Понятие непрерывной случайной величины

Понятие непрерывной случайной величины

Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется случайная величина , имеющая абсолютно-непрерывное распределение вероятностей, определяемое функцией распределения:

и плотностью распределения:

НСВ имеет следующие основные числовые характеристики:

• среднее значение:

• дисперсия:

На практике для описания НСВ используются модельные непрерывные законы распределения с функциональными характеристиками, заданными в параметрическом виде:

Во многих практических задачах выборку наблюдений нельзя считать однородно, поскольку выборочные наблюдения соответствуют не одной, а нескольким моделям. Распределение такой выборки описывается смесью распределений. В связи с этим, актуальной задачей является задача моделирования смеси распределений.

Основными методами построения моделирующих алгоритмов для непрерывных законов распределения являются: метод обратной функции, метод исключения и метод функциональных преобразований.

В приложениях часто возникает задача моделирования НСВ в условиях априорно неопределенности, когда плотность неизвестна. В этих случаях может осуществляться моделирование СВ с заданной гистограммой или моделирование СВ с заданным полигоном частот. Гистограмма и полигон частот выступают как оценки плотности, построенные по имеющейся выборке экспериментальных данных.

Методы моделирования непрерывной случайной величины

Метод обратной функции

Метод обратной функции является одним из универсальных методов моделирования НСВ ξ с заданной плотностью и функцией распределения .

Пусть – строго монотонная возрастающая функция. Найдем обратную функцию , решая относительно х следующее уравнение: . Известно, что если α – БСВ, то СВ ξ, определяемая выражением: , имеет заданную плотность (функцию распределения ).

Таким образом, имеет место следующий алгоритм моделирования НСВ:

1) Моделируется реализация БСВ ;

2) Принимается решение о том, что реализацией СВ является величина х, определяемая по формуле: ;

3) Коэффициент использования БСВ k = 1.

На этом методе основываются алгоритмы моделирования НСВ с распределениями: равномерным, экспоненциальным, Лапласа, Вейбулла-Гнеденко, Коши, логистическим, гамма-распределением.

Метод исключения

В случаях, когда плотность распределения моделируемой НСВ имеет сложны аналитический ряд, нахождение функции распределения , а тем более обратной функции затруднительно, что делает невозможным применение метода обратной функции для моделирования СВ .

В этом случае может оказаться полезным другой универсальный метод моделирования, называемый методом исключения. Он заключается в следующем.

Обозначим: – область, ограниченную кривой и осью абсцисс. Определим мажорирующую функцию и область . Заметим, что мажорирующая функция должна иметь значительно более простой аналитический вид, чем . Область G при этом также имеет простой вид (треугольный, прямоугольный), позволяющий легко моделировать случайный вектор , равномерно распределенный в области G (например, при помощи метода обратной функции).

Алгоритм моделирования, основанный на методе исключения, включает следующие этапы:

1) Подбор мажорирующей функции ;

2) Моделирование реализации случайного вектора с равномерным распределением в области G ;

3) Принятие решения о том, что реализацией является при выполнении следующего условия:

Запись означает, что точка с координатами принадлежит области . Точки , не попавшие в , исключаются из рассмотрения. Отсюда и происходит название метода.

Для моделирования случайного вектора с равномерным распределением в области G полагают:

Моделирование СВ и (при условии, что ) осуществляется по методу обратной функции.

Средний коэффициент использования БСВ , где l – количество БСВ (обычно l = 2), используемых для получения одной реализации (x, y) случайного вектора .

Данный метод используется для построения одного из алгоритмов гамма-распределения.

Равномерное распределение

НСВ ξ имеет равномерное распределение на интервале [a, b), обозначаемое R(a, b), если функция и плотность распределения ξ определяются соотношениями:

Для произвольных значение параметров распределения a, b распределение R(a, b) обобщает распределение R(0, 1) БСВ α.

Среднее значение: , дисперсия: .

Алгоритм моделирования СВ ξ основан на методе обратной функции. Обратная функция для находится при решении уравнения относительно х: .

Далее в соответствии с указанным методом алгоритм моделирования реализации СВ включает два шага:

· моделирование реализации БСВ η

· принятие решения о том, что реализацией ξ является величина x:

Коэффициент использования БСВ k = 1.

Гамма-распределение

НСВ с плотностью распределения

имеет гамма-распределение с параметрами: - параметр формы; b>0 – параметр масштаба. Здесь Г(ν) - гамма-функция Эйлера:

Среднее значение и дисперсия равны:

При гамма-распределение совпадает с экспоненциальным: .

Для произвольного целого гамма-распределение называется распределением Эрланга порядка с параметром .

Если – целое число, – независимые случайные величины, распределенные по стандартному экспоненциальному закону , то СВ вида: имеет распределение .

В соответствии с методом обратной функции: – независимые БСВ. С учётом этого из (33) следует:

Если – независимые БСВ, , то СВ вида: имеет распределение .

В лабораторной работе полагалось, что – целое число. Для этого случая алгоритм моделирования описывается формулой (34). Коэффициент использования БСВ .

