Примеры расчетов на будущее

ПРИМЕР 1

«Я пришла к тебе против своей воли,– сказала она твердым голосом,– но мне велено исполнить твою просьбу. Тройка, семерка и туз выиграют тебе сряду...»

Вероятность события, предсказанного пушкинской «пиковой дамой», легко подсчитать с помощью классической формулы. Общее число равновозможных шансов при этом будет равно количеству всех вариантов, в которых могут быть взяты три любые карты из колоды. Считая, что в колоде Германна было 52 карты, это число равно количеству сочетаний из 52 по 3. Заглянув в учебник или справочник по математике, с помощью формул комбинаторики – раздела математики, изучающего комбинации перестановки предметов, получаем 44 200 сочетаний. Числом благоприятствующих шансов здесь будет количество возможных вариантов, включающих заветные карты из той же колоды. Например, сначала какую-нибудь одну из четырех троек, затем одну из четырех семерок, наконец, один из четырех тузов. Годится и любой другой порядок – он значения для Германна не имеет. Общее число таких благоприятствующих сочетаний равно 12.

Применив классическую формулу, получим:

Пушкин совершенно правильно оценил ситуацию: при такой ничтожной вероятности Германн мог рассчитывать только на чудо...

С помощью классической формулы легко подсчитать, например, вероятность такого обычно небезразличного нам события, как выигрыш в лотерею.

Вот типичный пример условий денежно-вещевой лотереи. На каждый разряд, включающий 10 000 лотерейных билетов, приходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Какова вероятность выиграть деньги, вещь или хоть что-нибудь по одному лотерейному билету? Решение столь простой задачи под силу ученику начальной школы, стоит лишь применить классическую формулу:

В последнем расчете мы суммируем в числителе дроби, так как число благоприятствующих шансов складывается из количества денежных и вещевых выигрышем.

Несколько сложнее дело обстоит с числовой лотереей, примером которой может служить некогда популярное у нас спортлото. Здесь не все отдано на откуп случаю: каждый участник может избирать номера для вычеркивания по своему полному усмотрению. Участники спортлото как бы играют друг с другом. Однако, как мы сейчас убедимся, и здесь места для случая остается вполне достаточно.

Какова, например, в числовой лотерее вероятность вычеркнуть правильно все 6 номеров из 49? Подсчитано, что вычеркивание 6 цифр из 49 может быть произведено почти 14 миллионами различных способов (точная цифра 13 983 816). Следовательно, вероятность единственного правильного вычеркивания равна

Отгадать 5 цифр – это значит указать ошибочно одну из нужных шести. Такую ошибку можно сделать 258 способами. Значит, именно таковы шансы, благоприятствующие угадыванию 5 номеров. А вероятность этого события по классической формуле равна

Четыре номера угадает, естественно, значительно больше людей, число благоприятствующих шансов повышается здесь до 13 545. И вероятность, соответственно, будет выше:

И наконец, вероятность угадать три номера равна

Все это ничтожно мало. Но зато в утешение любителей подобных лотерей теория вероятностей может несколько поднять их шансы на выигрыш (не зря ведь вероятность – мера надежды). Вычеркивая цифры, мы обычно не следим за тем, какую долю составляют среди вычеркнутых однозначные. И порой таких оказывается половина, а то и больше. Так делать не следует. Ведь из 49 цифр карточки однозначных всего 9. И следовательно, вероятность выпадания на них выигравшего номера составляет всего

, или 18,4%.

Эту цифру легко проверить, взяв подряд 100 номеров, выигравших в спортлото. Из них около 18 будут однозначными. Значит, вычеркивать цифры тоже нужно с учетом этой вероятности: если у вас одна карточка, из шести вычеркнутых цифр лишь одна должна быть однозначной; если десять карточек, то на девяти вычеркивать по одной однозначной цифре, а на десятой – две.

На непосредственном подсчете основано и свойственное всем людям интуитивное определение вероятности. Скажем, нас спрашивают, что вероятнее, отгадать в спортлото правильно 3 или 4 номера? Мы, не задумываясь, без всякого расчета отвечаем – три. (Правда, мы вряд ли сможем сообразить без расчетов, что для трех номеров вероятность выше почти в 20 раз!)

Вот еще несколько примеров, когда интуиция оказывается несостоятельной.

ПРИМЕР 2

Теория вероятностей утверждает, что случайные события, те, которые мы стремимся предсказать, иногда могут происходить довольно часто. Можно произвести такой опыт. Если в вашей учебной группе юношей и девушек примерно поровну, попытайтесь предугадать, кто сейчас первым войдет в помещение: он или она? Сказав «он», вы рискуете ошибиться лишь в половине всех случаев – около 50 % ваших предсказаний обязательно оправдаются.

