Компьютерное моделирование в экологии.

Общие рекомендации

1. При проведении расчетов необходим контроль точности результатов и устойчивости применяемого численного метода. Для этого достаточно ограничиться эмпирическими приемами (например, сопоставлением решений, полученных с несколькими разными шагами по времени).

2. Целесообразно применять для моделирования стандартные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений, описанные в математической литературе. Простейшие методы (метод Эйлера) часто бывают неустойчивы и их применение ведет к лишнему расходу времени.

3. Результаты моделирования следует выводить на экран компьютера в следующих видах: таблицы зависимостей численности популяций от времени, графики этих зависимостей. Уместны звуковые сигналы (одни — в критические моменты для моделируемого процесса, другие — через некоторый фиксированный отрезок пройденного пути и т.д.).

4. При выводе результатов в табличном виде следует учитывать, что соответствующий шаг по времени не имеет практически ничего общего с шагом интегрирования и определяется удобством и достаточной полнотой для восприятия результатов на экране. Экран, сплошь забитый числами, не поддается восприятию. Выводимые числа следует разумным образом форматировать, чтобы незначащие цифры практически отсутствовали.

5. При выводе результатов в графической форме графики должны быть построены так, как это принято в математической литературе (с указанием того, какие величины отложены по осям, масштабами и т.д.).

6. Поскольку таблицы и графики на одном экране обычно не помещаются, удобно сделать меню, в котором пользователь выбирает желаемый в настоящий момент вид представления результатов.

Задания к самостоятельной работе

1. Выписать математическую модель, определить состав набора входных параметров и их конкретные числовые значения.

2. Спроектировать пользовательский интерфейс программы моделирования, обращая особое внимание на формы представления результатов.

3. Выбрать метод интегрирования дифференциальных уравнений модели, найти в библиотеке стандартных программ или разработать самостоятельно программу интегрирования с заданной точностью.

4. Произвести отладку и тестирование полной программы.

5. Выполнить конкретное задание из своего варианта работы.

6. Качественно проанализировать результаты моделирования.

7. Создать текстовый отчет по лабораторной работе, включающий:

* титульный лист (название работы, исполнитель, группа и т.д.);

* постановку задачи и описание модели;

* результаты тестирования программы;

* результаты, полученные в ходе выполнения задания (в различных формах);

*качественный анализ результатов.

1.Изучить характер эволюции популяции, описываемый моделью (7.31), при значениях параметров b = 1, R = 1, N₀ = 100 в зависимости от значения параметра а в диапазоне 0,1 £ а £ 10. Есть ли качественные различия в характере эволюции в зависимости от значения а?

2.Изучить характер эволюции популяции, описываемый моделью (7.31), при значениях параметров b = 1, R = 4, N₀ = 100 в зависимости от значения параметра а в диапазоне 0,1 £ а £ 10. Есть ли качественные различия в характере эволюции в зависимости от значения а?

3.Изучить характер эволюции популяции, описываемый моделью (7.31), при значениях параметров b = 4, R = 1, N₀ = 100 в зависимости от значения параметра а в диапазоне 0,1 £ а £ 10. Есть ли качественные различия в характере эволюции в зависимости от значения а?

4.Изучить характер эволюции популяции, описываемый моделью (7.31), при значениях параметров a = 1, R = 1, N₀ = 100 в зависимости от значения параметра b в диапазоне 0,1 £ b £ 10. Есть ли качественные различия в характере эволюции в зависимости от значения b?

5.Изучить характер эволюции популяции, описываемый моделью (7.31), при значениях параметров a = 1, R = 4, N₀ = 100 в зависимости от значения параметра b в диапазоне 0,1 £ b £ 10. Есть ли качественные различия в характере эволюции в зависимости от значения b?

6.Изучить характер эволюции популяции, описываемый моделью (7.31), при значениях параметров a = 3, R = 1, N₀ = 100 в зависимости от значения параметра b в диапазоне 0,1 £ b £ 10. Есть ли качественные различия в характере эволюции в зависимости от значения b?

7.Изучить характер эволюции популяции, описываемый моделью (7.31), при значениях параметров a = 3, b = 1, N₀ = 100 в зависимости от значения параметра R в диапазоне 1 £ R £ 4. Есть ли качественные различия в характере эволюции в зависимости от значения R?

8.Изучить характер эволюции популяции, описываемый моделью (7.31), при значениях параметров a = 3, b = 4, N₀ = 100 в зависимости от значения параметра R в диапазоне 1 £ R £ 4. Есть ли качественные различия в характере эволюции в зависимости от значения R?

9.Реализовать модель (7.31) при следующих наборах значений параметров:

1) N₀ = 100, а = 1, R=2, b =1;

2) N₀ = 100, а = 1, R=2, b = 4;

3) N₀ = 100, а = 1, R=4, b = 3.5;

4) N₀ = 100, а = 1, R=4, b = 4.5

и изучить вид соответствующих режимов эволюции.

10.Для модели (7.31) в фазовой плоскости (b,R) найти границы зон, разделяющих режимы монотонного и колебательного установления стационарной численности популяции изучаемой системы.

11.Для модели (7.31) в фазовой плоскости (b,R) найти границы зон, разделяющих режим колебательного установления стационарной численности популяции изучаемой системы и режим устойчивых предельных циклов.

12.Реализовать моделирование межвидовой конкуренции по формулам (7.33) при значениях параметров r₁=2, r₂=2, K₁=200, K₂=200, Проанализировать зависимость судьбы популяций от соотношения значений их начальной численности

13.Реализовать моделирование межвидовой конкуренции по формулам (7.33) при значениях параметров r₁=2, r₂=2, K₁=200, K₂=200, . Проанализировать зависимость судьбы популяций от соотношения значений коэффициентов конкуренции a₁₂ иa ₂₁.

