Моделирование процесса теплопроводности

В качестве примера модели, в основе которой лежит уравнение матфизики, рассмотрим модель распространения тепла в однородном стрежне. Задача теплопроводности.

Процесс теплопроводности возникает, если тело неоднородно нагрето. Простейшая для изучения теплопроводности система - линейный однородный стержень. В простой модели боковая поверхность стержня считается теплоизолированной, т.е. через нее нет обмена теплом с окружающей средой.

Обозначим температуру стержня в точке с координатой х в момент времени t через u(x,t). Уравнение теплопроводности имеет вид

,

где а - коэффициент температуропроводности, зависящий в первую очередь от вещества, из которого сделан стержень.

Уравнение теплопроводности сопровождается начальными и краевыми условиями, делающими постановку задачи физически однозначной Напомню, что если для дифуравнения заданы начальные условия (условия в начальный момент времени), то такая задача называется задачей Коши, если же заданы краевые условия (на границах исследуемой области), то такая задача называется краевой задачей, если заданы и начальные и граничные условия, то мы имеем смешанную краевую задачу. Начальное условие задает распределение температуры в стержне в начальный момент времени (считаем его равным нулю):

u(x,0) = φ(x)

Краевые условия (их должно быть в данном случае два) указывают, в простейшем варианте, какая температура поддерживается на концах стержня:

u(0,t)=ψ₀(t), u(l,t)=ψ_l(t)

Заметим, что начальные и граничные условия должны быть согласованы, т.е.

u(0,0) = φ(0)=ψ₀(0)
u(l,0) = φ(l)=ψ_l(0)

Моделирование процесса теплопроводности связано с дискретизацией как временного изменения температуры, так и пространственного.

Введем равномерную прямоугольную сетку с помощью координатных линий

x_i=ih, i=0,1,....n,
t_j=jτ, j=0,1,....m,

где h - это шаг по пространству, по координате х, а τ - шаг по времени.

Значения функции в узлах сетки обозначим u_i^j=u(x_i,t_j).

Входящие в уравнение производные заменим их конечно-разностными аппроксимациями

получим

или

,

где
i=1,2,:.n-1,
j=0,1,:.m-1.

Получилась явная разностная схема, удобная в применении, но устойчивая лишь при выполнении условия

Это следует учитывать, выбирая шаги по времени и пространству.

Совокупность узлов в фиксированный момент времени называется слоем.

Построенная схема позволяет нам находить значение функции температур на j+1 слое через значения на j слое. Для начало счета при j=0 необходимо знать значения функции температур на нулевом слое. Они нам известны из начальных условий.

Если использовать другие конечно разностные соотношения для аппроксимации производных,

то получим существенно более устойчивую неявную схему

или

В отличие от явной схемы каждое разностное уравнение второй схемы содержит на каждом новом слое три неизвестные значения, которые невозможно определить сразу же, как мы поступали в явной схеме. При этом вторая разностная схема состоит из линейных трех точечных уравнений, т.е. каждое уравнение содержит неизвестную функцию в трех точках нового слоя. Такие системы линейных уравнений, системы с трехдиагональной матрицей, могут быть легко решены методом прогонки. Таким образом, в случае неявной схемы, чтобы посчитать значения функции температур в каждый следующий момент времени, т.е., чтобы перейти на следующий слой по времени, необходимо каждый раз решать методом прогонки линейную систему.

Это - система линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Для ее решения наиболее эффективен метод прогонки.

Так можно моделировать физические явления применяя математический аппарат во всей его мощи. Однако это довольно сложно. При моделировании явления теплопроводности можно пойти другим путем.

Пусть задана квадратная пластина, на краях которой известна температура. Требуется определить температуру во внутренних точках. Если предположить, что теплоотвода внутри нет, то можно смоделировать решение путем вычисления среднего значения T=(t1+t2+t3+t4)/4.

Однако это очень грубое приближение, ведь в разных точках пластины температура различна.

