Быстрая сортировка хоара

Метод быстрой сортировки был впервые описан Ч.А.Р. Хоаром в 1962 году. Быстрая сортировка – это общее название ряда алгоритмов, которые отражают различные подходы к получению критичного параметра, влияющего на производительность метода.

При общем рассмотрении алгоритма быстрой сортировки, отметим, что этот метод основывается на последовательном разделении сортируемого набора данных на блоки меньшего размера таким образом, что между значениями разных блоков обеспечивается отношение упорядоченности (для любой пары блоков все значения одного из этих блоков не превышают значений другого блока).

Опорным (ведущим) элементом называется некоторый элемент массива, который выбирается определенный образом. С точки зрения корректности алгоритма выбор опорного элемента безразличен. С точки зрения повышения эффективности алгоритма выбираться должна медиана, но без дополнительных сведений о сортируемых данных ее обычно невозможно получить. Необходимо выбирать постоянно один и тот же элемент (например, средний или последний по положению) или выбирать элемент со случайно выбранным индексом.

Алгоритм быстрой сортировки Хоара

Пусть дан массив x[n] размерности n.

Шаг 1. Выбирается опорный элемент массива.

Шаг 2. Массив разбивается на два – левый и правый – относительно опорного элемента. Реорганизуем массив таким образом, чтобы все элементы, меньшие опорного элемента, оказались слева от него, а все элементы, большие опорного – справа от него.

Шаг 3. Далее повторяется шаг 2 для каждого из двух вновь образованных массивов. Каждый раз при повторении преобразования очередная часть массива разбивается на два меньших и т. д., пока не получится массив из двух элементов.

Быстрая сортировка стала популярной прежде всего потому, что ее нетрудно реализовать, она хорошо работает на различных видах входных данных и во многих случаях требует меньше затрат ресурсов по сравнению с другими методами сортировки.

Выберем в качестве опорного элемент, расположенный на средней позиции.

Эффективность быстрой сортировки в значительной степени определяется правильностью выбора опорных (ведущих) элементов при формировании блоков. В худшем случае трудоемкость метода имеет ту же сложность, что и пузырьковая сортировка, то есть порядка O(n²). При оптимальном выборе ведущих элементов, когда разделение каждого блока происходит на равные по размеру части, трудоемкость алгоритма совпадает с быстродействием наиболее эффективных способов сортировки, то есть порядка O(n log n). В среднем случае количество операций, выполняемых алгоритмом быстрой сортировки, определяется выражением T(n) = O(1.4n log n)

Быстрая сортировка является наиболее эффективным алгоритмом из всех известных методов сортировки, но все усовершенствованные методы имеют один общий недостаток – невысокую скорость работы при малых значениях n.

Рекурсивная реализация быстрой сортировки позволяет устранить этот недостаток путем включения прямого метода сортировки для частей массива с небольшим количеством элементов. Анализ вычислительной сложности таких алгоритмов показывает, что если подмассив имеет девять или менее элементов, то целесообразно использовать прямой метод (сортировку простыми вставками).

Сортировка слиянием

Алгоритм сортировки слиянием был изобретен Джоном фон Нейманом в 1945 году. Он является одним из самых быстрых способов сортировки.

Слияние – это объединение двух или более упорядоченных массивов в один упорядоченный.

Сортировка слиянием является одним из самых простых алгоритмов сортировки (среди быстрых алгоритмов). Особенностью этого алгоритма является то, что он работает с элементами массива преимущественно последовательно, благодаря чему именно этот алгоритм используется при сортировке в системах с различными аппаратными ограничениями (например, при сортировке данных на жестком диске). Кроме того, сортировка слиянием является алгоритмом, который может быть эффективно использован для сортировки таких структур данных, как связанные списки.

Данный алгоритм применяется тогда, когда есть возможность использовать для хранения промежуточных результатов память, сравнимую с размером исходного массива. Он построен на принципе "разделяй и властвуй". Сначала задача разбивается на несколько подзадач меньшего размера. Затем эти задачи решаются с помощью рекурсивного вызова или непосредственно, если их размер достаточно мал. Далее их решения комбинируются, и получается решение исходной задачи.

Процедура слияния требует два отсортированных массива. Заметим, что массив из одного элемента по определению является отсортированным.

Алгоритм сортировки слиянием

Шаг 1. Разбить имеющиеся элементы массива на пары и осуществить слияние элементов каждой пары, получив отсортированные цепочки длины 2 (кроме, быть может, одного элемента, для которого не нашлось пары).

