Случайной величины, имеющее максимальную частоту.
3. Для каждого значения х определяем условные варианты
.
4. Вычисляем условные моменты:
; 
; 
; 
.
5. Искомые значения рассчитываются по формулам:
;
;
;
.
Из группированного статистического ряда (см задачу 1) заключаем, что
=1.
Так как максимальной частоте ряда 28 соответствует значение случайной величины 21,5 (см. группированный статистический ряд, задача 1), то
=21,5.
Отсюда, условный вариант
.
Нахождение условных моментов удобно производить в таблице:
 |  |  |  |  |  |  |
| 18,5 | -3 | -9 | -81 | |||
| 19,5 | -2 | -22 | -88 | |||
| 20,5 | -1 | -27 | -27 | |||
| 21,5 | ||||||
| 22,5 | ||||||
| 23,5 | ||||||
| 24,5 | ||||||
| 25,5 | ||||||
 | - | -4 |
Тогда, условные варианты соответственно равны:
; 
; 
; 
.
Итак, требуемые величины соответственно равны:
;
; 
;
.
Задача 6. Для выборки из задачи 1 с вероятностью γ = 0,95 определить границы интервала, в котором заключено математическое ожидание а (генеральная средняя или среднее значение генеральной совокупности) и сделать соответствующие выводы. Задачу решить в предположении а) повторного, б) бесповторного отбора из генеральной совокупности объема
N = 1500.
С доверительной вероятностью γ утверждается, что математическое ожидание а принадлежит интервалу:
,
где 
- выборочная средняя (среднее значение признака, рассчитанное по выборке),δ – предельная ошибка, равная
,
причем t – постоянная величина, значение которой определяется в зависимости от γ, в частности
t = 3, если γ=0,99,
t = 2, если γ=0,95,
t = 1, если γ=0,63,
μ – средняя ошибка выборки, равная
- если отбор случайный – повторный,
- если отбор случайный – бесповторный.
Имеем (см. задачу 4):
, 
,n = 100, N = 1500, t = 2.
Средняя ошибка выборки равна:
,
,
Если отбор повторный или бесповторный соответственно. Тогда, в зависимости от типа отбора, предельная ошибка выборки равна:
или 
.
Получаем: нижняя граница доверительного интервала:
;
верхняя граница доверительного интервала:
.
Итак, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что средний диаметр
детали, изготавливаемой предприятием находится в пределах от 21,1582 до
21,7618 мм (если выборка организована методом случайного повторного
отбора) и от 21,1684 до 21,7516 мм (если выборка случайная, бесповторная).
Задача 7. Для выборки из задачи 1 с вероятностью γ = 0,99 определить
границы интервала, в котором заключена генеральная доля признака р –
диаметр детали, находящийся в пределах от 20 до 23 мм включительно и
сделать соответствующие выводы. Задачу решить в предположении
бесповторного отбора из генеральной совокупности объема N = 2000.
С доверительной вероятностью γутверждается, что математическое ожидание р принадлежит интервалу:
,
где 
- выборочная доля (m– количество элементов выборочной совокупности, обладающих интересующим нас признаком, n – объем выборочной совокупности), 
– предельная ошибка доли, равная
,
причем t – постоянная величина, значение которой определяется в зависимости от γ также, как и в задаче 6, 
– средняя ошибка доли, равная
- если отбор случайный – повторный,
- если отбор случайный – бесповторный.
В выборке интересующий нас диаметр детали (от 20 до 23 мм) принадлежит интервалам (см. задачу 1) (20;21), (21;22) и (22;23), частоты которых соответственно равны 27, 28 и 19. Следовательно, выборочная доля
.
Согласно условию задачи находим предельную ошибку доли:
.
Имеем: нижняя граница доверительного интервала:
;
верхняя граница доверительного интервала:
.
Итак, с вероятностью 0,99 утверждается, что среди 2000 деталей доля деталей диаметра от 20 до 23 мм находится в пределах от 0,6117 до 0,8683 (от 61,17% до 86,83%).
 |
Для заметок