Системы счисления. Позиционная система счисления

Система счисления – совокупность правил наименования, и изображения чисел с помощью набора символов, называемых цифрами. Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа.

Системы счисления делится на: позиционные и непозиционные. Пример непозиционной системы счисления – римская, к позиционным системам счисления относятся двоичная, десятичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.

В позиционной системе счисления любое число записывается последовательностью символов соответствующего алфавита, причем значение каждого символа зависит от места (позиции), которое он занимает в этой последовательности. Например, в записи 555,5₁₀, сделанной в десятичной системе счисления (подстрочные индекс 10 применим для указания, в какой системе счисления записано число), использована одна цифра 5, но в зависимости от занимаемого места она имеет разное количественное значение – 5 единиц, 5 десятков, 5 сотен. Поэтому справедливо следующее равенство: 555,5₁₀ = 5^.10²+5^.10¹+5^.10⁰+5^.10^-1.

Основанием системы счисления, обозначаемым буквой p, называется количество различных символов (цифр), используемых в каждом из разрядов числа для его изображения в данной системе счисления.

Для этого, чтобы найти представление десятичногочисла в любой другой системе счисления (перевести), следует воспользоваться последовательным целочисленным делением на основание системы счисления, в которой представляют (т.е. в которую переводят), при этом в определенном порядке выписывая остатки от целочисленного деления.

Для возврата в десятичную систему счисления требуется воспользоваться формулой:

, (1)

где A₁₀ – количественный эквивалент в десятичной системе счисления числа А_р, представленного в другой системе счисления с основанием равным р, и, состоящего из п разрядов со значением а_i в каждом разряде соответственно.

1.6. Связь чисел двоичной системы счисления, десятичной
и шестнадцатеричной

Представление чисел десятичной системы счисления

В двоичной

Пусть, например, требуется найти представление десятичногочисла 71₁₀ в двоичной системе счисления. Для этого следует воспользоваться последовательным целочисленным делением на основание системы счисления, то есть разделить 71 и каждое получающееся частное на основание системы, в которое переводим число, то есть в данном случае на два (р=2), при этом записывая остатки после деления. Деление требуется осуществлять до тех пор, пока частное деления не будет равно нулю. Далее, в направлении, указанном стрелкой, начиная с последнего частного, фиксируем все остатки. Для наглядности составим вспомогательную таблицу, в которой последовательно «в столбик» будем осуществлять целочисленное деление на два, а остаток от деления выписывать слева.

Таким образом, результатом целочисленного деления является столбик разрядов-ячеек из нулей и единиц, причем самая верхняя ячейка есть младший разряд двоичного кода (записывается справа), а самая нижняя ячейка отличная от нуля есть старший разряд кода (записывается слева), то есть 71₁₀ = 1000111₂. Чтобы данный двоичный код уписывался в стандартный формат байта с левой стороны допускается дописывать бесконечное количество нулей 71₁₀ = 01000111₂.

Рис. 1.5. Последовательное целочисленное деление
на основание двоичное системы счисления (р=2)