Решение задачи 8 методом Монте-Карло

Номер точки	R	G	X	Y	Точка XY попала в прямоугольник?	Точка XY попала в пятиугольник?
	0,0333	0,5370	0,333	10,740	Да	Нет
	0,9499	0,1090	9,499	2,180	Да	Нет
	0,0415	0,6855	0,415	13,710	Да	Нет
	0,9595	0,9526	9,595	19,190	Да	Нет
	0,8109	0,3557	8,109	7,114	Да	Да
	0,1958	0,2748	1,958	5,496	Да	Да
	0,6982	0,1652	6,982	3,304	Да	Да
	0,7644	0,2194	7,644	4,388	Да	Да
	0,8395	0,4510	8,395	9,020	Да	Да
	0,5997	0,1140	5,997	2,280	Да	Да
	Всего

Статистическая гипотеза состоит в том, что количество точек, попавших в контур фигуры, пропорционально площади фигуры 200:S=10:6. То есть по формуле метода Монте-Карло получаем, что площадь пятиугольника S равна 200*6/10=120. Точность расчета может быть увеличена с ростом числа испытаний.

Приложение 4

Таблица случайных чисел равномерно распределенных от 0 до 1

И их натуральных логарифмов

rnd ln rnd ln rnd ln

0.0333 -3.4022 0.3557 -1.0337 0.2172 -1.5269

0.5370 -0.6218 0.1958 -1.6307 0.7003 -0.3562

0.9499 -0.0514 0.2748 -1.2917 0.4443 -0.8113

0.1090 -2.2164 0.6982 -0.3592 0.5643 -0.5722

0.0415 -3.1821 0.1652 -1.8006 0.8155 -0.2040

0.6855 -0.3776 0.7644 -0.2687 0.8276 -0.1892

0.9595 -0.0413 0.2194 -1.5169 0.4268 -0.8514

0.9526 -0.0486 0.8395 -0.1749 0.9232 -0.0799

0.8109 -0.2096 0.4510 -0.7963 0.6048 -0.5029

0.6617 -0.4129 0.5997 -0.5113 0.5492 -0.5993

0.7200 -0.3285 0.1140 -2.1716 0.4062 -0.9009

0.1214 -2.1087 0.6713 -0.3985 0.4749 -0.7447

0.4911 -0.7111 0.5643 -0.5722 0.3445 -1.0657

0.8687 -0.1408 0.2644 -1.3303 0.1798 -1.7159

0.4231 -0.8601 0.6948 -0.3641 0.1637 -1.8097

0.5383 -0.6193 0.6455 -0.4377 0.6234 -0.4726

0.0031 -5.7764 0.7872 -0.2393 0.2689 -1.3134

0.4611 -0.7741 0.3865 -0.9506 0.3768 -0.9760

0.5811 -0.5428 0.6035 -0.5050 0.2798 -1.2737

0.1706 -1.7684 0.8052 -0.2167 0.2950 -1.2208

0.3339 -1.0969 0.4086 -0.8950 0.2404 -1.4255

0.4140 -0.8819 0.0543 -2.9132 0.4941 -0.7050

0.9837 -0.0164 0.0016 -6.4378 0.4098 -0.8921

0.0697 -2.6636 0.0739 -2.6050 0.2543 -1.3692

0.9747 -0.0256 0.3551 -1.0354 0.4049 -0.9041

0.1971 -1.624 0.1971 -1.6240 0.2117 -1.5526

0.2490 -1.3903 0.7581 -0.2769 0.8894 -0.1172

0.9054 -0.0994 0.7360 -0.3065 0.4613 -0.7737

0.5316 -0.6319 0.0353 -3.3439 0.1306 -2.0356

0.4580 -0.7809 0.4840 -0.7257 0.5970 -0.5158

0.2532 -1.3736 0.1146 -2.1663 0.7013 -0.3548

0.6493 -0.4319 0.8863 -0.1207 0.8756 -0.1328

0.0428 -3.1512 0.5535 -0.5915 0.5107 -0.6720

0.6208 -0.4767 0.7711 -0.2599 0.2537 -1.3716

0.2170 -1.5279 0.2360 -1.4439 0.3355 -1.0921

0.5662 -0.5688 0.1328 -2.0189 0.6142 -0.4874

0.0311 -3.4705 0.9487 -0.0527 0.2127 -1.5479

0.8083 -0.2128 0.6291 -0.4635 0.7151 -0.3353

0.7324 -0.3114 0.5520 -0.5942 0.5716 -0.5593

0.1680 -1.7838 0.3324 -1.1014 0.8695 -0.1398

Задания для самостоятельного решения к теме № 3

1. На основе компьютерной модели изучите движение двух или трех частиц, между которыми действуют силы притяжения.

2. Изучите движение двух материальных точек, между которыми действуют силы отталкивания. Промоделируйте центральный и нецентральный удар.