Шаг 2. Разбить имеющиеся отсортированные цепочки на пары, и осуществить слияние цепочек каждой пары.

Шаг 3. Если число отсортированных цепочек больше единицы, перейти к шагу 2.

Недостаток алгоритма заключается в том, что он требует дополнительную память размером порядка n (для хранения вспомогательного массива). Кроме того, он не гарантирует сохранение порядка элементов с одинаковыми значениями. Но его временная сложность всегда пропорциональна O(n log n).

Ключевые термины

Алгоритм сортировки – это алгоритм для упорядочения некоторого множества элементов.

Бинарная пирамидальная сортировка – это алгоритм внутренней сортировки, основанный на построении пирамиды и просеивании элементов из ее вершины методом спуска вниз в соответствии с ключом сортировки.

Быстрая сортировка – это общее название ряда алгоритмов, которые отражают различные подходы к получению критичного параметра, влияющего на производительность метода.

Внешняя сортировка – это алгоритм сортировки, который при проведении упорядочивания данных использует внешнюю память, как правило, жесткие диски.

Внутренняя сортировка – это алгоритм сортировки, который в процессе упорядочивания данных использует только оперативную память (ОЗУ) компьютера.

Время сортировки – основной параметр трудоемкости алгоритма, характеризующий быстродействие алгоритма сортировки.

Естественность поведения – это один из параметров трудоемкости алгоритма, которой указывает на эффективность метода при обработке уже отсортированных, или частично отсортированных данных.

Ключ сортировки – это атрибут (или несколько атрибутов), по значению которого определяется порядок элементов во множестве.

Опорный (ведущий) элемент – это некоторый элемент массива, который выбирается определенный образом, и относительно которого происходит сравнение и перемещение элементов между подмножествами массива.

Память – один из параметров трудоемкости алгоритма, который характеризует размер выделяемой дополнительной памяти под временное хранение данных.

Пирамида (сортирующее дерево, двоичная куча) – это двоичное дерево с упорядоченными листьями, в корне которого расположен максимальный или минимальный элемент.

Просеивание – это построение новой пирамиды посредством спуска вниз элемента из вершины дерева в соответствии с ключом сортировки

Слияние – это объединение двух или более упорядоченных массивов в один упорядоченный.

Сортировка слиянием – это одна из разновидностей алгоритмов быстрых сортировок, основанная на слиянии подмножеств массива.

Сортировка Хоара – это одна из разновидностей быстрых сортировок, основанная на упорядочивании подмножеств массива относительно опорных элементов.

Сортировка Шелла – это алгоритм внутренней сортировки, основанный на сравнении и перемещении пар значений, расположенных сначала достаточно далеко друг от друга в упорядочиваемом наборе данных, с дальнейшим сокращением расстояний между ними.

Устойчивость – это один из параметров трудоемкости алгоритма, который характеризует то, что сортировка не меняет взаимного расположения равных элементов.

Краткие итоги

1. Сортировка является одной из фундаментальных алгоритмических задач программирования.

2. Практически каждый алгоритм сортировки можно разбить на 3 части: сравнение, определяющее упорядоченность пары элементов; перестановку, меняющую местами пару элементов; собственно сортирующий алгоритм, который осуществляет сравнение и перестановку элементов до тех пор, пока все элементы множества не будут упорядочены.

3. Для оценки трудоемкости алгоритмов сортировки используются параметры: время сортировки, дополнительная память, устойчивость и естественность поведения

4. По сфере применения алгоритмы сортировок классифицируются на алгоритмы внутренних и внешних сортировок.

5. Бинарная пирамидальная сортировка является алгоритмом внутренней сортировки, основанном на построении пирамиды и просеивании элементов из ее вершины методом спуска вниз в соответствии с ключом сортировки

6. Пирамидальная сортировка не использует дополнительной памяти. Метод не является устойчивым. Поведение неестественно. Данная сортировка на почти отсортированных массивах работает также долго, выигрыш ее получается только на больших n.

7. Сортировка Шелла является алгоритмом внутренней сортировки, основанном на сравнении и перемещении пар значений, расположенных сначала достаточно далеко друг от друга в упорядочиваемом наборе данных, с дальнейшим сокращением расстояний между ними.

