Функции общественного благосостояния

Функции общественного благосостояниябывают двух видов:индивидуалистические и патерналистские.

Индивидуалистические Функции общественного благосостояния — это агрегирующие функции от индивидуальных функций полезности: W(u₁(х), ..., u_n(х)), позволяющие определенным способом ранжировать индивидуальные распределения, причем этот способ зависит только от индивидуальных предпочтений, и является возрастающей функцией полезности каждого участника, причем ∂W/∂U₁.>0, ∂W/∂U₂.>0

Функции Бергсона –Самуэльсона может быть использована для самых разных (даже противоположных) представлений о функции полезности.

Функции Бергсона –Самуэльсона исходит из зависимости общественного благосостояния от кардиналистской полезности, получаемой каждым членом общества. W_BS= W(U_1,U_2,… U_n.), где n- число членов общества, U_1,U_2,… U_n.- вид их кардиналистской полезности. Причем, если полезность одного из членов общества возрастает, а остальных не убывает, то значение функции должно возрастать. Функции Бергсона –Самуэльсона, имеющие этим свойством называют функциями Парето. Это значит, что рост благосостояния любого человека при неизменности благосостояния остальных, рассматривается как рост общественного благосостояния и, поэтому делается предположение о доброжелательном отношении к индивидам.

Предположим, что индивидов вполне могут интересовать только их собственные наборы. Тогда обозначим потребительский набор потребителя i через q_i и уровень полезности индивида i как (u_i(q_i),считая, что полезность имеет некое фиксированное представление.

Функция общественного благосостояния:W(u₁(q₁), ..., u_n(q_n)) выступает как функция уровней полезности потребителей и как функция потребительских наборов отдельных индивидов.

В соответствии с нашим предположением полезность каждого индивида зависит только от его собственного потребления, поэтому внешние эффекты, связанные с потреблением, отсутствуют. Поэтому считаем, что все конкурентные равновесия являются эффективными по Парето, и при предположениях о выпуклости, все распределения, эффективные по Парето, являются точками конкурентного равновесия. Справедливо и то, что все точки максимума благосостояния есть конкурентные равновесия, а все конкурентные равновесия есть точки максимума благосостояния для некоторой функции благосостояния.

9.5.2.1.Виды индивидуалистических функций общественного
благосостояния.

1. Функция имеет вид суммы индивидуальных функций полезности:

Такую функцию называют классической утилитаристской функцией общественного благосостояния. W(u₁, ..., u_n) = Σ u_i

i = 1

(Основателем данного направления считают Д.Бентама, поэтому классическую утилитаристскую функцию общественного благосостояния называют бентамианской).

Рис.9.16. Классическая утилитаристская функция общественного благосостояния

а). Функция Бентама W= U₁+U₂+… +U_n. является частным случаем функции Бергсона –Самуэльсона.

Общественная кривая безразличия (CIC) объединяет точки, в которых благосостояние общества одинаково. Для функции благосостояния Бентама CIC– прямые, с угловым коэффициентом –1.(9.16.)

При разных предположениях относительно функций полезности индивидов, утилитаристский подход может привести как к полному равенству (рис.9.17.а), так и к неравенству в распределении (индивид В получит большую полезность) (рис.9.17.б)

б). Обобщением функции данного вида является функция благосостояния, представляющая собой взвешенную сумму полезностей: W(u₁, u₂) = u₁+ u₂ , или в общем виде: _n

W(u₁, ..., u_n) = Σa u_i

i = 1

Пусть веса, а₁, ..., а_n >0 - числа, которые показывают, насколько важна полезность каждого человека для совокупного общественного благосостояния.

Современная модификация утилитаристской функции общественного благосостояния была предложена лауреатами Нобелевской премии Дж. Викри и Дж. Харшаньи. В ней была учтена неопределенность при анализе проблем распределения, поскольку никто точно не знает, что готовит ему будущее: бедность или богатство.