3. Промоделируйте разрыв снаряда на несколько осколков различной массы в однородном поле тяжести. При взрыве возникает сила отталкивания, быстро уменьшающаяся по мере удаления осколков.

4. Изучите движение материальной точки в гравитационном поле двух массивных тел. Проведите вычислительные эксперименты при различных начальных координатах и скоростях точки.

5. Промоделируйте движение нескольких планет и комет Солнечной системы, учитывая, что масса Солнца во много раз больше массы любой планеты.

6. Промоделируйте движение молекул газа в прямоугольном замкнутом сосуде. Учтите, что при соударении молекулы с горизонтальной (вертикальной) стенкой сосуда вертикальная (горизонтальная) проекция ее скорости меняет свой знак на противоположный.

7. Промоделируйте диффузию двух газов. Пусть вначале молекулы с массами m заполняют левую половину сосуда, а молекулы с массами M -- правую. Задайте случайные значения скоростей молекул. Как изменяется концентрация молекул газов в сосуде с течением времени?

8. Промоделируйте движение молекул газа в однородном поле тяжести. Подтвердите, что по мере увеличения высоты концентрация молекул газа уменьшается по экспоненциальному закону.

9. Промоделируйте движение молекул газа в гравитационном поле шара большой массы.

Задания для самостоятельного решения к теме № 4

1. Точка движется прямолинейно со скоростью v(t) = 3 + 2t + 1t². Численными методами и аналитически определите ускорение точки в момент времени 1 с и пройденный путь за время от 1 до 3 с. Повторите расчеты при различных значениях шага и сравните результаты.

2. Имеется пластинка толщиной h ограниченная кривой y = x² и прямой y = 1. Ее плотность есть функция координаты y: ρ(y) = ρ₀(1 + α y), где α - произвольный коэффициент пропорциональности. Определите ее площадь и массу методом Монте - Карло.

3. Определите координаты центра масс пластины толщины h, ограниченной прямыми x = 0, y = 0, y = 4 - x², плотность которой равна ρ.

4. Пластина толщиной h имеет форму круга радиуса R. Ее плотность с ростом расстояния r до центра убывает по закону ρ(r) = ρ₀ (1,5 - r/R). Методом численного интегрирования определите момент инерции пластины относительно оси проходящей через ее центр и лежащей в ее плоскости.

5. Постройте кривую зависимости излучательной способности абсолютно черного тела от частоты при постоянной температуре T, выражаемую формулой Планка: f_ω (ω,T) = Aω³/ (e^Bω/T - 1), где A и B -- постоянные коэффициенты. Постройте график при различных T. Методом численного интегрирования найдите интегральную светимость абсолютно черного тела, взяв интеграл от f_ω (ω,T).

Задания для самостоятельной работы к теме 5

1. Температура группы элементов, находящихся в центре стержня, достаточно высока. Постройте график зависимости температуры от координаты и исследуйте изменение распределения температуры вдоль стержня c течением времени, если коэффициент температуропроводности во всех точках одинаков.

