Расчет режима сложных электроэнергетических сетей

Задача расчета режима сложной электрической сети требует определения токов ветвей и напряжения узлов многоконтурной схемы замещения.

Современные электрические сети имеют схемы замещения, содержащие сотни узлов, ветвей и контуров, что делает невозможным расчет вручную и актуализирует применение ЭВМ. Применение ЭВМ требует таких методов формулировки задачи, которые легко могли бы быть переведены на машинный язык. Для того чтобы программа носила универсальный характер и могла вести расчет с сетью произвольной конфигурации, необходимо в единой системе вводить в расчет как характеристики элементов схемы замещения, так и топологию их связей.

Это стало возможным с применением матричной алгебры и теории графов, поэтому современные методы аналитических расчетов режимов сложных электрических сетей используют символику и правила этих математических дисциплин.

Применение ЭВМ необходимо для решения следующих задач электроэнергетике:

· Расчет установившихся режимов сложной энергосистемы,

· Оптимизация режима энергосистемы,

· Прогнозирование нагрузки энергосистемы,

· Проверка статической и динамической устойчивости энергосистемы.

Параметры схем замещения элементов электроэнергетических систем (ЭЭС)

1. Линии электропередачи (ЛЭП)

Схема замещения ЛЭП при напряжении меньше 330 кВ, когда активной проводимость на землю g_л, См, можно пренебречь, приведена на рис.1.

Рис.1. Схема замещения ЛЭП

Здесь r – активное сопротивление линии, Ом,

x – реактивное сопротивление линии, Ом,

Q_C – реактивная мощность, вар, генерируемая линией и определяемая по формуле

,

где U_ф – фазное напряжение, кВ,

b_л – емкостная проводимость на землю, См.

Активная проводимость на землю обусловлена потерями на корону и утечками тока через изоляторы, емкостная – наличием емкости, как между фазами, так и между фазами и землей.

Таким образом, база данных должна содержать следующие параметры линии: ,

где N_н – номер узла присоединения начала линии,

N_к – номер узла присоединения конца линии.

2. Трансформаторы

Г-образная схема замещения двухобмоточного трансформатора изображена на рис. 2.

Здесь r – активное сопротивление обмоток, Ом,

x – реактивное сопротивление обмоток, Ом,

g – активная проводимость, соответствующая потерям в стали магнитопровода вследствие действия токов намагничивания См,

b – индуктивная проводимость, соответствующая потерям вызванным взаимоиндукцией обмоток, См.

Рис.2. Схема замещения трансформатора

Таким образом, база данных должна содержать следующие параметры трансформатора: ,

где N_в – номер узла присоединения обмотки высшего напряжения,

N_н – номер узла присоединения обмотки низшего напряжения.

r и x в совокупности представляют продольную часть схемы замещения трансформатора, g и b – поперечную.

3. Автотрансформатор

Схема замещения автотрансформатора приведена на рис. 3.

Рис. 3. Схема замещения автотрансформатора

Продольная часть схемы замещения имеет трехлучевую форму (в соответствии с числом ступеней напряжения) и включает среднюю точку – узел соединения ветвей, соответствующих обмоткам высшего, среднего и низшего напряжений.

Здесь r_в – активное сопротивление обмоток высшего напряжения, Ом,

x_в – реактивное сопротивление обмоток высшего напряжения, Ом,

r_с – активное сопротивление обмоток среднего напряжения, Ом,

x_с – реактивное сопротивление обмоток среднего напряжения, Ом,

r_н – активное сопротивление обмоток низшего напряжения, Ом,

x_н – реактивное сопротивление обмоток низшего напряжения, Ом,

Таким образом, база данных должна содержать следующие параметры автотрансформатора

,

где N_в – номер узла присоединения обмотки высшего напряжения,

N_ст – номер узла, соответствующего средней точке трехлучевой схемы замещения,

N_в – номер узла присоединения обмотки среднего напряжения,

N_н – номер узла присоединения обмотки низшего напряжения.

Способы задания нагрузки

Задание нагрузки возможно следующими способами, выбор которых зависит от ступени напряжения и режима работы энергосистемы.

1. Задание нагрузки постоянным по модулю и по фазе током.

U

Нагрузка задает постоянным током при расчете установившихся режимов распределительных сетей при .

Установившийся режим при таком способе задания нагрузки описывается системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

,

где

- квадратная матрица собственных и взаимных проводимостей;

- столбец искомых узловых напряжений;

- известные токи нагрузки.

2. Задание нагрузки постоянной мощностью.

Нагрузка задается постоянной мощностью при расчете установившихся режимов питающих сетей при .