в). В этих условиях индивиды будут максимизировать функцию полезности фон Неймана-Моргенштерна:

W = Σ_iπ_i u_i ,

гдеu_i- полезность , которую можно получить , оказавшись на месте индивида i,

π- вероятность оказаться на месте индивида i.

При этом предполагается, что вероятности оказаться в определенном положении одинакова и известна всем членам общества.

Рис.9.17. Максимизация суммарной полезности при одинаковых (а) и при разных (б) функциях полезности членов общества.

2. Роулсианская функция общественного благосостояния: Позиция Роулза основывается на том, что все члены общества должны иметь равные права на основные свободы, и что общество должно осуществлять распределение, исходя из интересов наименее обеспеченных своих членов. Поэтому общественное благосостояние зависит от благосостояния индивида с самым низким уровнем благосостояния. W(u₁(х), ..., u_n(х))= min {u₁(х), ..., u_n(х)}.

Поскольку каждый человек может оказаться на месте наименее обеспеченных людей в силу разных причин, то общество должно заботиться о них: «прочность цепи определяется самым слабым ее звеном».

На рис.9.18 оптимум находится в точке R. Как видно, она не является точкой равного распределения.

3. Ницшианская функция полезности: Общественное благосостояние зависит от то количества богатых людей. Чем больше богатых, тем больше общественная полезность и т.д.

4.Максимаксная функция полезности.. Значение функции благосостояния совпадает с полезностью, которую получает «наиболее удовлетворенный» ,наиболее обеспеченный член общества W= max (U1U2…Un ). На рис. 9.19 точка М максимизирует благосостояние более богатого индивида В.

Рис. 9.18.Роулсианская функция общественного благосостояния

Рис. 9.19 Оптимум по максимальному критерию благосостояния.

Эгалитарные функции (Платон, Аристотель). Эгалитарная функция уже не является индивидуалистической и не предполагает доброжелательного отношения к индивидам. Согласно данному подходу любое избыточное богатство нежелательно и общество в целом должно стремиться к возможно более полному равенству.

Справедливо только равное распределение полезностей между членами общества. Любое распределение с равными полезностями предпочтительнее распределения с неравными полезностями. Это характеризует точка Е на рис. 9.18.

Вышеназванные функции благосостояния представляют собой способ сравнения индивидуальных функций полезности. Разные функции отражают различные позиции своих создателей относительно принципов социальной справедливости, представляют собой формализовано выраженные суждения по поводу сравнения уровней благосостояния потребителей.

Максимизация благосостояния

Рассмотрим задачу максимизации благосостояния. Сделаем допущения, что функция общественного благосостояния должна возрастать сростом полезности каждого потребителя. Обозначим q_i^j количество товара j, котороеимеет индивид i, и предположим, что существует п потребителей и mтоваров. Представим распределение х как перечень количеств каждого из товаров, которые имеются у каждого из потребителей.

Пусть между потребителями следует распределить общее количество Q¹,..., Q^k товаров 1, ..., m

Сформулируем задачу максимизации благосостояния: max W(u₁(х), ..., u_n(х))

при Σ х=Q_i i = 1 Σ х_i = Q*.

Рис.9.20. Максимизация благосостояния

Необходимо определить какими свойствами должно обладать распределение, которое бы максимизировало бы общественное благосостояние.

Во-первых, оно должно быть эффективным по Парето. (рис.9.17).

На рис.9.17, представлено множество возможных полезностей U для случая двух потребителей. Граница данного множества представляет собой множество уровней полезности, характеризующих распределения, эффективные по Парето. Поэтому, если распределение находится на границе множества, то не существует распределений, которые принесут обоим потребителям большую полезность.

На рис.9.17 кривые безразличия являются кривыми равного благосостояния, так как они характеризуют распределения полезности, дающие постоянный уровень благосостояния (W₁,W₂,W₃). Оптимум достигается в точке максимального благосостояния Е, которая является точкой касания кривой равного благосостояния и границы множества возможных полезностей (точка Е является эффективной по Парето).

Во-вторых, любое распределение, эффективное по Парето должно быть точкой максимума благосостояния для некой функции благосостояния.

