Высказывания. операции над высказываниями
Под высказыванием понимают повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно (1) оно или ложно (0).
Например: 5 – простое число. Это высказывание – истинно.
Волга впадает в Черное море. Это высказывание – ложно.
Высказывания обозначают: A, B, C и т.д.
Из простых высказываний можно составлять сложные высказывания. При этом значение истинности сложного высказывания зависит от истинности простых высказываний, входящих в сложное. Эта зависимость устанавливается определением логических операций и отражается в таблицах истинности.
5 операций над высказыванием:
1. Дизъюнкцией двух высказываний называется высказывание, которое истинно, если хотя бы одно высказывание истинно.
| А | В |  |
| И | И | И |
| И | Л | И |
| Л | И | И |
| Л | Л | Л |
(А или В) Таблица истинности:
По таблице истинности легко определить истинность составного высказывания.
Например: определить истинность составного высказывания «2*2=4 или 3*3=10»
А= «2*2=4» - истинно (А=1); В= «3*3=10» - ложно (В=0), следовательно =1 (истинно)
2. Конъюнкцией двух высказываний называется высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.
(А и В) Таблица истинности:
| А | В | |
| И | И | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | Л |
| Л | Л | Л |
3. Отрицанием высказывания А называется высказывание, которое истинно, если А – ложно, и ложно, если А – истинно.
(не А или неверно, что А) Таблица истинности:
| А |  |
| И | Л |
| Л | И |
4. Импликацией от высказывания А к высказыванию В называется высказывание, которое ложно только тогда, когда А – истинно, а В – ложно.
(если А, то В) или (из А следует В)
В импликации от А называют посылкой, В – заключением.
| А | В | |
| И | И | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | И |
| Л | Л | И |
Таблица истинности
5. Эквиваленцией двух высказываний называется высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда значения истинности высказываний совпадают.
(А тогда и только тогда, когда В)
Таблица истинности
| А | В | |
| И | И | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | Л |
| Л | Л | И |
Если в сложном высказывании есть скобки, то выполняются сначала операции в скобках. Если скобок нет, самая сильная – конъюнкция, затем дизъюнкция, импликация и эквиваленция.
Вопрос № 8 Логические законы и правила преобразования логических выражений
В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные преобразования формул.
Законы алгебры высказываний – это тавтологии. Иногда эти законы называются теоремами.
Первые четыре из приведённых ниже законов являются основными законами алгебры высказываний.
1. Закон тождества: А = А.
Всякая мысль тождественна самой себе.
Данный закон означает, что в процессе рассуждения нельзя подменять одну мысль другой, одно понятие другим. При нарушении этого закона возможны логические ошибки.
2. Закон непротиворечия 
Одновременно не могут быть истинными суждение и его отрицание.
3. Закон исключённого третьего 
Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано.
Закон исключённого третьего не является законом, признаваемым всеми логиками в качестве универсального закона логики. Этот закон применяется там, где познание имеет дело с жёстко ситуацией: «либо – либо», «истина – ложь». Там же, где встречается неопределённость (например, в рассуждениях о будущем), закон исключённого третьего часто не может быть применён.
Рассмотрим следующее высказывание: Это предложение ложно.
Оно не может быть истинным, потому что в нём утверждается, что оно ложно. Но оно не может быть и ложным, потому что тогда оно было бы истинным. Это высказывание не истинно и не ложно, а потому нарушается закон исключённого третьего.
Парадокс (с греч. paradoxos – неожиданный, странный) в этом примере возникает из-за того, что предложение ссылается само на себя.
Другим известным парадоксом является задача о парикмахере:
В одном городе парикмахер стрижёт волосы всем жителям, кроме тех, кто стрижёт себя сам. Кто стрижёт волосы парикмахеру?
В логике из-за её формальности нет возможности получить форму такого ссылающегося самого на себя высказывания. Таким образом, с помощью логики нельзя выразить все возможные мысли и доводы.
4. Закон двойного отрицания 
Если отрицать дважды некоторое высказывание, то в результате получается исходное высказывание.
Законы де Моргана
Примеры выполнения закона де Моргана:
Высказывание «Неверно, что я люблю заниматься спортом и утром делать зарядку» тождественно высказыванию «Или я не люблю заниматься спортом или не люблю утром делать зарядку».
Высказывание «Неверно, что я знаю китайский или арабский язык» тождественно высказыванию «Я не знаю китайского языка и не знаю арабского языка».
Законы коммутативности
В обычной алгебре слагаемые и множители можно менять местами. В алгебре высказываний можно менять местами логические переменные при операциях логического умножения и логического сложения:
Законы ассоциативности
Если в логическом выражении используются только операция логического умножения или только операция логического сложения, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять:
Законы дистрибутивности
В отличие от обычной алгебры, где за скобки можно выносить только общие множители ( 
), в алгебре высказываний можно выносить за скобки как общие множители, так и общие слагаемые:
| Дистрибутивность умножения относительно сложения | Дистрибутивность сложения относительно умножения |
8.1  | 8.2  |