Установившийся режим описывается системой нелинейных алгебраических уравнений, вследствие наличия в правых частях уравнений токов нагрузок, нелинейно зависящих от напряжения:

где – сопряженный комплекс мощности нагрузки,

U^* – сопряженный комплекс напряжения.

Система нелинейных алгебраических уравнений в матричной форме при этом имеет следующий вид:

.

Причина, по которой задание нагрузки источником постоянного тока невозможна для питающих сетей, показана на рис. 4.

Если на стороне 35 кВ регулирование напряжения ведется как в центре питания (трансформатор с регулированием под нагрузкой), так и непосредственно в узлах присоединения потребителей (источники реактивной мощности) и, следовательно, напряжение в узлах 1, 2, 3 может быть постоянной величиной, откуда следует и постоянство тока нагрузки

,

то для стороны 110-220 кВ напряжение может существенно отличаться от номинального и задание нагрузки источником постоянного тока привело бы к слишком большим погрешностям в расчете. Поэтому для данных ступеней напряжения нагрузка в узлах задается источником постоянной мощности, а ток нагрузки при этом нелинейно зависит от напряжения.

Sн=const

Рис. 4. Схема энергосистемы с двумя ступенями напряжения

3) Задание нагрузки постоянным сопротивлением или проводимость

используется при расчете переходных процессов

.

4) Задание нагрузки статическими характеристиками по напряжению (СХН) наиболее полно отражает свойства нагрузки, но существенно усложняет расчет. Данный способ используется при расчете послеаварийных режимов, когда напряжение существенно отличается от номинального

.

Рис. 5. Зависимости и

5) Задание нагрузки источником случайного тока

	U

,

где g – случайная величина.

Данный способ используется при описании сетей с преобладанием электротяговой нагрузки (например, электровоз – нагрузка, величина и точка подключения которой постоянно меняются во времени).

Определение токораспределения в ветвях многоконтурной схемы замещения электрической сети

Установившийся режим распределительных сетей с описывается системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

При этом (см. рис. 6) нагрузка представляется как источник задающего тока, который равен по модулю и противоположен по знаку току i-го узла (току нагрузки). То есть для каждого i-го узла верно

I_iу = – J_i.

Рис. 6. Алгоритм расчета режима сетей

Считается, что токораспределение в ветвях сети, есть результат действия источников задающих токов, включенных в местах присоединения нагрузок.

В совокупности токи описываются столбцами. Матрица узловых токов имеет вид

,

матрица задающих токов

,

где n – число узлов.

Для матриц, так же как и для каждого из ее элементов, верно выражение:

Токи в ветвях в совокупности образуют матрицу токов ветвей:

,

где m – число ветвей.

Любая техническая схема может быть представлена в виде рисунка (графа), состоящего из точек (вершин) и ребер, соединяющие определенные пары точек.

Рис. 7. Расчетная схема замещения электрической сети

Правило построения направленного графа:

1) каждой ветви ставится в соответствующее произвольно выбранное напряжение;

2) ветви и независимые контуры произвольно нумеруются;

3) для каждого независимого контура выбирается направление обхода, принимаемое за положительное;

4) выбирается балансирующий узел.

Топология направленного графа может быть полностью описана при помощи двух прямоугольных матриц инциденций (соединений), описывающих соединение ветвей и узлов (матрица М) и соединение ветвей и контуров (матрица N)

Рис. 8. Топология направленного графа

1) Матрица соединения в узлах .

Структура:

- строки соответствуют узлам схемы (кроме балансирующего);

- столбцы соответствуют ветвям схемы.

Правило заполнения:

Позицию матрицы, находящеюся на пересечении строки, соответствующей i-му узлу и столбца, соответствующего j-й ветви, может заполнять 0, 1, –1 при выполнении следующих условий:

0 – ветвь не связана с узлом;

1 – ветвь начинается в узле;

– 1 – ветвь в узле кончается.

Например, для направленного графа, приведенного на рис. 7. матрица соединений ветвей и узлов имеет вид

Таким образом, ввод в ЭВМ информации о топологии схемы предполагает выполнение двух вложенных друг в друга циклов, в процессе которого происходит считывание всех элементов двухмерного массива данных

.

2) Матрица соединения в контурах .

Структура:

- строки соответствуют независимым контурам;

- столбцы соответствуют ветвям.

Правило заполнения:

Позицию матрицы, находящеюся на пересечении строки, соответствующей i-му контуру и столбца, соответствующего j-й ветви, может заполнять 0, 1, -1 при выполнении следующих условий:

0 – ветвь не входит в состав контура;

1 – направление ветви совпадает с направлением обхода контура;

–1 – направление ветви не совпадает с направлением обхода контура.

