Билет № 8 Взаимосвязь систем счисления с основаниями 2, 8, 16.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно

Перевод чисел между системами счисления, основания которых являются степенями числа 2 (q = 2ⁿ), может производиться по более простым алгоритмам. Такие алгоритмы могут применяться для перевода чисел между двоичной (q = 2¹), восьмеричной (q = 2³) и шестнадцатеричной (q = 2⁴) системами счисления.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную. Для записи двоичных чисел используются две цифры, то есть в каждом разряде числа возможны 2 варианта записи. Решаем показательное уравнение:

2 = 2ⁱ . Так как 2 = 2¹, то i = 1 бит.

Каждый разряд двоичного числа содержит 1 бит информации.

Для записи восьмеричных чисел используются восемь цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 8 вариантов записи. Решаем показательное уравнение:

8 = 2ⁱ . Так как 8 = 2³, то i = 3 бита.

Каждый разряд восьмеричного числа содержит 3 бита информации.

Таким образом, для перевода целого двоичного числа в восьмеричное его нужно разбить на группы по три цифры, справа налево, а затем преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру. Если в последней, левой, группе окажется меньше трех цифр, то необходимо ее дополнить слева нулями.

Переведем таким способом двоичное число 101001₂ в восьмеричное:

101 001₂ => 1  2² + 0  2¹ + 1  2⁰ 0  2² + 0  2¹ + 1  2⁰ => 51₈.

Для упрощения перевода можно заранее подготовить таблицу преобразования двоичных триад (групп по 3 цифры) в восьмеричные цифры:

Двоичные триады
Восьмеричные цифры

Для перевода дробного двоичного числа (правильной дроби) в восьмеричное необходимо разбить его на триады слева направо и, если в последней, правой, группе окажется меньше трех цифр, дополнить ее справа нулями. Далее необходимо триады заменить на восьмеричные числа.

Например, преобразуем дробное двоичное число А₂ = 0,110101₂ в восьмеричную систему счисления:

Двоичные триады
Восьмеричные цифры

Получаем: А₈ = 0,65₈.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную. Для записи шестнадцатеричных чисел используются шестнадцать цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 16 вариантов записи. Решаем показательное уравнение:

16 = 2ⁱ . Так как 16 = 2⁴, то i = 4 бита.

Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита информации.

Таким образом, для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное его нужно разбить на группы по четыре цифры (тетрады), начиная справа, и, если в последней левой группе окажется меньше четырех цифр, дополнить ее слева нулями. Для перевода дробного двоичного числа (правильной дроби) в шестнадцатеричное необходимо разбить его на тетрады слева направо и, если в последней правой группе окажется меньше четырех цифр, то необходимо дополнить ее справа нулями.

Затем надо преобразовать каждую группу в шестнадцате-ричную цифру, воспользовавшись для этого предварительно составленной таблицей соответствия двоичных тетрад и шестнадцатеричных цифр.

Переведем целое двоичное число А₂ = 101001₂ в шестнадцатеричное:

Двоичные тетрады
Шестнадцатеричные цифры

В результате имеем: А₁₆ = 29₁₆.

Переведем дробное двоичное число А₂ =0,110101₂ в шестнадцатеричную систему счисления:

Двоичные тетрады
Шестнадцатеричные цифры	D

Получаем: А₁₆ = 0,D4₁₆.

Для того чтобы преобразовать любое двоичное число в восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления, необходимо произвести преобразования по рассмотренным выше алгоритмам отдельно для его целой и дробной частей.

2 .Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную. Для перевода чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную необходимо цифры числа преобразовать в группы двоичных цифр. Для перевода из восьмеричной системы в двоичную каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных цифр (триаду), а при преобразовании шестнадцатеричного числа - в группу из четырех цифр (тетраду).

Например, преобразуем дробное восьмеричное число А₈ = 0,47₈ в двоичную систему счисления:

Восьмеричные цифры
Двоичные триады

Получаем: А₂ = 0,100111₂ .

