Графический метод решения задач линейного программирования

Графический метод используется для решения задач с двумя переменными вида:

;

Данный метод основывается на возможности графического изображения области допустимых решений задачи и нахождении среди них оптимального решения. Область допустимых решений задачи строится как пересечение (общая часть) областей решений каждого из заданных ограничений.

Областью решений линейного неравенства является одна из двух полуплоскостей, на которые прямая ,соответствующая данному неравенству, делит всю координатную плоскость. Для того, чтобы определить, какая из двух координатных полуплоскостей является областью решений, достаточно координаты какой-либо точки, не лежащей на прямой, подставить в неравенство: если оно удовлетворяется, то областью решений является полуплоскость, содержащая данную точку, если же неравенство не удовлетворяется, то областью решений является полуплоскость, не содержащая данную точку.

Областью допустимых решений задачи является общая часть полуплоскостей – областей решений всех неравенств системы ограничений.

АЛГОРИТМ

1. Построить множество допустимых решений. В общем случае оно представляет собой выпуклый многоугольник. Если ограничения в задаче несовместны, множество допустимых решений является пустым множеством, а задача поиска экстремума не имеет смысла.

2. Найти градиент целевой функции , построить его.

3. Провести линию уровня целевой функции, перпендикулярную градиенту.

4. Перемещать линию уровня параллельно самой себе в направлении , найти точку , в которой f достигает максимума (минимума).

5. Найти координаты , решая систему уравнений прямых, пересекающихся в точке оптимума, вычислить .

В случае непустого множества допустимых решений возможны три типовых ситуации:

а) задача имеет единственное решение (линия уровня касается множества допустимых решений в одной точке);

б) задача имеет бесконечное множество решений (линия уровня касается множества допустимых решений вдоль стороны многоугольника);

в) задача не имеет решения (множество допустимых решений не ограничено).

Пример 1. Решить задачу линейного программирования

;

Решение. Построим множество допустимых решений. Нумеруем ограничения задачи. В прямоугольной декартовой системе координат строим прямую , соответствующую ограничению (1). Находим, какая из двух полуплоскостей является областью решений неравенства. Так, прямая (1) не проходит через начало координат, подставляем координаты точки О (0, 0) в первое ограничение . Получаем верное строгое неравенство 0 > -2. Следовательно, точка О лежит в полуплоскости решений. Аналогично строим прямые (2) – (4).

Рис. 1.

Нашли , провели линию уровня функции, перпендикулярно градиенту, передвигаем ее параллельно самой себе в направлении . Эта прямая проходит через точку Х* пересечения прямых, ограничивающих область допустимых решений и соответствующих неравенствам (1) и (2). Определяем координаты точки Х*, решая систему . Получаем Х*(1, 3). Вычисляем .

Ответ: при Х* = (1, 3).

Задача линейного программирования не всегда задается в виде математической модели. Пример составления математической модели рассмотрен на примере транспортной задачи (п. 3).

Задачи для самостоятельного решения

Задачи 1.1 – 1.22. Решить графически следующие задачи ЛП.

1.1	;	1.2	;
1.3	;	1.4	;
1.5	;	1.6	;
1.7	;	1.8	;
1.9	;	1.10	;

1.11

;

1.12

1.13	;	1.14	;
1.15	;	1.16	;
1.17	;	1.18	;
1.19	;	1.20	;
1.21	;	1.22	;

Задача 1.23

Фирма производит два продукта А и В, рынок сбыта которых неограничен. Каждый продукт должен быть обработан каждой из машин I, II и III. Время обработки в часах для каждого изделия А и В приведено ниже:

Продукт	Время обработки, ч
I	II	III
A	0,5	0,4	0,2
B	0,25	0,3	0,4

Время работы машин I, II, III, соответственно, 40, 36 и 36 часов в неделю. Прибыль от изделий А и В составляет, соответственно, 5 и 3 долларов.

Фирме надо определить недельные нормы выпуска изделий А и В, максимизирующие прибыль. Сформулируйте эту задачу как задачу линейного программирования и решите ее (графическим методом).