Любой граф включает в себя

а) ветви остова – минимальное количество ветвей, соединяющих балансирующий узел со всеми остальными;

б) хорды – прочие ветви.

Матрица может быть разделена на 2 подматрицы, каждая из которых соответствует ветвям остова и хордам.

Законы Кирхгофа и Ома в матричной форме

Умножение матрицы соединения ветвей и узлов и матрицы токов ветвей для графа, приведенного на рис. 7, дает столбец, каждый элемент которого представляет собой сумму токов в одном из узлов графа

.

С учетом наличия задающих узловых токов нагрузок для каждого узла может быть записано уравнение, которые в совокупности образуют систему

.

В общем случае, для сети содержащей сколь угодно большое число узлов, данная система может быть записана в матричной форме

,

где – матрица, соединения узлов и ветвей;

– матрица токов ветвей;

– матрица задающих узловых токов.

Приведенное матричное выражение представляет собой запись первого закона Кирхгофа в матричной форме.

Второй закон, связывающий сумму паданий напряжения на сопротивлениях ветвей, входящих в какой либо независимый контур и сумму ЭДС в том же контуре, может быть проиллюстрирован на примере для графа, приведенного на рис. 7: Произведение матрицы соединения ветвей и независимых контуров на столбец падений напряжения на сопротивлениях ветвей дает столбец, каждый элемент которого представляет собой сумму падений напряжения на сопротивлениях ветвей, входящих в соответствующий контур

,

где E_k – матрица контурных ЭДС ,

E_kI, E_kII, E_kIII– суммы ЭДС в соответствующих контурах.

В общем случае, будучи записанным в матричной форме, второй закон Кирхгофа имеет вид

,

где – матрица падений напряжения на сопротивлениях ветвей.

Падения напряжений на сопротивлениях ветвей представляет собой произведение токов ветвей и их сопротивлений. Для записи закона Ома в матричной форме используется диагональная матрица сопротивлений ветвей, каждая строка и каждый столбец которой соответствует определенной ветви, которая для случая графа, приведенного на рис. 7, имеет вид

.

Произведение матрицы сопротивлений ветвей на столбец токов ветвей дает столбец, каждый элемент которого представляет собой падение напряжения на сопротивлении одной из ветвей и для данного примера имеет вид

.

В общем случае закон Ома в матричной форме имеет следующий вид:

.

Если ввести матрицу ЭДС ветвей ,то для нее будут выполняться те же равенства, что и для матрицы падений напряжения на сопротивлениях ветвей

и, следовательно,

.

С учетом закона Ома

и, таким образом, можно записать выражение для падения напряжения в ветвях в общем случае

,

где– матрица падений напряжений в ветвях в общем случае, содержащих ЭДС.

Прямой метод расчета токораспределения

в электрической сети

Метод расчета токораспределения в ветвях электрической сети, основанный на использовании I и II закона Кирхгофа, без какого либо их предварительного преобразования, называется прямым методом.

Исходная система уравнений включает законы Кирхгофа и Ома в матричной форме и имеет вид:

.

Поскольку падения напряжений в ветвях не являются искомыми величинами, число матричных уравнений может быть уменьшено до двух, при подстановке третьего выражения во второе

.

Искомая величина – матрица токов ветвей входит в оба уравнений, но ни одно из них по отдельности недостаточны для определения всех токов ветвей, так как матрицы и не квадратные, т.е. число уравнений меньше числа неизвестных.

Система уравнений должна быть приведена к форме, содержащей сложные матрицы, в которых матрицы , , , , – играют роли блочных подматриц.

В блочно-матричной форме система уравнений имеет вид

.

Если сомножитель столбца искомых величин – токов ветвей – обозначить как

,

то в левой части имеет место квадратная матрица и токораспределение в сети определяется из простого выражения:

.

Данная форма записи решения позволяет применять ЭВМ для проведения расчетов, однако, в общем случае выражение содержит комплексные переменные, что вносит дополнительные требования к подготовке данных для проведения расчета на ЭВМ.

Например, если x₁ и x₂ – матрицы, содержащие комплексные переменные

,

,

то их произведение включает четыре произведения матриц, элементами которых являются действительные переменные

.

Перемножение матриц, содержащих комплексные коэффициенты увеличивает число операций и машинное время, т.к. исходные данные заданы в виде матриц действительных и мнимых частей комплексных коэффициентов.