2. Решите предыдущую задачу для случая, когда стержень неоднороден, например, коэффициент температуропроводности его левой половины больше, чем правой.

3. Вблизи центра стержня имеется несколько источников тепла. Изучите изменение распределения температуры c течением времени, если стержень однороден.

4. Решите предыдущую задачу для случая, когда стержень неоднороден, то есть его коэффициент температуропроводности зависит от координаты.

5. Изучите распределение температуры вдоль стержня в случае, когда один конец охлаждается, а другой поддерживается при постоянной температуре.

6. Задайте источник тепла, мощность которого периодически изменяется с течением времени с очень низкой частотой. Промоделируйте тепловые волны.

7. Температура группы элементов, находящихся в центре пластины, достаточно высока. Исследуйте изменение распределения температуры c течением времени, если пластина однородная и изотропная.

8. Решите предыдущую задачу для случая, когда пластина неоднородна.

9. Промоделируйте нагревание неизотропной пластины источниками тепла, находящимися в центре.

10. Вблизи центра пластины имеется группа поглотителей тепла (источников тепла с отрицательной мощностью). Изучите изменение распределения температуры c течением времени.

11. Пластина с отверстием содержит источник тепла и поглотитель тепла. Изучите распределение температуры в различные моменты времени.

12. Температура группы элементов вблизи центра пластины поддерживается постоянной. Изучите распределение температуры, если пластина имеет источники тепла с положительной (отрицательной) мощностью.

14. Решите предыдущую задачу для случая, когда пластина анизотропна, то есть ее коэффициент температуропроводности зависит от направления.

Задания для самостоятельного решения к теме 7

1. Получите модель одиночной волны возбуждения. Для этого достаточно один из элементов активной среды перевести в возбужденное состояние.

2. Промоделируйте серию автоволн. Для этого необходимо, чтобы один из элементов совершал периодические колебания, то есть автоматически через заданное число шагов переходил в возбужденное состояние 1. Такой элемент называется осциллятором. Для получения серии автоволн следует активизировать строку с пометкой "Осциллятор 1".

3. Промоделируйте дифракцию автоволн. Для этого необходимо создать волну, на пути которой расположено препятствие, например, непрозрачный экран, состоящий из невозбуждающихся элементов, расположенных вдоль прямой и всегда находящихся в состоянии 0.

4. Изучите распространение автоволн в двумерной среде, содержащей два параллельно расположенных экрана или экран с отверстием. Пронаблюдайте анигиляцию автоволн, распространяющихся навстречу друг другу.

5. Промоделируйте эффект синхронизации, состоящий в том, что при наличии двух или более источников автоволн происходит их взаимодействие, в результате которого высокочастотные источники подавляют низкочастотные. В конце концов наступает синхронизация колебаний элементов среды: колебания происходят с частотой, равной частоте высокочастотного источника. Чтобы пронаблюдать это явление на экране компьютера, следует смоделировать два осциллятора, работающих на разных частотах. Для этого необходимо активизировать операторы с пометками "Осциллятор 1" и "Осциллятор 2".

6. Промоделируйте образование однорукавных спиральных волн. Спиральные волны образуются на краях фронта волны, поэтому для моделирования этого процесса необходимо в блоке начальных условий задать плоскую волну, фронт которой обрывается в середине экрана.

7. Промоделируйте образование двухрукавных спиральных волн.

8. Изучите зависимость частоты вращения однорукавной спиральной волны от параметров среды (r, s, h). Повторите этот вычислительный эксперимент для двухрукавной волны.

9. Промоделируйте взаимодействие спиральных автоволн с автоволнами, вырабатываемыми осциллятором, колеблющимся с низкой частотой.

10. Исследуйте распространение и анигиляцию одиночного импульса в одномерной активной среде.

11. Изучите распространение автоволн в одномерной активной среде при наличии осциллятора.

