Алгоритм численного решения задачи

Со свободным правым концом

Пусть требуется найти управление , обеспечивающее минимум функционалу

(3.11)

и удовлетворяющее системе дифференциальных уравнений

, (3.12)

c начальными условиями

. (3.13)

Кроме того управление должно удовлетворять ограничениям

, (3.14)

где , , .

Алгоритм решения задачи следующий.

1. Составляетсяфункция H

, (3.15)

где – правая часть j-го дифференциального уравнения (3.12), разрешенного относительно первой производной , – сопряженные функций, , .

2. Определяется система сопряженных уравнений

, (3.16)

с конечными условиями .

3. Заданный интервал времени разбивается на Sчастей с шагом .

4. Область изменения управления разбивается на L частей с шагом .

5. Решение задачи условимся вести от начала интервала . Поэтому в начале интервалазадаются начальные условия для интегрирования сопряженных систем уравнений (3.16), полученных в п. 2, , .

6. В начале интервала интегрирования по известным , вычисляется значение функции Н при каждом значении управления u из области , начиная с до c шагом .

7. Из рассчитанного массива значений функции Н выбирается максимальное и определяется соответствующее оптимальное управление .

8. На основе и , рассчитывается для следующего момента времени оптимальная фазовая траектория изначения сопряженных функций .

9. Используя рассчитанные , в исходной (3.12) и сопряженной (3.16) системах уравнений для момента времени вычисляется функция для каждого управления uиз области также, как это описанов п. 6 для точки .

10. Процедура расчета повторяется, начиная с п. 6 при каждом новом значении до тех пор, пока небудет рассчитано управление навсем интервале времени от до .

11. В конце интервала интегрирования необходимо проверить выполнение конечных условий для функций : . Если расчетное значение , то начальные значения заданы неверно. Требуется изменить начальные значения так, чтобы конечные были равны заданным с допустимой погрешностью . При каждом новом значении процедура расчета повторяется, начиная с п. 5.

Для определения начальных значений предлагается использовать метод сканирования.

При использовании данного метода необходимо задать область значений начальных условий для интегрирования сопряженных систем уравнений и определить величину рабочего шага поиска

.

Критерием окончания поиска может служить условие

,

где – заданная погрешность расчета. Если в результате поиска не найдено значение , обеспечивающее выполнение условия окончания поиска, то следует пересмотреть границы области либо изменить величину рабочего шага .