Достоинства прямого метода:

- простота алгоритма

Недостатки прямого метода:

- необходимость обращения матрицы , имеющей высокий порядок для сложных энергосистем и содержащей много нулевых элементов, что ведет к неэффективному использованию машинного времени.

Обращение матрицы производится по формуле:

и требует вычисление определителей порядка. Применимость прямого метода ограничена сетью, содержащей не более нескольких ветвей.

Определение напряжения в узлах сети

Напряжения узлов сети, наряду с токами ее ветвей, являются параметрами ее режима и эти напряжения, называемые узловыми, отличаются друг от друга на величину падения напряжения в ветвях.

Задача определения напряжений в узлах приобретает единственное решение, в случае если напряжение задано в одном из узлов. Этот узел называется базисным. При известном базисном напряжении связь между матрицей узловых напряжений и матрицей падений напряжений в ветвях, в общем случае содержащих ЭДС, задается через транспонированную матрицу соединения ветвей и узлов .

Например, для схемы, приведенной на рис. 9, произведение транспонированной матрицы соединений и столбца разностей напряжений в независимых узлах и в базисном дает столбец падений напряжения в ветвях

Рис. 9. Расчетная схема

.

В общем случае приведенное выше уравнение связи может быть записано в матричной форме, приобретая при этом следующий вид

или, с учетом того, что

,

где – базисное напряжение,

выражение может быть переписано в виде

.

Если базисный и балансирующий узел не совпадает, связь между матрицей узловых напряжений и матрицей падения напряжения в ветвях задается через , получаемую из составленной для всех узлов с вычитанием строки соответствующей базисному узлу.

В примере для схемы, приведенной на рис. 9, при том, что балансирующий узел – a, базисный узел – b, матрица имеет вид

,

или же после вычеркивания строки

Для рассматриваемого примера взаимосвязь матриц и записывается через уравнение

В общем случае указанная взаимосвязь в матричной форме имеет следующий вид

.

С учетом закона Ома

.

Умножение правой и левой частей последнего выражения на обращенную диагональную матрицу сопротивлений ветвей и на матрицу соединения узлов и ветвей, приводит выражение к виду

,

с учетом первого закона Кирхгофа

,

где – столбец задающих узловых токов.

Данное выражение – узловое уравнение, записанное через матрицу узловых проводимостей

,

где – квадратная матрица с числом строк и столбцов, соответствующих числу узлов, кроме базисного.

Таким образом, разность напряжений в независимых узлах и в базисном

,

что при вводе в уравнение матрицы контурных сопротивлений

,

дает узловое уравнение записанное через матрицу контурных сопротивлений.

.

С учетом последнего выражения столбец искомых напряжений в независимых узлах может быть определен через уравнение

.

Расчет токораспределения

методом узловых напряжений

Число уравнений при определении токораспределения может быть уменьшено, если выразить искомые токи через падение напряжения в ветвях, находимое в свою очередь как разность напряжений в узлах.

Как правило, число узлов меньше числа ветвей (n<m), следовательно, определение узловых напряжений проще, чем вычисление токов ветвей прямым методом, предусматривающим работу с матрицей, имеющей порядок равный числу ветвей.

Исходя из ранее выведенных уравнений

взаимосвязь между токами ветвей и матрицей разностей напряжений в независимых узлах и в базисном может быть определена как

,

где

– матрица токов ветвей,

– матрица разностей напряжений в независимых узлах и в базисном.

Если рассмотреть простейший случай сети состоящей всего из трех ветвей, то матрица сопротивлений ветвей примет вид

.

Обращение матрицы, как уже было показано выше, представляет довольно громоздкую процедуру

,

но в данном случае, с учетом диагональности матрицы, вычисления существенно упрощаются. Определитель обращаемой матрицы

,

а сама матрица в обращенном и транспонированном виде

Элементы обращенной матрицы сопротивления ветвей – их проводимости. Это верно для данной матрицы любого порядка. Таким образом, вычисление обращенной матрицы сопротивлений ветвей в силу ее диагональности не представляет сложности.

Для вычисления матрицы (разность напряжений независимых и базисного узлов) требуется решение системы узловых напряжений, что связано с обращением матрицы узловых проводимостей.

Для упрощения процесса обращения матрицы узловых проводимостей возможно применение следующих методов:

- упрощение схемы замещения;

- предварительное преобразование матрицы.

Кроме того, возможен принципиальный отказ от алгоритмически простой, но громоздкой процедуры обращения матрицы и использование точных или итерационных методов решения линейных уравнений.

Составление матрицы узловых проводимостей непосредственно по схеме замещения электрической сети

Как было показано выше матрица узловых проводимостей представляет собой произведение трех матриц

.