Переведем целое шестнадцатеричное число А₁₆ = АВ₁₆ в двоичную систему счисления:

Шестнадцатеричные цифры	А	В
Двоичные тетрады

В результате имеем: А₂ = 10101011₂

Алгоритмы

Алгоритм -точное и понятное описание последовательности действий, выполнение которых обязательно приведёт к решению поставленной задачи.

Основными свойствами алгоритмов являются:

1. Универсальность (массовость) - применимость алгоритма к различным наборам исходных данных.

2. Дискретность - процесс решения задачи по алгоритму разбит на отдельные действия.

3. Однозначность - правила и порядок выполнения действий алгоритма имеют единственное толкование.

4. Конечность - каждое из действий и весь алгоритм в целом обязательно завершаются.

5. Результативность- по завершении выполнения алгоритма обязательно получается конечный результат.

6. Выполнимость - результата алгоритма достигается за конечное число шагов.

Алгоритм считается правильным, если его выполнение дает правильный результат. Соответственно алгоритм содержит ошибки, если можно указать такие допустимые исходные данные или условия, при которых выполнение алгоритма либо не завершится вообще, либо не будет получено никаких результатов, либо полученные результаты окажутся неправильными.

Выделяют три крупных класса алгоритмов:

- вычислительныеалгоритмы, работающие со сравнительно простыми видами данных, такими как числа и матрицы, хотя сам процесс вычисления может быть долгим и сложным;

- информационные алгоритмы, представляющие собой набор сравнительно простых процедур, работающих с большими объемами информации (алгоритмы баз данных);

- управляющие алгоритмы, генерирующие различные управляющие воздействия на основе данных, полученных от внешних процессов, которыми алгоритмы управляют.

Для записи алгоритмов используют самые разнообразные средства. Выбор средства определяется типом исполняемого алгоритма. Выделяют следующие основные способы записи алгоритмов:

- вербальный, когда алгоритм описывается на человеческом языке;

- символьный, когда алгоритм описывается с помощью набора символов;

- графический, когда алгоритм описывается с помощью набора графических изображений.

Описание алгоритма с помощью блок схем осуществляется рисованием последовательности геометрических фигур, каждая из которых подразумевает выполнение определенного действия алгоритма. Порядок выполнения действий указывается стрелками. Написание алгоритмов с помощью блок-схем регламентируется ГОСТом. Внешний вид основных блоков, применяемых при написании блок схем, приведен на рисунке:

В зависимости от последовательности выполнения действий в алгоритме выделяют алгоритмы линейной, разветвленной и циклической структуры.

В алгоритмах линейной структуры действия выполняются последовательно одно за другим:

В алгоритмах разветвленной структуры в зависимости от выполнения или невыполнения какого-либо условия производятся различные последовательности действий. Каждая такая последовательность действий называется ветвью алгоритма.

В алгоритмах циклической структуры в зависимости от выполнения или невыполнения какого-либо условия выполняется повторяющаяся последовательность действий, называющаяся телом цикла. Вложенным называется цикл, находящийся внутри тела другого цикла. Различают циклы с предусловием и послеусловием:

Основные управляющие структуры алгоритмов. Приметы задач. Примеры трассировки алгоритмов.

1. линейные- операторы выполняются последовательно.

2. ветвление .-

3. циклы

С предусловием . С постусловием

Трассировка- отслеживание значения переменных на каждом этапе цикла.

11.

Модель - упрощенное представление о реальном объекте, процессе или явлении.

Модель - это, как правило, искусственно созданный объект в виде схемы, математических формул, физической конструкции, наборов данных и алгоритмов их обработки и т.п.

Моделирование- это воспроизведение некоторых характеристик одного объекта на некотором другом объекте, специально созданном для изучения этих характеристик.

12. пример задачи моделирования случайных процессов на примере системы массового обслуживания.

