Разложение функции в степенной ряд
Числовые ряды. Основные понятия
№ п/п | Понятие | Определение и обозначение | ||
1. | Ряд | |||
2. | Члены ряда, общий ( n – ый ) член ряда | - бесконечная числовая последовательность, где | ||
3. | Частичные суммы ряда | |||
4. | Последовательность частичных сумм | |||
5. | Сходящиеся ряды | , где – сумма ряда | ||
6. | Расходящиеся ряды | |||
7. | Остаток ряда | |||
Основные свойства сходящихся рядов | ||||
сходится | - сходится | |||
сходится, – его сумма | сходится, - его сумма | |||
сходится, – его сумма | - сходится | |||
сходится, – его сумма | - его сумма | |||
Необходимый признак сходимости ряда | ||||
- сходится | ||||
Замечание: | - расходится | |||
Числовые ряды с положительными членами
Определение - действительные числа | ||||||||
Некоторые ряды и их поведение | Гармонический ряд расходится | |||||||
Обобщенный гармонический ряд при | ||||||||
Ряд геометрический | при | |||||||
В частности при ряды | расходится | |||||||
Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами | ||||||||
Признаки сравнения | Интегральный признак Коши | Признак Даламбера | Признак Коши | |||||
(1) (2) | , : непрерывная, положительная, невозрастающая Замечание: | |||||||
1. где , (при ~ ) | Þ | и одновременно сходятся или расходятся | а) - сход. б) - расход. | а) - сход. б) - расход. | ||||
2. а) сход. | Þ | сход | Замечание: 1. Если , то признак Даламбера и Коши не дают ответа о поведении ряда. 2. Признак Даламбера иногда используется без предельного перехода: сход., расход. | |||||
б) расход. | Þ | расход. | ||||||
Замечание: В качестве рядов для сравнения удобно выбирать ряды и | ||||||||
Знакопеременные числовые ряды
Определение | , - действительные числа произвольного признака В частности, , - знакочередующийся ряд | |||
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов | 1. и сходятся - абсолютно сходится 2. сходится, а расходится - условно сходится | |||
Достаточные признаки сходимости знакопеременных рядов | ||||
Признак абсолютной сходимости | Признак Лейбница | |||
- знакопеременный сходится абсолютно сходится | 1) | сходится | ||
2) | Þ | |||
3) | ||||
Замечание: 1. В сходящемся знакочередующемся ряде сумма S может быть заменена . Получаемая погрешность 2. Убывание модулей членов знакопеременного ряда можно доказать с помощью производной. Если с некоторого номера, то члены ряда убывают с этого номера. 3. Если расходимость ряда установлена признаком Даламбера или признаком Коши, то и ряд расходится, т. к. если или , то . | ||||
Алгоритм исследования знакопеременного ряда на сходимость. | ||||
1. Составить ряд из абсолютных членов данного ряда и исследовать его сходимость. 2. а) сходится абсолютно сходится; б) расходится 3 исследуй 3. Проверить условия признака Лейбница Если 1) члены чередуются по знаку; 2) 3) то 1) сходится по признаку Лейбница 2) условно сходится, т. к. расходится | ||||
Функциональные ряды. Основные понятия
Понятие | Определение и обозначение | ||||
1. Функциональный ряд | |||||
2. Члены ряда | - функции от | ||||
3. Сходимость ряда в точке | сходится сходится в т. расходится расходится в т. | ||||
4. Область сходимости ряда | сходится - область сходимости; - находится: или , | ||||
5. Последовательность частичных сумм | , где , | ||||
6. Сумма сходящегося ряда | - сумма ряда | ||||
7. Остаток ряда | |||||
8. Равномерная сходимость ряда на | и | ||||
9. Абсолютная и равномерная сходимость ряда (признак Вейерштрасса) | 1. и 2. числовой ряд - сходится | Þ | - сходится абсолютно и равномерно на | ||
Свойства равномерно сходящихся рядов | |||||
1. - равномерно сходится на 2. - непрерывна и 3. - его сумма | Þ | 1. - непрерывна на 2. , где (почленное интегрирование) 3. - равномерно сходится на , где | |||
1. - сходится на , - его сумма 2. - дифференцируемые и 3. - непрерывны и 4. - равномерно сходится на | Þ | 1. - равномерно сходится на 2. (почленное дифференцирование) | |||
Степенные ряды
Определение и обозначение | (1) |
(2) , где - постоянные коэффициенты | |
Радиус сходимости. Основная теорема | Для рядов (1) и (2) число , обладающие свойствами, - радиус сходимости |
1) при | |
2) при | |
Свойства степенных рядов | 1. , - непрерывна 2. - сходится 3. - сходится |
Алгоритм определения интервала сходимости | 1.Найти или 2.Решить неравенство , получить интервал сходности 3.Исследовать сходимость ряда на концах полученного интервала |
Разложение функции в степенной ряд
Ряд Тейлора (по степеням ) | |
Ряд Маклорена (по степеням ) | |
Алгоритм разложения функции в степенной ряд. | 1. Найти все производные в точке : 2. записать ряд Тейлора для : 3. Найти интервал сходимости полученного ряда 4. Найти , где - остаточный член формулы Тейлора 5. Если |
Таблица разложений некоторых функций в степенные ряды