Разобьем квадрат на четыре части и для каждого малого квадратика применим ту же процедуру:

T11 = (t1 + T12 + T21 + t4)/4
T12 = (t1 + T11 + T22 + t2)/4
T21 = (t4 + T11 + T22 + t3)/4
T22 = (t2 + T21 + T12 + t3)/4

Или в другом виде

4T11 - T12 - T21 = t1 + t4
-T11 + 4T12 - T22 = t1 + t2
-T11 + 4T21 - T22 = t3 + t4
-T12 - T21 + 4T22 = t2 + t3

который представляет систему линейных уравнений относительно неизвестных T11, T

Модели биологических и экологических систем. Моделирование в биологии, химии, медицине, экологии. Принципы выбора объектов для моделирования. Модели распространения эпидемий и динамики развития популяций.

Экологические модели

Экология - одно из слов, появившихся сравнительно недавно у всех на устах и на стра-ницах газет и журналов. Еще в 60-х годах нашего столетия почти никто, кроме узких специалистов, его не знал, да и большинство из тех, кто знал, использовал в таком смысле, который вряд ли способен заинтересовать широкую общественность. А между тем, термину более 120 лет.

В 1869 г. немецкий естествоиспытатель Эрнст Геккель предложил составной термин "экология" ("эко" - дом, жилище, местопребывание и "логос" - наука, знание) как название раздела биологии, ставшего самостоятельным. Классическая экология - наука о взаимодействии организмов и окружающей среды. Сегодня, говоря об экологии, чаще всего имеют в виду не классическую, а, так называемую, социальную экологию, оформившуюся как научное направление и направление общественно-политической деятель-ности на 100 лет позднее, и занимающуюся проблемами охраны окружающей среды, взаимодействием с ней человеческого сообщества.

Ограничимся некоторыми классическими моделями "старой" экологии, что обусловлено следующими причинами. Во-первых, они достаточно просты и изучены, постановка их вполне очевидна и в познавательном плане интересна и полезна. Во-вторых, модели распространения загрязнений окружающей среды требуют использования весьма сложного математического аппарата, да и сами еще не вполне устоялись. Проблемы охраны окружающей среды чрезвычайно важны, но их обсуждение выходит за пределы нашего курса. Однако, для того, чтобы дать представление о задачах, стоящих перед современными исследователями в этой области, в следующем параграфе приведено описание одной из глобальных моделей, пытающихся выяснить пути взаимодействия экосистемы планеты с индустриальной и экономической системами современного общества.

Остановимся на некоторых понятиях, которые будут встречаться в этой главе. Под особью понимается отдельный индивидуум, отдельный организм. Популяция - это совокупность особей одного вида, существующих в одно и то же время и занимающих определенную территорию. И, наконец, сообщество - это совокупность совместно сосуществующих популяций.

В классической экологии рассматриваются взаимодействия нескольких типов:

• взаимодействие организма и окружающей среды;
• взаимодействие особей внутри популяции;
• взаимодействие между особями разных видов (между популяциями).

Математические модели в экологии используются практически с момента возникнове-ния этой науки. И, хотя поведение организмов в живой природе гораздо труднее адекватно описать средствами математики, чем самые сложные физические процессы, модели помогают установить некоторые закономерности и общие тенденции развития отдельных популяций, а также сообществ. Кажется удивительным, что люди, занимающиеся живой природой, воссоздают ее в искусственной математической форме, но есть веские причи-ны, которые стимулируют эти занятия. Вот некоторые цели создания математических моделей в классической экологии.

1. Модели помогают выделить суть или объединить и выразить с помощью нескольких параметров важные разрозненные свойства большого числа уникальных наблюдений, что облегчает экологу анализ рассматриваемого процесса или проблемы.
2. Модели выступают в качестве "общего языка", с помощью которого может быть описано каждое уникальное явление, и относительные свойства таких явлений становятся более понятными.
3. Модель может служить образцом "идеального объекта" или идеализированного поведения, при сравнении с которым можно оценивать и измерять реальные объекты и процессы.
4. Модели действительно могут пролить свет на реальный мир, несовершенными ими-тациями которого они являются.

При построении моделей в математической экологии используется опыт математиче-ского моделирования механических и физических систем, однако с учетом специфических особенностей биологических систем:

• сложности внутреннего строения каждой особи;
• незамкнутости экологических систем;
• огромного диапазона внешних характеристик, при которых сохраняется жизнеспособность систем.

Привлечение компьютеров существенно раздвинуло границы моделирования экологи-ческих процессов. С одной стороны, появилась возможность всесторонней реализации сложных математических моделей, не допускающих аналитического исследования, с другой - возникли принципиально новые направления, и, прежде всего - имитационное моделирование.