Случ числа [0;1) (1*(0+1) А max 10		Промежутки (мин)	А
В max 5		Длительность обслуживания	В
Время прихода I клиента = время прихода предыдущего клиента + промежуток между приходом след клиента C[I]		Условное время прихода	С
D[i]= max (E[I-1]; C[I])		Момент начала обслуживания	D
E[I]= D[I]+B[I]		Конец обслуживания	E
F[I]=E[I]-C[I]		Время, проведенное в системе	F
G[I]= F[I]-B[I]		Время, проведенное в очереди	G
H[I]= D[I]-E[I]		Время ожидания клиентов	H

Исследование модели:

1.найти критическую ситуацию, когда неограниченно растет очередь.(А max; В max изменится)

2.определить, когда система будет простаивать.

ВОПРОС 13.Классификация моделей.

1. Материальные - воспроизводят геометрические и физические свойства оригинала и всегда имеют реальное воплощение (детские игрушки, наглядные учебные пособия, макеты, модели автомобилей и самолетов и прочее).

a) геометрически подобные масштабные, воспроизводящие пространственно- геометрические характеристики оригинала безотносительно его субстрату (макеты зданий и сооружений, учебные муляжи и др.);

b) основанные на теории подобия субстратно подобные, воспроизводящие с масштабированием в пространстве и времени свойства и характеристики оригинала той же природы, что и модель, (гидродинамические модели судов, продувочные модели летательных аппаратов);

c) аналоговые приборные, воспроизводящие исследуемые свойства и характеристики объекта оригинала в моделирующем объекте другой природы на основе некоторой системы прямых аналогий (разновидности электронного аналогового моделирования).

2. Информационные - совокупность информации, характеризующая свойства и состояния объекта, процесса, явления, а также их взаимосвязь с внешним миром).

Строение информационной модели:

- характеристики(параметры) объекта

- связи между ними

ПРИМЕР: модель равномерного прямолинейного движения

Параметры: скорость v время t путь S

Связь между ними: S=v*t

А) Вербальные - словесное описание на естественном языке).

В) Знаковые- информационная модель, выраженная специальными знаками (средствами любого формального языка).

- Математические - математическое описание соотношений между количественными характеристиками объекта моделирования.

- Графические - карты, чертежи, схемы, графики, диаграммы, графы систем.

- Табличные - таблицы: объект-свойство, объект-объект, двоичные матрицы и так далее.

3. Идеальные – материальная точка, абсолютно твердое тело, математический маятник, идеальный газ, бесконечность, геометрическая точка и прочее...

А) Неформализованные модели - системы представлений об объекте оригинале, сложившиеся в человеческом мозгу.

В) Частично формализованные.

- Вербальные - описание свойств и характеристик оригинала на некотором естественном языке (текстовые материалы проектной документации, словесное описание результатов технического эксперимента).

- Графические иконические - черты, свойства и характеристики оригинала, реально или хотя бы теоретически доступные непосредственно зрительному восприятию (художественная графика, технологические карты).

- Графические условные - данные наблюдений и экспериментальных исследований в виде графиков, диаграмм, схем.

ВОПРОС 14. Прямой, обратный, дополнительный коды. Их назначение, правила

представления чисел. Сложение в прямом, обратном и дополнительном кодах.

Прямой код

Положительное число в прямом коде не меняет своего изображения, записывается в знаковой части 0.

ПРИМЕР: А=27 [А]пр.к.=? = [А]пр.к.= 0 11011

Отрицательное число так же не изменяет своего изображения, записывается в знаковой части 1.

