Представление о высказываниях и логических операциях 109

В алгебре логики все высказывания рассматриваются только с точки зрения их логического значения. Каждое высказывание либо истинно, либо ложно, и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.

Пример. Волга впадает в Каспийское море. Значение высказывания — «истина».

Лондон — столица Франции. Значение высказывания — «ложно».

Карась не рыба. Значение высказывания — «ложно».

Число 6 делится на 2 и на 3. Значение высказывания — «истина».

Если юноша окончил среднюю школу, то он получает аттестат зрелости. Значение высказывания — «истина».

Предложения «Вперед, гардемарины!» или «Какова сейчас температура воздуха за окном?» не являются высказываниями, поскольку не несут в себе однозначных сведений об истинности или ложности. Таким образом, высказыванием обычно являются повествовательные (но не вопросительные и не восклицательные) предложения.

Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым, или элементарным. Примерами элементарных высказываний являются первое и второе высказывание в приведенном примере.

Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью граммати­ческих связок «не», «и», «или», «если», «то», «тогда и только тогда», принято на­зывать сложными, или составными. В приведенном примере третье высказывание получается из простого высказывания «Карась — рыба» путем добавления отри­цания «не»; четвертое высказывание образовано из элементарных высказываний «Число 6 делится на 2», «Число 6 делится на 3», соединенных союзом «и». Пятое высказывание получается из простых высказываний «Юноша окончил среднюю школу» и «Юноша получает аттестат зрелости» путем добавления грамматической связки «если ..., то ...». Аналогично, сложные высказывания могут быть получены из простых высказываний путем добавления грамматических связок «или», «тогда и только тогда».

В дальнейшем элементарные высказывания мы будем обозначать малыми бук­вами латинского алфавита; истинное значение высказывания цифрой 1, а ложное значение — цифрой 0. Например, если высказывание а истинно, то будет справед­лива запись а = 1, если высказывание а ложно, то а = 0.

Всякая точная наука, в данном случае математическая логика, абстрагируется от многих побочных явлений в изучаемых ею объектах и рассматривает в некото­рой мере идеализированную картину. Аналогично и в других науках, например, геометрия рассматривает точки, лишенные геометрических размеров, и линии, лишенные толщины.

При изучении логики высказываний предполагается, что все простые выска­зывания, входящие в рассмотрение, обладают одним из двух свойств — являются истинными либо ложными. Математические утверждения обладают этим свой­ством, и так как до сих пор математическая логика изучала в первую очередь логику математических доказательств, то такая абстракция особенно оправданна.

Глава 4. Логические основы информатики

4.1.2. Соглашения о языке алгебры высказываний

Используются различные обозначения (нотации) как для самих высказываний, так и для операций алгебры высказываний (алгебры логики). Возможные варианты сведены в табл. 4.1.

Таблица 4.1. Обозначения в алгебре высказываний

Понятие	Возможные обозначения	Обозначения, принятые в данной книге
Высказывание	Строчные и прописные буквы латинского алфавита: а, Ь, с,..., z, А, В, С,..., Z; прописные буквы русского алфавита: А, Б, В,..., Я	Строчные буквы латин­ского алфавита: а, Ь, с,..., Z
Истинность	Прописная или строчная русская буква И (и); слово истина; прописная или строчная латинская буква Т (t); слово true; цифра 1	Цифра 1
Ложность	Прописная или строчная русская буква Л (л), слово ложь; прописная или строчная латинская буква F (f); слово false, цифра 0	Цифра 0
Отрицание, опровержение, инверсия	Символ ~\ ~ или -	Символ надчеркивания ~
Конъюнкция, логическое «и»	Символ &, л или •. Кроме того, иногда знак между двумя высказываниями просто опускают	Символ л
Дизъюнкция, логическое «или»	Символ v	Символ v
Импликация	Символ Э или ->	Символ Э
Эквивалентность	Символ ~, <-> или ^	Символ **
Равносильность	Символ в	Символ ■