Итак, функция благосостояния позволяет найти способ выделить распределения эффективные по Парето: каждая точка максимума благосостояния есть распределение, эффективное по Парето, и каждое распределение, эффективное по Парето, есть точка максимума благосостояния.

Справедливые распределения

.Что есть справедливость? Какие этические суждения можно считать разумными? Вопросы, на которые ответ найти невероятно трудно.

Допустим, что удалось определить справедливый способ разделения товарного набора между экономическими индивидами.

Предположим, предоставлено определенное количество товаров, для его справедливого разделения между п людьми, которые в равной степени это заслужили.

Можно было бы разделить эти товары поровну между п потребителями.

Потребители получат одинаковые товарные наборы и никто не будет претендовать на такой же набор другого, поскольку у всех уже такой набор есть.

Но равное распределение не обязательно является эффективным по Парето. Если предположить, что вкусы индивидов отличаются, то после такого разделения они, скорее всего, станут между собой обмениваться.

Предположим, что такой обмен состоится, и в его результате мы получим распределение, эффективное по Парето.

Но будет ли это распределение, эффективное по Парето, по-прежнему справедливым (вопрос о том, что понимать под справедливостью, мы оставляем открытым)? Останется ли после обмена, который произошел после первоначально равного распределения благ, что-то от симметрии точки начального распределения?

Для ответа на этот вопрос рассмотрим следующую ситуацию. Пусть есть трое потребителей Х,Y,Z. Предпочтения потребителя Х и потребителя Y одинаковы и отличаются от предпочтений потребителя Z.

Начнем движение из точки равного начального распределения благ. Предположим, что Х и Z станут между собой обмениваться. В результате обмена благосостояние этих потребителей должно увеличиться.

Потребитель Y, который не смог обменяться с потребителем Z, завидует новому набору потребителя Х.

Новый набор, который теперь имеет потребитель Х, очень нравится потребителю Y и он не прочь получить его, взамен своего первоначального набора.

Поскольку обмен для потребителя Х и потребителя Y начинался при равном распределении, потребитель Х оказался более успешным (предприимчивым) в обмене, что изменило равенство первоначального распределения.

Таким образом, результатом произвольного обмена, который был совершен после исходного распределения, не обязательно останется симметрия первоначального равного распределения.

Но существует ли вообще такое распределение, при котором данная симметрия сохраняется и существует ли способ организовать распределение, которое было бы одновременно и эффективным по Парето, и равноправным?

Зависть и справедливость

Будем считать, что распределение является равноправным, если ни один из потребителей не предпочитает товарный набор другого потребителя своему собственному.

Если какой-либо потребитель i предпочитает своему собственному набору товарный набор какого-то другого потребителя j, то говорят, что i завидует j.

Если распределение является одновременно равноправным и эффективным по Парето, то говорят, что это справедливое распределение.

Свойством, что ни один из потребителей не завидует какому-либо другому, обладают и многие другие из имеющихся распределений.( 9.16).

Рис. 9.21Справедливое распределение в ящике Эджуорта.

Чтобы определить, является ли какое-либо распределение равноправным, следует посмотреть на то распределение, к которому приводит обмен наборами между потребителями. Если распределение, полученное в результате обмена, лежит между двумя кривыми безразличия, то первоначальное распределение является равноправным. Распределение в точке Е эффективно по Парето и является справедливы (рис. 9.18).

Остается вопрос: случайно ли справедливое распределение или является закономерным?

Каждый потребитель предпочитает справедливое распределение распределению, полученному в результате обмена индивидов первоначальными наборами. Оказывается, справедливые распределения, как правило, существуют. Таким справедливым распределением является распределение, полученное в результате достижения конкурентного равновесие, к которому приходят потребители в результате обмена, начатого из точки равного разделения благ.

Таким образом, конкурентный рыночный механизм сохраняет некоторые виды справедливости: если первоначальное распределение представляет собой разделение товаров поровну, то конечное распределение должно быть справедливым.