Распределение Коши

НСВ с плотностью распределения (38) имеет распределение Коши C(m, c) с параметрами: c>0 - параметр масштаба; - параметр положения (мода, медиана).

Функция распределения СВ имеет вид:

Известно, что если - независимые стандартные гаусовские величины, то СВ ξ вида имеет распределение Коши C(0,1).

Алгоритм моделирования СВ основывается на формуле (39) и состоит из двух шагов:

· моделирование независимых реализаций СВ ;

· принятие решения о том, что реализацией СВ является величина

Коэффициент использования БСВ k = 1.

Хи-квадрат распределение

НСВ с плотностью распределения

имеет хи-квадрат распределение с m степенями свободы (m>0 – натуральное число, параметр распределения). Здесь Г(z) – гамма-функция Эйлера.

Среднее значение и дисперсия равны: .

Известно, что, если - – независимые стандартные гаусовские СВ, то СВ (43) имеют плотность распределения (42).

В основе первого алгоритма моделирования СВ лежит свойство (43) : в качестве реализации СВ принимается величина x, вычисленная по независимым реализациям СВ по формуле: .

Коэффициент использования БСВ , где – число реализаций БСВ, необходимых для моделирования одной реализации СВ .

Пусть – независимые реализации БСВ, z – независимая от реализация СВ . Второй алгоритм моделирования СВ предполагает, что в качестве реализации СВ принимается величина x, вычисляемая по формулам: .

Коэффициент использования БСВ для случаев (44), (45) соответственно равен: .

Распределение Фишера

НСВ с плотностью распределения

имеет распределение Фишера (F-распределение) с l и m числом степеней свободы (l,m –натуральные числа, параметры распределения).

Среднее значение и дисперсия ξ ~ равны: .

Пусть . Тогда . Алгоритм моделирования определяется этим соотношением.

Критерий Колмогорова

Данный критерий позволяет осуществить проверку гипотез в условиях, когда функция распределения модельного закона известна полностью, то есть не зависит от неизвестных параметров. Он основан на анализе мер уклонения эмпирической и модельной функций распределения.

Эмпирическая функция распределения по случайной выборке реализаций СВ ξ определяется по формуле: .

Введём статистику , называемую расстоянием Колмогорова между и .

Известно, что гипотеза H0 верна и n→∞ (практически n > 20), то статистика имеет распределение Колмогорова с функцией распределения вида:

Критерий согласия Колмогорова представляет собой следующее решающее правило:

принимается гипотеза: H0, если , H1 в противном случае.

Порог – квантиль уровня распределения Колмогорова, - задаваемый пользователем уровень значимости.

Критерий хи-квадрат Пирсона

Данный критерий широко используется в задачах статистического анализа данных для проверки соответствия экспериментальных данных заданному модельному непрерывному или дискретному закону распределения, определяемому функцией распределения . При этом истинные значения параметров могут быть неизвестны. В задачах проверки точности моделирования значения задаются при описании условий экспериментов, поэтому функцию можно считать полностью заданной.

Пусть как и при построении гистограммы вычислены частоты попадания выборочных значений в K ячеек гистограммы. Гипотетические вероятности попадания значений ξ в ячейки гистограммы при истинной гипотезе H₀ и полностью заданной функции равны:

где - границы ячеек гистограммы.

Статистика критерия проверки гипотез (15) имеет вид:

и характеризует взвешенную сумму квадратов уклонений частот от гипотетических значений . Чем больше , тем “сильнее” выборка не согласуется с H₀.

Статистика (16) имеет, в предположении, что гипотеза H₀ верна, -распределение с K-1 степенями свободы.

- критерий Пирсона основан на (16) и имеет вид:

где порог критерия находится из ограничения на ошибку первого рода: и имеет вид , где G(.) – функция распределения статистики (16).

Понятие непрерывной случайной величины

Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется случайная величина , имеющая абсолютно-непрерывное распределение вероятностей, определяемое функцией распределения:

и плотностью распределения:

НСВ имеет следующие основные числовые характеристики:

• среднее значение:

• дисперсия:

На практике для описания НСВ используются модельные непрерывные законы распределения с функциональными характеристиками, заданными в параметрическом виде:

Во многих практических задачах выборку наблюдений нельзя считать однородно, поскольку выборочные наблюдения соответствуют не одной, а нескольким моделям. Распределение такой выборки описывается смесью распределений. В связи с этим, актуальной задачей является задача моделирования смеси распределений.

Основными методами построения моделирующих алгоритмов для непрерывных законов распределения являются: метод обратной функции, метод исключения и метод функциональных преобразований.

В приложениях часто возникает задача моделирования НСВ в условиях априорно неопределенности, когда плотность неизвестна. В этих случаях может осуществляться моделирование СВ с заданной гистограммой или моделирование СВ с заданным полигоном частот. Гистограмма и полигон частот выступают как оценки плотности, построенные по имеющейся выборке экспериментальных данных.