ПРИМЕР: А=-27 [А]пр.к.=? = [А]пр.к.=1 11011

Сложение в прямом коде:

А)складываем числа одного знака

Б)результат сложения представляется в прямом коде

В)знаковые разряды не складываются

Г)единица переноса из старшего цифрового разряда в знаковые не учитывается

ПРИМЕР: -18-15= -33 подсчитывается количество разрядов необходимых для представления чисел

|А|+|В|< n-количество разрядов |-18|+|-15|=33 33< n-1=6 n=7раз

А= = -10010= - 0010010 В= = -1111= 0001111 = С 1 0100001 = -33

Обратный код

Положительное число в обратном коде не меняет своего изображения, записывается в знаковой части 0.

ПРИМЕР: А=27 [А]об.к.=? = [А]об.к.= 0 11011

При Отрицательном числе все разряды меняются на противоположные

ПРИМЕР: А=-27 [А]об.к.=? = [А]об.к.=1 00100

Сложение в обратном коде:

А)Складываем числа любых знаков

Б)результат представляется в обратном коде

В)знаковые разряды складываются

Г)единицапереноса из старшего разряда прибавляется к знаковому

Д)единицапереноса из знакового разряда прибавляется к младшему числовому заряду

ПРИМЕР: -25-10=-35 n=7 А= -25 = -11001 = -0011001 = 1 1100110 В= -10= -1010= -0001010= 1 1110101

= 1 1011011 = 1 1011100 С= 1 1011100= 0 0100011 = -35

Дополнительный код

Положительное число в дополнительном коде не меняет своего изображения, записывается в знаковой части 0.

ПРИМЕР: А=27 [А]д.к.=? = [А]д.к.= 0 11011

В отрицательном числе все разряды меняются на противоположные кроме последней значащей цифры и следующей за ней незначащих разрядов, записывается в знаковой части 1.

ПРИМЕР: А=-27 [А]д.к.=? = [А]д.к.=1 00101

Значащие 1; Незначащие 0;

ПРИМЕР: [-10100 ] =1 01100

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ КОД ПОЛУЧАЕТСЯ ПРИБАВЛЕНИЕМ ЕДИНИЦЫ К ПРЕДСТАВЛЕНИЮ ЕДИНИЦЫ В ОБРАТНОМ КОДЕ:

[А]об.к.=1 00100+1 = [В]д.к. 1 00101

Сложение в дополнительном коде: А)Складываем числа любых знаков

Б)результат представляется в дополнительном коде

В)знаковые разряды складываются

Г)единицапереноса из старшего разряда прибавляется к знаковому

Д)единицапереноса из знакового разряда прибавляется к младшему числовому заряду

|-18|+|-15|=33 33< n-1=6 n=7раз

А= = -10010= - 0010010= 1 1101110 В= =1111= 0001111

А+В=С С = - 1 1111101 С= -0 0000011

ВОПРОС 15. 16. Логические основы функционирования ЭВМ. Логический элемент «И». Логический элемент «ИЛИ». Логический элемент «НЕ». Таблицы истинности. Примеры построения электрических схем по заданной функции.

«И»: AND & Конъюнкция (логическое умножение)

«ИЛИ» : Дизъюнкция (логическое сложение)

«Исключающие или»: XOR Сложение по модулю 2

«НЕ» трицание

А	В	А В	А В	А В

Основные логические элементы

И Или XOR не и - не или – не

ПРИМЕР: составить схему для устройства управления кондиционерами. Система устранения управления кондиционерами состоит из 2 кондиционеров: маломощного и мощного. Кондиционер малой мощности включается при t=19 , мощный включается при t=22, маломощный при этом отключается.

Оба кондиционера включаются при t=30

Z1, Z2, Z3 –сигналы датчиков при t= 19,22,30. 1.Составим таблицу истинности:

t	Z1	Z2	Z3	W1	W2
T<19
[19,22)
[22,30)
t 30

W1, W2 – сигналы уп

разветвления кондиционерами.

Входы Выходы

2.Составим логические выражения для каждого входа:

W2=z1 z2 W1=z1ˑ ˑ +z1ˑz2ˑz3

3. Составим схемы:

&

w2

&

&

&

&

w1

z1 z2 z3