Представление числовой информации с помощью систем счисления

О

Для записи информации о количестве объектов использу­ются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисле­ния. Алфавит систем счисления состоит из символов, кото­рые называются цифрами. Например, в десятичной системе счисления числа записываются с помощью десяти всем хо­рошо известных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Система счисления — это знаковая система, в ко­торой числа записываются по определенным пра­вилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные системы счисления. В пози­ционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных — не зависит.

Римская непозиционная система счисления. Самой рас­пространенной из непозиционных систем счисления являет­ся римская. В качестве цифр в ней используются: I (1), V (5), X (10), L (50), С (100), D (500), М (1000).

Значение цифры не зависит от ее положения в числе. На­пример, в числе XXX (30) цифра X встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину - число 10, три числа по 10 в сумме дают 30.

Величина числа в римской системе счисления определя­ется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа - прибавляется. Например, запись десятичного чис­ла 1998 в римской системе счисления будет выглядеть сле­дующим образом:

MCMXCVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10)+ 5 + 1 + 1 + 1.

Позиционные системы счисления. Первая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавило­не, причем вавилонская нумерация была шестидесятерич- ной, то есть в ней использовалось шестьдесят цифр! Инте­ресно, что до сих пор при измерении времени мы используем основание, равное 60 (в 1 минуте содержится 60 секунд, а в 1 часе — 60 минут).

В XIX веке довольно широкое распространение получи­ла двенадцатеричная система счисления. До сих пор мы ча­сто употребляем дюжину (число 12): в сутках две дюжины часов, круг содержит тридцать дюжин градусов и так да­лее.

-------------------------------------------------------------------

§ В позиционных системах счисления количествен- J0 • ное значение цифры зависит от ее позиции в числе.

Наиболее распространенными в настоящее время позици­онными системами счисления являются десятичная, двоич­ная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Каждая позицион­ная система имеет определенный алфавит цифр и основание.

В позиционных системах счисления основание системы равно количеству цифр (знаков в ее ал­фавите) и определяет, во сколько раз различают­ся значения одинаковых цифр, стоящих в сосед­них позициях числа.

Десятичная система счисления имеет алфавит цифр, кото­рый состоит из десяти всем известных, так называемых араб­ских, цифр, и основание, равное 10, двоичная — две цифры и основание 2, восьмеричная — восемь цифр и основание 8, шестнадцатеричная — шестнадцать цифр (в качестве цифр используются и буквы латинского алфавита) и основание 16 (табл. 2.2).

Таблица 2.2. Позиционные системы счисления Система счисления Основание Алфавит цифр Десятичная 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Двоичная 0, 1 Восьмеричная 0, 1,2,3, 4,5,6,7 Шестнадцатеричная 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А (10), В (11), С (12), D (13), Е (14), F (15)

Десятичная система счисления. Рассмотрим в качестве примера десятичное число 555. Цифра 5 встречается триж­ды, причем самая правая цифра 5 обозначает пять единиц, вторая справа — пять десятков и, наконец, третья справа — пять сотен.

Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. В десятичной системе цифра, находящаяся в крайней справа позиции (разряде), обозначает количество единиц, цифра, смещенная на одну позицию влево, — коли­чество десятков, еще левее — сотен, затем тысяч и так да­лее. Соответственно имеем разряд единиц, разряд десятков и так далее.

Число 555 записано в привычной для нас свернутой фор­ме. Мы настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различ­ные степени числа 10.

и

В развернутой форме записи числа такое умножение за­писывается в явной форме. Так, в развернутой форме запись

числа 555 в десятичной системе будет выглядеть следую­щим образом:

555₁₀ = 5 10² + 5-10¹ + 5-10°.

Как видно из примера, число в позиционной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степе­ней основания (в данном случае 10), в качестве коэффициен­тов которых выступают цифры данного числа.

Для записи десятичных дробей используются отрицатель­ные значения степеней основания. Например, число 555,55 в развернутой форме записывается следующим образом:

555,55₁₀ = 5-Ю² + 510¹ + 5-10°+ 5-10"¹ + 510'².