Рис.10. Схема замещения и соответствующий ей направленный граф

Однако даже для простейшей сети с тремя независимыми узлами (см. рис. 10) перемножение указанных матриц достаточно трудоемкая процедура

.

В тоже время матрица узловых проводимостей может быть получена без вышеприведенных матричных перемножений, непосредственно по схеме замещения, при использовании простых правил ее формирования.

Каждая строка, как и каждый столбец матрицы узловых проводимостей, соответствует одному из независимых узлов, кроме базисного. На главной диагонали находятся собственные узловые проводимости, т.е. суммы проводимостей ветвей, соединенных с одним из узлов. Недиагональные элементы – это взаимные узловые проводимости, т.е. взятые с обратным знаком проводимости ветвей, соединяющих узлы, соответствующие строке и столбцу на пересечение которых находится данный элемент.

Правило составления матрицы узловых проводимостей по схеме замещения без предварительных операций с матрицами соединения упрощает подготовку к расчету непосредственно режима электрической сети.

Собственная проводимость узла представляет собой взятую с обратным знаком сумму взаимных проводимостей с узлами, соединенными с данным

,

взаимная проводимость двух узлов k и j, , равна проводимости ветви , соединяющей данные узлы, взятой с обратным знаком

.

Указанная проводимость ветви определяется из формулы

,

где

R – активное сопротивление ветви,

X – реактивное сопротивление ветви,

g – активная проводимость ветви,

b – реактивная проводимость ветви.

Методы решения линейных уравнений

установившегося режима

Методы решения нелинейных уравнений установившегося режима делятся на два вида: точные и итерационные.

Точные методы расчета в предположении, что расчеты ведутся точно, без округления, позволяют получить точное решение в результате выполнения конечного числа операций.

Итерационные методы даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить решение лишь с заданной точностью.

К точным методам относятся:

- метод Гаусса;

- метод обратной матрицы.

Число арифметических операций N связано с числом узлов n соотношением

N ~ n³

К итерационным методам относятся:

- метод Зейделя;

-метод простой итерации;

- метод Ньютона.

Число арифметических операций N связано с числом узлов n соотношением

N ~ kn²,

где N – число операций;

n – число узлов;

k – число итераций.

Применение метода Гаусса для решения линейных уравнений узловых напряжений

Система линейных уравнений узловых напряжений

в частном случае для трех независимых узлов, приобретает следующий вид, если записать ее в матричной форме

или в виде системы уравнений

.

Если перенести базисные напряжения и их сомножители направо и обозначить правые части каждого уравнения как I_i

.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений предполагает два этапа: прямой ход, в процессе которого матрица коэффициентов приводится к верхнетреугольной форме и обратный ход, в ходе которого находятся искомые параметры (в данном случае узловые напряжения).

1) Прямой ход для данного примера системы третьего порядка включает следующие под-этапы:

1.1) Преобразование первой строки по формулам

В результате этого преобразования элемент на пересечении первой строки и главной диагонали становится равным единице

.

1.2) Преобразование остальных строк (в данном примере второй и третьей) по формулам

,

в результате которого первые элементы этих строк обнуляются

.

1.3) Преобразование второй строки

1.4) Преобразование остальных строк (в данном случае третьей)

1.5) Преобразование третьей строки:

.

На этом прямой ход метода Гаусса для данного примера завершается, поскольку матрица коэффициентов приведена к верхнетреугольной форме

,

а система уравнений приобретает вид

.

2) Обратный ход.

После выполненных преобразований, обратный ход метода Гаусса позволяет легко найти искомые параметры. Для данного примера обратный ход имеет следующий вид:

.

В общем случае (для системы n-го порядка с n неизвестных) алгоритм метода Гаусса предполагает выполнение нескольких вложенных друг в друга циклов:

1. Прямой ход

;

2. Обратный ход

.

При использовании метода Гаусса число операций соотносится с числом неизвестных как N ~ n³.

Достоинства метода Гаусса:

гарантия получения точного решения в результате выполнения определенного количества операций, зависящих только от n, в отличие от итерационных методов, где количество операций зависит не только от n, но и от непрогнозируемого количества шагов, за который итерационный процесс сойдется.

Недостатки метода:

необходимость многократного пересчета матрицы коэффициентов системы уравнений, вследствие которой для сложной энергосистемы с большим количеством узлов, эффективное использование метода Гаусса невозможно без специальных методов учета слабой заполненности матрицы узловых проводимостей. Но такой учет алгоритмически сложен.

Итерационные методы решения