осуществляется в течение некоторого периода времени (например, месяца). Конечно, в реальной жизни никто из людей не потребляет в течение месяца только хлеб и молоко. Однако эта теоретическая абстракция поможет нам проиллюстрировать проблему потребительского выбора самым наглядным образом – на графике. В дальнейшем мы увидим, что результат, полученный для случая двух благ при помощи графического решения, окажется верным и для случая любого конечного числа благ.
x2

На рис. 2.1 представлены три кривые
безразличия, которые описывают
X
U3
t
предпочтения некоторого потребителя относительно первого и второго блага из товарного набора. В соответствии с нашей предпосылкой о том, что функция полезности потребителя является возрастающей, имеем: U1
К
Рис. 2.1.
20

предпочтительным для нашего потребителя. К сожалению, ни одна из комбинаций количеств первого и второго блага, принадлежащая кривой U3 -U3 , недоступна для потребителя, поскольку его скромный доход, отражённый на графике линией бюджетного ограничения (БО), не позволяет ему достичь уровня полезности U3 в данный момент времени. Зато доступными оказываются товарные наборы, отмеченные на рис. 2.1 точками Aи Bи принадлежащие кривой безразличия U1 -U1 . Но захочет ли потребитель купить один их этих наборов? Нет, если он ведёт себя рационально. Потому что при данном бюджетном ограничении наш потребитель может достичь и более высокого уровня полезности U3, если купит товарный набор (x1*, x2*), соответствующий точке С.
Заметим, что линия бюджетного ограничения не пересекает кривую безразличия U2 -U2 , а лишь касается её в точке С. Следовательно, товарные наборы на любой кривой безразличия, расположенной выше U2 -U2 , не могут быть куплены при существующем денежном доходе, и
потребление набора (x1* , x2* ) доставляет нашему потребителю максимально возможный уровень полезности при заданном бюджетном ограничении. Заметим также, что линия бюджетного ограничения, являясь касательной к кривой безразличия U2 -U2 в точке С, определяет предельную
норму замещения (MRS) второго товара первым в этой точке, поскольку MRSесть тангенс угла наклона касательной:
dx2
(2.1)MRS = –
dx1 U=const
Вспомните, что тангенс угла наклона самой бюджетной линии равен соотношению цен двух товаров и является постоянной величиной. Предельная норма замещения, напротив, изменяется по мере движения вдоль кривой безразличия (при наших предпосылках). Поэтому наклон бюджетной линии равен наклону кривой безразличия в единственной точке – точке оптимального выбора потребителя. Теперь мы можем сформулировать принцип максимизации полезности потребителем.
Для того, чтобы максимизировать полезность при заданном фиксируемом количестве расходуемых денег, индивид будет покупать такие количества товаров, которые полностью исчерпывают его доход и для которых норма замещения (MRS) равна норме обмена между двумя этими товарами на рынке (обратному соотношению цен этих товаров):
P
dx2
=
U=constP2
(2.2)–
Это правило касания бюджетной линии кривой безразличия является лишь необходимым, но не достаточным условием максимизации полезности. Достаточное условие связано с
21
dx1

определенной формой кривых безразличия, то есть с определённым свойством отношения
предпочтения. Если предполагается, что предельная норма замещения уменьшается по мере
движения вдоль кривой безразличия, или кривые безразличия являются строго выпуклыми
вниз, тогда касание бюджетной линии кривой безразличия будет и необходимым, и
достаточным условием максимизации полезности при заданном бюджетном ограничении.
Формализация задачи потребительского выбора.Результаты предыдущего анализа можно
обобщить для случая товарного набора, состоящего из n благ, где n - конечная величина. Для
построения данной модели используются предпосылки, которые были введены в анализ в главе 1.
Перечислим их.
Предположим, что отношение предпочтения обладает свойствами сравнимости, транзитивности, рефлексивности, непрерывности, строгой монотонности и строгой выпуклости. Представляющая это отношение предпочтения функция полезности является непрерывной, возрастающей, строго квази-вогнутой и дифференцируемой во всех точках. Потребитель может
потреблять только неотрицательные количества каждого блага: X= R+ N. Пусть бюджетное
множество является ограниченным, замкнутым, непустым и выпуклым.