14.Построить в фазовой плоскости ( ) границы зон, разделяющих какие-либо два режима эволюции конкурирующих популяций (в соответствии с моделью (7.33)). Остальные параметры модели выбрать произвольно. Учесть при этом, что режим устойчивого сосуществования популяций может в принципе реализоваться только при .

15.Провести моделирование динамики численности популяций в системе «хищник-жертва» (модель (7.34)) при значенияхпараметров r = 5, a = 0,1, q = 2, f = 0,6. Проанализировать зависимость исхода эволюции от соотношения значений параметров N₀ и C₀.

16.Провести моделирование динамики численности популяций в системе «хищник-жертва» (модель (7.34)) при значенияхпараметров r = 5, a = 0,1, q = 2, N₀ = 100, C₀ = 6. Проанализировать зависимость результатов моделирования от значения параметра f в диапазоне 0,1£ f £ 2.

17.Провести моделирование динамики численности популяций в системе «хищник-жертва» (модель (7.34)) при значенияхпараметров r = 5, a = 0,1, f = 2, N₀ = 100, C₀ = 6. Проанализировать зависимость результатов моделирования от значения параметра q в диапазоне 0,1£ q £ 2.

18.Провести моделирование динамики численности популяций в системе «хищник-жертва» (модель (7.34)) при значенияхпараметров a = 0,1, f = 2, q = 2, N₀ = 100, C₀ = 6. Проанализировать зависимость результатов моделирования от значения параметра q в диапазоне 0,1£ r £ 2.

19.Провести моделирование динамики численности популяций в системе «хищник-жертва» (модель (7.34)) при значенияхпараметров r = 5, q = 2, f = 2, N₀ = 100, C₀ = 6. Проанализировать зависимость результатов моделирования от значения параметра q в диапазоне 0,1£ a £ 2.

20.Модель (7.34) предсказывает сопряженные колебания численности жертв и хищников. Исследовать зависимость запаздывания амплитуд колебаний численности хищников от амплитуд колебаний численности жертв в зависимости от значений параметра а. Значения остальных параметров фиксировать по усмотрению.

21.Модель (7.34) предсказывает сопряженные колебания численности жертв и хищников. Исследовать зависимость запаздывания амплитуд колебаний численности хищников от амплитуд колебаний численности жертв в зависимости от значений параметра q. Значения остальных параметров фиксировать по усмотрению.

22.Модель (7.34) предсказывает сопряженные колебания численности жертв и хищников. Исследовать зависимость запаздывания амплитуд колебаний численности хищников от амплитуд колебаний численности жертв в зависимости от значений параметра f. Значения остальных параметров фиксировать по усмотрению.

23.Модель (7.34) предсказывает сопряженные колебания численности жертв и хищников. Исследовать зависимость запаздывания амплитуд колебаний численности хищников от амплитуд колебаний численности жертв в зависимости от значений параметра r. Значения остальных параметров фиксировать по усмотрению.

24.Модель (7.34) предсказывает сопряженные колебания численности жертв и хищников. Исследовать зависимость запаздывания амплитуд колебаний численности хищников от амплитуд колебаний численности жертв в зависимости от соотношения значений начальных численностей популяций N₀ и C₀. Значения остальных параметров фиксировать по усмотрению.

Задание для самостоятельного решения к теме СМО

1. Рассчитайте средний доход в единицу времени (минута), приносимый системой массового обслуживания (пейджинговая компания), при следующих значениях параметров:

• среднее число заявок в очереди – 10;
• среднее число свободных обслуживающих приборов – 3;
• стоимость ожидания одной заявки в минуту – 1,5 р.;
• стоимость простоя одного прибора в минуту – 3 р.

2. На междугородней телефонной станции несколько телефонисток обслуживают общую очередь заказов. Очередной заказ обслуживает та телефонистка, которая первой освободилась. Смоделировать ситуацию, обдумать возникающие проблемы.

3. Пусть на телефонной станции с одним входом используется обычная система: если абонент занят, то очередь не формируется и надо звонить снова. Смоделировать ситуацию: несколько абонентов пытаются дозвониться до одного и того же лица и в случае успеха разговаривают с ним некоторое время. Какова вероятность, что некто, пытающийся дозвониться, не сможет сделать это за определенное время Т ?

4. Одна ткачиха обслуживает несколько станков, осуществляя по мере необходимости краткосрочное вмешательство, длительность которого ¾ случайная величина. Какова вероятность простоя сразу двух станков? Как велико среднее время простоя одного станка?

Вопросы к зачету

1. Какие виды моделирования бывают? Дайте краткую характеристику.

2. Что такое математическая модель и вычислительный эксперимент?

3. Что представляет собой концептуальная модель сложной системы?

4. Дайте краткую характеристику параметрам системы.

5. Что понимается под адекватностью модели?

6. Как осуществляется формализация процессов в моделировании?

7. Как проводится классификация математических моделей на основе особенностей применяемого математического аппарата.

8. Как различаются математические модели по форме представления.

9. Что такое алгоритмические модели.

10. В чем разница между теоретическими и экспериментальными функциональными математическими моделями.

11. Назовите виды математических моделей технических объектов.

12. В чем состоит смысл программирования при разработке имитационной модели.

13. Как проводится испытание модели.

14. В чем состоит предмет исследований классической экологии?

15. В чем сущность процессов:

· внутривидовой конкуренции?

· межвидовой конкуренции?

· отношений «хищник-жертва»?

· Каковы цели математического моделирования в экологии?

· В чем отличие приемов моделирования популяций с непрерывным и дискретным размножением?

16. Назовите основные элементы систем массового обслуживания.

17. Какие процессы называются марковскими?

18. Назовите основные характеристики эффективности функционирования СМО.