Кодирование информации в ПК. Формулы Хартли и Шеннона изменения количества информации. Понятие энтропии.
Информация может передаваться в виде сигналов – звуковых, световых, электрических и пр.. Для того, чтобы сохранить информацию, ее надо закодировать. Кодирование – выражение данных одного типа через другие.
В вычислительной технике используется универсальная система кодирования данных двоичным кодом - последовательностью двоичных цифр 0 и 1. Один разряд двоичного кода называется битом (от англ. Binary digit – двоичная цифра). Количество разных символов, которое может быть представлено при двоичном кодировании, зависит от разрядности кода. Один бит выражает два значения. Общую формулу вычисления количества кодируемых значений можно представить: N = 2m где н – предельное число кодируемых значений, м - разрядность кода (количество бит)(пример: 8 = 23 – с помощью 3 битов можно закодировать 8 числовых значений (000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111) . Для вычисления количества информации в сообщении используется формула Хартли:I = log 2N (I- количество информации, N – возможное количество кодируемых сообщений). Формула Хартли используется для вычисления количества информации, когда все события равновероятны. В случае, когда все элементы (события) не равновероятны, используется формула Шеннона: I = -∑pi log2 pi, (I- количество информации, pi, - вероятность возникновения i-го события). Формула Хартли является частным случаем более общей формулы Шеннона. Энтропия системы - рассматриваться как мера недостающей информации. Энтропия системы Н(х), имеющая N возможных состояний, согласно формуле Шеннона равна:
Системы счисления и правила работы с ними. Логические основы работы ПК.
Информация в ЭВМ кодируется в двоичной системе счисления.
Под системой счисления понимается способ представления любого числа посредством алфавита символов, называемых цифрами.
В зависимости от способа представления чисел системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.
В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зависит от ее места (позиции) в числе (позиционные системы счисления – десятичная, двоичная, восмеричная, шестнадцатиричная).
В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе. (не позиционные системы счисления – римская система)
Количество различных цифр (Q), употребляемых в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления( для десятичной Q=10, для двоичной Q=2 и т.д.). Значения цифр лежат в диапазоне от 0 до Q-1 (например, для десятичной от 0 до 9). В общем случае в позиционной системе счисления с основанием Q используются цифры от 0 до Q-1. В позиционной системе счисления с основанием Q любое число х может быть представлено в виде полинома:
Х = аNQN+ аN-1QN-1+…+ а1Q1 + а0Q0 + а-1Q-1+ а-2Q-2 +…+ аMQM (например 127,5 = 1*102+2*101+7*100+5*10-1)
Целая часть дробная часть
Рассмотрим правило перехода из восьмеричной системы счисления в двоичную систему счисления.
Для перевода восьмеричного числа в двоичную СС достаточно заменить каждую цифру восьмеричного числа соответствующим трехразрядным двоичным числом. Затем необходимо удалить крайние нули слева, а при наличии точки – крайние нули справа.
Еще одно правило перевода.
Для перехода от шестнадцатеричной СС к двоичной СС каждая цифра шестнадцатеричного числа заменяется соответствующим четырехразрядным двоичным числом. У двоичного числа удаляются крайние слева нули, а если имеется дробная часть, то и крайние правые нули.
305,48 = 011 000 101 . 100 2
7D2.Е16 = 0111 1101 0010 . 1110 2
Для перехода от двоичной СС к восьмеричной (или шестнадцатеричной) СС поступают следующим образом: двигаются от точки сначала влево, а затем вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями крайне левую и правую группы. Затем каждую группу из трех (четырех) разрядов заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.
111 001 100.0012= 714.18
1 1100 1100. 0012= 1СС.216
Для перевод двоичного числа в десятичную СС достаточно представить число в виде полинома, подставить в него все известные коэффициенты и вычислить сумму.
11011.112=1*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 + 1*2-1 + 1*2-2 = 27.7510
2Е5.А16 = 2*162 + 14*161 + 5*160 + 10*16-1 + 741.62510
Перевод целых чисел из десятичной СС в двоичную, восьмеричную или шестнадцатеричную СС удобно делать с помощью следующего правила:
Для перевода целого числа из S-системы счисления в W-систему, нужно последовательно делить это число, а затем получаемые частные на основание W новой системы счисления , пока частное не станет меньше W.
3710=1001012
Для перевода правильной дроби из S-системы счисления в систему счисления с основанием H нужно умножить исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание Н, представленное в старой S-системе . Целые части получившихся произведений дают последовательность цифр, которая является представлением дроби в Н-системе счисления.
0.187510=0.00112
Для описания логики функционирования аппаратных и программных средств ЭВМ используетсяалгебра логики, или как ее называют булева алгебра. Основоположником этого раздела математики был Дж. Буль.
Алгебра логики – это раздел математической логики, значения всех элементов которой (функций и аргументов) определены в двухэлементном множестве: 0 и 1. Алгебра логики оперирует с логическими высказываниями.
Булева алгебра оперирует с логическими переменными, которые могут принимать только два значения : истина и ложь. Совокупность значений логических переменных х1, х2 ,… хn называется набором переменных.
Логической функцией от набора логических переменных (аргументов) F(х1, х2 ,… хn) называется функция, которая может принимать только два значения : истина или ложь (1 или 0). Любая логическая функция может быть задана с помощью таблицы истинности, в левой части которой записываются возможные наборы аргументов, а в правой - соответствующие им значения функции. Логическую функцию называют функцией алгебры логики.
Значение каждой логической функции описывается таблицей истинности. Таблица истинности представляет собой таблицу, устанавливающую соответствие между возможными значениями наборов переменных и значениями функции.
Логическое сложение а + b, или дизъюнкция V
Читается как а плюс b или а дизъюнкция b. Дизъюнкция двух слагаемых ложна тогда и только тогда, когда ложны оба слагаемых. Таблица истинности у логического сложения следующая
a | b | a+b |
Логическое умножение а × b, или конъюнкция а & b Конъюнкция двух сомножителей истинна тогда и только тогда, когда истинны оба сомножителя. Таблица истинности у этой функции следующая
a | b | a×b |
Отрицание а Запись читается как «не-а». Отрицание лжи есть истина, отрицание истины есть ложь. Таблица истинности у отрицания следующая
a | а |