В общем случае в десятичной системе счисления запись числа А₁₀, которое содержит п целых разрядов числа и т дробных разрядов числа, выглядит так:

1/4 А ₁₀ = а_п__г10" ¹ +... + ao-10°+a-_r10~¹ + ... + a._m-10"^m.

-------------------------------------------------------------------

Коэффициенты a_i в этой записи являются цифрами деся­тичного числа, которое в свернутой форме записывается так:

/1 Ао = а_п-\ а„-2... а₀, a-i ...а__т.

Из вышеприведенных формул видно, что умножение или деление десятичного числа на 10 (величину основания) при­водит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной, на один разряд соответственно вправо или влево. Например:

555,55₁₀ • 10 = 5555,5₁₀;

555,55₁₀ : 10 = 55,555₁₀.

Двоичная система счисления. В двоичной системе счисле­ния основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр (0 и 1). Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1.

Например, развернутая запись двоичного числа может выглядеть так:

Л, - 1-2" + 0 2' * 1-2" + 0-2 ' ^ 1 2 .

Свернутая форма этого же числа:

А₂ = 101,01₂. В общем случае в двоичной системе запись числа А₂, ко­торое содержит п целых разрядов числа и т дробных разря­дов числа, выглядит так:

I/ А₂ = а„_ 1 • 2"~¹ + ап-2 ■ 2"~² + ... а₀ • 2° + а_1 • 2"¹ + ^ ... + а-_т ■ 2~^т

Коэффициенты a_i в этой записи являются цифрами (0 или 1) двоичного числа, которое в свернутой форме записывает­ся так:

А₂ = а_п-1 а_п-2... а₀, а-1 а_₂ ... а-_т.

Из вышеприведенных формул видно, что умножение или деление двоичного числа на 2 (величину основания) приво­дит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд соответственно вправо или влево. Например:

101,01₂ • 2 = 1010,1₂ ;

101,01₂ : 2 = 10,101₂.

Позиционные системы счисления с произвольным осно­ванием. Возможно использование множества позиционных систем счисления, основание которых равно или больше 2. В системах счисления с основанием q (q-ичная система счис­ления) числа в развернутой форме записываются в виде сум­мы степеней основания q с коэффициентами, в качестве ко­торых выступают цифры 0, 1, q-1:

U i Aq ^{= а}"-' ^+а"-2 •<Г²+-+ *■(?+ а-1-q"¹ +...+ a-_m-g~^m

& ........................... — ------ - ------------------- ------ ---------

Коэффициенты a_i в этой записи являются цифрами числа, записанного в g-ичной системе счисления.

Так, в восьмеричной системе основание равно восьми (q = 8). Тогда записанное в свернутой форме восьмеричное

число A_g = 673,2₈ в развернутой форме будет иметь вид:

А₈ = 6-8² + 7-8¹ + 3-8° + 2-8~\

В шестнадцатеричной системе основание равно шестнад­цати (q = 16), тогда записанное в свернутой форме шестнад- цатеричное число А₁₆ = 8A,F₁₆ в развернутой форме будет иметь вид:

А₁₆ = 816¹ + А-16° + F-16"¹.

Если выразить шестнадцатеричные цифры через их деся­тичные значения (А=10, F=15), то запись числа примет вид:

А₁₆ - 8-16¹ + 10-16° + 15-16"¹.

% %

Вопросы для размышления

1. Чем отличаются позиционные системы счисления от непозици­онных?

2. Может ли в качестве цифры использоваться символ буквы?

3. Какое количество цифр используется в д-ичной системе счисле­ния?

О Щ

Зада ни я

2.6. Записать числа 19,99₁₀, 10,10₂, 64,5₈, 39,F₁₆ в развернутой фор­ме.

2.7. Во сколько раз увеличатся числа 10,1₁₀,10,1₂, 64,5_g, 39,F₁₆ при переносе запятой на один знак вправо?

2.8. При переносе запятой на два знака вправо число 11, Ид. увели­чилось в 4 раза. Чему равно х?

2.9. Какое минимальное основание может иметь система счисле­ния, если в ней записаны числа 23 и 67?

2.10. Записать число 1999₁₀ в римской системе счисления.