12. Промоделируйте распространение одиночного импульса в одномерной активной среде, последний элемент которой контактирует с первым.

13. Создайте компьютерную модель распространения автоволн в трехмерной активной среде.

Задания для самостоятельного решения к теме 8

1. На точку массы m действует скачкообразно изменяющаяся сила. Исследуйте движение точки, проанализируйте получившиеся графики зависимостей x = x(t), v_x = v_x (t), a_x = a_x (t).

2. Промоделируйте движение материальной точки, движущейся в вязкой среде под действием постоянной силы, направленной вдоль оси x: F_x = const>0 при начальных условиях x₀ = 0, v_x0 <0. Проанализируйте получающиеся графики x(t), v_x (t), a_x (t). Докажите, что время подъема камня, брошенного вертикально вверх, меньше времени спуска.

3. Создайте модель переходного процесса в цепи, содержащей резистор R и катушку индуктивности L, подключенные к источнику постоянного напряжения, при условии, что i₀ не равно 0. Исследуйте аналогичный переходный процесс в цепи, содержащей последовательно соединенные резистор и конденсатор.

4. Изучите движение колебательной системы в случае слабого затухания, когда r/2m<ω₀ = (k/m)^1/2. Убедитесь в том, что ускорение изменяется в противофазе с координатой, а скорость опережает координату на π/2, причем амплитуды колебаний x(t), v(t), a(t) уменьшаются по экспоненте. Проведите серию вычислительных экспериментов при различных начальных условиях системы.

5. Промоделируйте движение осциллятора в случае сильного затухания при r/2m>ω₀ = (k/m)^1/2. Убедитесь, что в этом случае движение будет апериодическим.

6. Исследуйте затухающие колебания тела, связанного с горизонтально расположенными пружинами и скользящего по поверхности стола, считая, что максимальная сила трения покоя равна силе трения скольжения μmg.

7. Промоделируйте работу сглаживающего RL - фильтра при подаче на него пульсирующего напряжения, получающиегося в результате однополупериодного выпрямления. Убедитесь в том, что с ростом индуктивности уменьшается коэффициент пульсаций тока и напряжения на резисторе. Изучите зависимость амплитуды пульсаций от индуктивности L, сопротивления нагрузки R и частоты импульсов ω.

8. Изучите работу интегрирующей цепи, состоящей из последовательно соединенных резистора и конденсатора, с которого снимается выходное напряжение. Видно, что при подаче на цепь прямоугольных импульсов заряд конденсатора, а значит и напряжение на нем, возрастает пропорционально интегралу от входного напряжения.

Так как в программе осуществляется деление на m (аналог индуктивности L ), то значение этого параметра должно быть очень малым, но не равным нулю.

9. Промоделируйте движение тела в вязкой среде (m, r не равны 0, k = 0), на которое в момент времени t₀ = 0 начинает действовать внешняя гармоническая сила F_x = F_m sin(ω t). Эта ситуация соответствует переходному процессу, происходящему при подключении активно - индуктивной нагрузки к источнику переменного напряжения. При t стремящемся к бесконечности переходный ток стремится к принужденному току, изменяющемуся с той же частотой, что и приложенная ЭДС и отстающему от нее на некоторую фазу.

10. Создайте программу, моделирующую процессы, происходящие в колебательной системе в случае, если на нее действует периодически изменяющаяся сила, частота которой пропорциональна времени: F_x (t) = F_msin(ω(1 + α t)t), где α >0. Значения ω и α подберите так, чтобы резонансная частота колебательной системы находилась в середине рабочего диапазона частот. На рисунке показан получающийся график зависимости x = x(t). Так как частота колебаний прямопропорциональна времени, то огибающая графика является амплитудо - частотной характеристикой колебательной системы, и называется резонансной кривой.

Задания для самостоятельного решения

1. Материальная точка массы m брошена под углом к горизонту в однородном поле тяжести. Изучите траекторию ее движения при отсутствии силы вязкого трения и при ее наличии.