Задача 1.24

Прибыль от изделий А, В, С составляет, соответственно, 3, 4, 5 единиц. Для каждого изделия требуется время использования станка I и II, которые доступны, соответственно, 12 и 15 часов в день:

Станок	Время использования станка, ч
А	В	С
I
II

Найдите оптимальный план производства.

Задача 1.25

Два изделия В1 и В2 последовательно обрабатываются на станках № 1, 2, 3, 4, 5. Машинное время на единицу изделий на каждом станке указано в таблице. Здесь же приведена прибыль от каждого изделия, причем объем производства второго вида продукции не должен превышать 40 % общего выпуска.

Определить оптимальную программу выпуска, обеспечивающую максимальную прибыль.

Изделие	Машинное время для станка, мин	Прибыль, руб/шт.
В1
В2						1,5
Недельный фонд рабочего времени, мин

Решите задачу графически.

Задача 1.26

На предприятии могут изготавливать два вида продукции i₁ и i₂. На выпуск единицы продукции i₁ расходуется 3 единицы ресурса, а на единицу продукта i₂ – 1 единица того же ресурса. В плановом периоде в распоряжении предприятия имеется 300 единиц этого же ресурса. Ограничение по выпуску продукции первой и высшей категории качества выглядит следующим образом: . При этом требуется, чтобы продукции i₁ было выпущено не менее 40 единиц. Предприятие желает получить максимальную прибыль.

Каждое изделие вида i₁ дает 3 доллара прибыли, каждое изделие вида i₂ дает 4 доллара прибыли. Решите эту задачу графически.

Задача 1.27

Средства очистки пола оценивают по следующим трем показателям:

а) очищающие свойства;

б) дезинфицирующие свойства;

в) раздражающее воздействие на кожу.

Каждый из этих показателей измеряется по линейной шкале от 0 до 100.

Продукт на рынке должен иметь, по крайней мере, 60 единиц очищающих свойств и 60 единиц дезинфицирующих свойств по соответствующей шкале. При этом раздражающее воздействие на кожу должно быть минимальным. Конечный продукт должен быть смесью трех основных очистителей, характеристики которых приводятся ниже:

	Свойства продукта
Очиститель	Очищающие	Дезинфицирующие	Раздражающие
А
В
С

Сформулируйте задачу нахождения оптимальной смеси как задачу линейного программирования и решите ее.

Задача 1.28

Фирма, выпускающая трикотажные изделия, использует для производства продукции два вида сырья. Все необходимые данные приведены в таблице.

Сырье	Запас сырья, кг	Затраты на единицу продукции, кг
свитер	пуловер	костюм
Чистая шерсть		0,4	0,2	0,8
Силон		0,2	0,1	0,2
Прибыль за изделие, ден. ед.

Записать в математической форме условия выпуска готовой продукции, если сырье расходуется полностью, а прибыль должна быть максимальной.

Задача 1.29

Фабрика производит два основных типа товара. Изделию типа I требуется 3 единицы сырья А и единица сырья В. Оно приносит прибыль 3 единицы. Изделию типа II требуется 4 единицы сырья А и 3 единицы сырья В. Оно приносит прибыль в 2 единицы. Найдите оптимальный план производства, если доступны всего 20 единиц сырья А и 10 единиц сырья В (используйте графический метод).

Как изменится оптимальный план производства, если окажется доступной еще одна единица сырья А, а затем и еще одна единица сырья В?

Задача 1.30

Рацион кормления коров на молочной ферме может состоять из трех продуктов – сена, силоса и концентратов. Эти продукты содержат питательные вещества – белок, кальций и витамины. Численные данные представлены в таблице. В расчете на одну корову суточные нормы потребления белка и кальция составляют не менее 200 и 210 г, соответственно. Потребление витаминов строго дозировано и должно быть равно 87 мг в сутки.

Продукты	Питательные вещества
Белок (г/кг)	Кальций (г/кг)	Витамины (мг/кг)
Сено
Силос
Концентраты

Составить самый дешевый рацион, если стоимость 1 кг сена, силоса и концентрата равна, соответственно, 1, 5, 2 и 6 рублей .