8. Сортировка Шелла является неустойчивой сортировкой по месту. Эффективность метода Шелла объясняется тем, что сдвигаемые элементы быстро попадают на нужные места.

9. Сортировка Хоара является одной из разновидностей быстрых сортировок, основанная на упорядочивании подмножеств массива относительно опорных элементов.

10. Эффективность быстрой сортировки в значительной степени определяется правильностью выбора опорных элементов при формировании блоков.

11. Сортировка слиянием является одним из самых простых алгоритмов сортировки среди быстрых алгоритмов, который может быть эффективно использован для сортировки связанных списков.

12. Недостаток алгоритма сортировки слиянием заключается в том, что он требует дополнительную память размером порядка n, не гарантирует сохранение порядка элементов с одинаковыми значениями. Его временная сложность всегда пропорциональна O(n log n).

13. Быстрая сортировка является наиболее эффективным алгоритмом из всех известных методов сортировки, но все усовершенствованные методы имеют один общий недостаток – невысокую скорость работы при малых значениях n.

Внешняя сортировка

Внешняя сортировка – это сортировка данных, которые расположены на внешних устройствах и не вмещающихся в оперативную память.

Данные, хранящиеся на внешних устройствах, имеют большой объем, что не позволяет их целиком переместить в оперативную память, отсортировать с использованием одного из алгоритмов внутренней сортировки, а затем вернуть их на внешнее устройство. В этом случае осуществлялось бы минимальное количество проходов через файл, то есть было бы однократное чтение и однократная запись данных. Однако на практике приходится осуществлять чтение, обработку и запись данных в файл по блокам, размер которых зависит от операционной системы и имеющегося объема оперативной памяти, что приводит к увеличению числа проходов через файл и заметному снижению скорости сортировки.

К наиболее известным алгоритмам внешних сортировок относятся:

• сортировки слиянием (простое слияние и естественное слияние);
• улучшенные сортировки (многофазная сортировка и каскадная сортировка).

Из представленных внешних сортировок наиболее важным является метод сортировки с помощью слияния. Прежде чем описывать алгоритм сортировки слиянием введем несколько определений.

Основным понятием при использовании внешней сортировки является понятие серии. Серия (упорядоченный отрезок) – это последовательность элементов, которая упорядочена по ключу.

Количество элементов в серии называется длиной серии. Серия, состоящая из одного элемента, упорядочена всегда. Последняя серия может иметь длину меньшую, чем остальные серии файлов. Максимальное количество серий в файле N (все элементы не упорядочены). Минимальное количество серий одна (все элементы упорядочены).

В основе большинства методов внешних сортировок лежит процедура слияния и процедура распределения. Слияние – это процесс объединения двух (или более) упорядоченных серий в одну упорядоченную последовательность при помощи циклического выбора элементов, доступных в данный момент. Распределение – это процесс разделения упорядоченных серий на два и несколько вспомогательных файла.

Фаза – это действия по однократной обработке всей последовательности элементов. Двухфазная сортировка – это сортировка, в которой отдельно реализуется две фазы: распределение и слияние. Однофазная сортировка – это сортировка, в которой объединены фазы распределения и слияния в одну.

Двухпутевым слиянием называется сортировка, в которой данные распределяются на два вспомогательных файла. Многопутевым слиянием называется сортировка, в которой данные распределяются на N (N > 2) вспомогательных файлов.

Общий алгоритм сортировки слиянием

Сначала серии распределяются на два или более вспомогательных файлов. Данное распределение идет поочередно: первая серия записывается в первый вспомогательный файл, вторая – во второй и так далее до последнего вспомогательного файла. Затем опять запись серии начинается в первый вспомогательный файл. После распределения всех серий, они объединяются в более длинные упорядоченные отрезки, то есть из каждого вспомогательного файла берется по одной серии, которые сливаются. Если в каком-то файле серия заканчивается, то переход к следующей серии не осуществляется. В зависимости от вида сортировки сформированная более длинная упорядоченная серия записывается либо в исходный файл, либо в один из вспомогательных файлов. После того как все серии из всех вспомогательных файлов объединены в новые серии, потом опять начинается их распределение. И так до тех пор, пока все данные не будут отсортированы.

Выделим основные характеристики сортировки слиянием:

• количество фаз в реализации сортировки;
• количество вспомогательных файлов, на которые распределяются серии.

Рассмотрим основные и наиболее важные алгоритмы внешних сортировок более подробно.