2. Убедитесь в том, что время подъема материальной точки, движущейся под действием силы тяжести в вязкой среде, меньше времени спуска. Воспользуйтесь тем, что в наивысшей точке подъема проекция скорости на ось y меняет свой знак на противоположный.

3. Промоделируйте движение точки в поле центральных сил упругости F_x = - kx, F_y = - ky, в случае, когда на точку действует сила вязкого трения и когда она равна нулю. По какой траектории движется точка?

4. Исследуйте движение точки в поле сил притяжения, действующих по закону обратных квадратов F = GmM / r². Промоделируйте ситуации, в которых точка движется по гиперболе, параболе, эллипсу. Изучите характер движения искусственного спутника Земли, входящего в верхние слои атмосферы, на который действует сила вязкого трения.

5. Изучите движение точки в поле сил отталкивания. Промоделируйте опыт Резерфорда по отклонению альфа - частиц ядрами атомов золота. Меняя прицельный параметр, проведите серию компьютерных экспериментов.

6. Промоделируйте движение заряженной частицы в камере Вильсона, помещенной в однородное магнитное поле. Учтите, что по мере своего движения частица теряет кинетическую энергию. Магнитное поле направлено перпендикулярно плоскости экрана.

7. Исследуйте движение заряженной частицы в скрещенных электрическом и магнитном полях, направленных параллельно и перпендикулярно плоскости экрана соответственно.

8. Изучите движение материальной точки в гравитационном поле двух массивных тел. Проведите компьютерные эксперименты при заданных начальных координатах и скорости точки.

9. Задайте произвольное силовое поле F_x = F_x (x,y), F_y = F_y (x,y) и промоделируйте движение частицы в нем.

Задания для самостоятельной работы к теме 9

1. Промоделируйте распространение волны и ее отражение от закрепленного (незакрепленного) правого конца среды в случае, когда ее левый элемент совершает гармонические колебания.

2. Изучите распространение и отражение импульса в случае, когда левый элемент среды совершил полколебания.

3. Пронаблюдайте суперпозицию волн, испускаемых двумя элементами, колеблющимися с равными (различными) частотами и отстоящими друг от друга на расстояние a.

4. Промоделируйте возникновение стоячей волны при отражении гармонической волны от правого закрепленного (незакрепленного) конца шнура.

5. Изучите интерференцию двух цугов, распространяющихся навстречу.

6. Промоделируйте отражение одиночного импульса от границы раздела двух сред с различными скоростями распространения волн. Для этого необходимо задать различные значения a для левой и правой половинок шнура.

7. Используя модель, изучите зависимость длины волны от частоты.

Задания для самостоятельного решения к теме 10-11

1. Промоделируйте колебания двух связанных осцилляторов. Рассмотрите случаи: 1) на один из них действует вынуждающая сила; 2) один из осцилляторов имеет начальное смещение; 3) один из осцилляторов имеет начальную скорость. Выполните компьютерные эксперименты при различных k_i и q_i .

2. Изучите колебания трех связанных осцилляторов, рассмотрев все перечисленные выше случаи, выполнив компьютерные эксперименты при различных k_i и q_i .

3. Промоделируйте колебания 50 осцилляторов, связанных упругими связями, в случае, когда на левый крайний осциллятор подействовала кратковременная сила. Рассмотрите случаи, когда правый крайний осциллятор закреплен и незакреплен.

6. Промоделируйте распространение импульса вдоль цепочки осцилляторов, связанных упругими связями, в случае, когда их масса или жесткость пружин, начиная с некоторого осциллятора, изменяется скачком. Изучите изменение фазы импульса при его отражении от "более плотной" и "менее плотной" среды.

7. Изучите распространение импульса и его отражение от открытого или закрытого конца струны (одномерной упругой среды), которая моделируется 50 связанными осцилляторами.