Логическое совпадение(эквивалентность)
Соединение двух простых высказываний А и В в одно сложное с использованием оборота “…тогда и только тогда, когда …” называется эквивалентностью.
В литературе операция импликации обозначается как ↔или ~.
Пример: высказывание А=”Х – четное число”,
высказывание В=”Х делится без остатка на два”,
эквивалентность A↔ B = “ Х – четное число тогда и только тогда, когда Х делится без остатка на два ”.
ЭквивалентностьA↔ B будет истинна только тогда, когда истинны или ложны оба составляющие ее высказывания одновременно:
| A | B | A↔ B |
Эквивалентность можно представить через операции НЕ, И, ИЛИ:
A↔ B ≡ 
& 
+ A&В
Логические функции И, ИЛИ, НЕ образуют полную систему функций или базис – систему логических функций, позволяющую строить логические функции любой сложности.
Логические высказывания, объединенные логическими функциями, образуют переключательные функции – они, как и входящие в них аргументы, могут принимать только два значения – истина (1) или ложь (0).
Среди переключательных функций особое место занимают тавтологии – переключательные функции, значение которых истинно для любых значений входящих в них аргументов. Тавтологии выражают основные законы алгебры логики:
· закон исключенного третьего
· закон противоречия
· закон двойного отрицания
· закон де Моргана
· закон контрапозиции
· закон расширенной контрапозиции
· закон перестановки посылок
· закон силлогизма
Закон исключенного третьего
Этот закон выражается тавтологией:
А + 
≡ 1
логическая сумма высказывания и его отрицания всегда истинна.
Закон исключенного третьего можно проверить таблицей истинности:
| А | | А+ |
Известна и латинская формулировка этого закона: “Tertium non datur”, что в переводе означает “Третьего не дано”.
Пример: высказывание А=”Сегодня пятница”,
высказывание =”Сегодня НЕ пятница”,
дизъюнкция этих высказываний А+ = “ Сегодня пятница ИЛИ сегодня НЕ пятница ”.
“НЕ пятница” означает любой другой день недели, кроме пятницы. Значит, сложное высказывание А+ говорит о том, что сегодня пятница ИЛИ любой другой день недели – оно всегда истинно. День недели – это или пятница, или НЕ пятница – третьего варианта не будет. Поэтому этот закон называется законом исключенного третьего.
Закон гласит о том, что любое событие либо состоится, либо его не будет, но какой-то из этих двух вариантов обязательно произойдет.
Закон противоречия
Этот закон выражается тавтологией:
А & ≡ 0
логическое произведение высказывания и его отрицания всегда ложно.
Закон противоречия третьего можно проверить таблицей истинности:
| А | | А& |
Пример: высказывание А=”Сегодня пятница”,
высказывание =”Сегодня НЕ пятница”,
конъюнкция этих высказываний А& = “ Сегодня пятница И сегодня НЕ пятница ”.
Сложное высказывание А& всегда ложно – не может быть в один и тот же день и пятница, и НЕ пятница, то есть любой другой день недели. Это абсурд, нонсенс, противоречие.
Закон двойного отрицания
Этот закон выражается тавтологией:
≡ А
двойное отрицание высказывания эквивалентно самому высказыванию.
Закон двойного отрицания можно проверить таблицей истинности:
| А | | |
Пример: высказывание А=”Сегодня пятница”,
высказывание =”Сегодня НЕ пятница”,
высказывание = “ Неверно, что сегодня НЕ пятница ”.
Высказывание “ Неверно, что сегодня НЕ пятница ” полностью эквивалентно исходному высказыванию ”Сегодня пятница”.
Закон контрапозиции
Этот закон выражается тавтологией:
(A=>B) ≡ ( 
=> )
если из одного высказывания следует второе высказывание, то из отрицания второго высказывания следует отрицание первого высказывания.
Закон контрапозиции находит широкое применение в косвенных доказательствах “отпротивного”.
Пример: высказывание А=”Сегодня пятница”,
высказывание В=”Завтра суббота”,
высказывание A=>B = “ Если сегодня пятница, то завтра суббота”.
высказывание => = “Если завтра НЕ суббота, то сегодня НЕ пятница”.
Последнее высказывание эквивалентно высказыванию “ Если сегодня пятница, то завтра суббота”.