Зато если вы рискнете предсказать, что оба вошедших подряд окажутся юношами, вероятность резко упадет и окажется равной всего 25 % (по теореме умножения 0,5 х 0,5). Ваше предсказание сбудется лишь в одном случае из четырех.

Существует, однако, нехитрый способ добиться значительного увеличения числа «вещих» предсказаний. Для этого нужно только загадать, кто войдет, несколько по-иному: если вы будете утверждать, что юношей окажется не меньше, чем один из нескольких вошедших подряд, то это ваше предсказание имеет значительно больше шансов на успех. Расчет, сделанный по правилам теории вероятностей, показывает, что вероятность увидеть хотя бы одного юношу из пяти вошедших равна 93 %. Делая такое предсказание, вы практически ничем не рискуете – оно сбудется наверняка.

С высокой точностью сбудется также и предсказание прихода не менее двух юношей (или, если хотите, девушек – это в подобных задачах не имеет значения) из пяти вошедших. Вероятность этого события равна 81 %. Тоже высокая вероятность.

И даже предсказывая, что из пяти человек не менее трех окажутся лицами названного вами пола, вы все еще сохраняете шансы прослыть пророком – вероятность 50 %.

Приведем для разных случаев маленькую, но полезную табличку, взятую из теории вероятностей (табл. 8.5).

Таблица 8.5

Вероятности прихода предсказанного количества мужчин или женщин (в %)

	Предсказанное количество мужчин или женщин	Количество вошедших
	Не менее 1
	Не менее 2
	Не менее 3
	Не менее 4
	Не менее 5

Посмотрев табличку, вы можете уверенно предсказать, например, что из пяти вошедших будет не менее двух мужчин (или женщин). Вероятность этого события очень большая – 81 %. В восьми случаях из десяти ваше предсказание сбудется.

Этот пример поможет нам приоткрыть один из профессиональных секретов гадалок и прочих прорицателей. Предположим, гадалка предсказывает пять каких-то событий, которые могут равно как произойти, так и не произойти – точно так же, как в одинаковой степени могут войти мужчина и женщина. Такими предсказаниями могут быть, например, «приятная встреча», «лихой недруг», «дальняя дорога», «получение известия», «нечаянная радость» и т. п.

Вероятность того, что сбудутся все пять предсказаний, как показывает расчет, исключительно мала – всего 3,1 %. Но легковерному человеку вполне достаточно, если состоится хотя бы не менее двух-трех из них. Заметьте, не менее – это может быть и два, и три, и четыре, и даже пять. А такое количество пророчеств – мы уже знаем – происходит с высокой вероятностью – 81 %. Поэтому-то часть сделанных гадалкой предсказаний обычно и сбывается. А легковерные люди и не подозревают, что приобщились к «таинствам» теории вероятностей.

Помимо математической стороны дела есть и не менее важные причины психологического происхождения. Вот некоторые из них. Прорицатели, как правило, люди наблюдательные. Вороша карты или перемешивая кофейную гущу, они нет-нет да и ненароком бросят взгляд на доверчивого клиента. Не болезненный ли у него вид («лихой недуг»), не горит ли его взор лихорадочным ожиданием («нечаянная радость»)? Богатый профессиональный опыт подсказывает гадалке, что, кому и как говорить. Не последнюю роль играет и чутье, интуиция. Предсказатели издавна эксплуатируют и то, что человеку свойственно принимать желаемое за действительное. Оракул так формулирует свое откровение, что понимать его можно самым различным образом – как хочется «заказчику». Вспомним предсказание, сделанное дельфийским оракулом Крезу: «Если ты нападешь на персов, великое государство погибнет». Очень уж хотелось Крезу разрушить чужое государство. Вот он и поверил. А государство-то погибло его собственное.

Из множества сделанных предсказаний люди запоминают обычно лишь те, что сбылись. Несбывшиеся пророчества в памяти людей, как правило, не сохраняются. Но стоит сбыться нескольким предсказаниям из множества сделанных, как это немедленно поднимается суеверными людьми на щит, обрастает фантастическими подробностями, обретает достоверность «факта».

ПРИМЕР 3

Какова вероятность совпадения дней рождения у любых двух человек, например, из вашей группы в 30 студентов?

На первый взгляд кажется, что поскольку в году 365 дней, то возможность такого совпадения

весьма невелика, что-нибудь около = 0,08, или 8 %. Это грубая ошибка. На самом деле следует рассуждать так.

Вначале определим вероятность празднования дня рождения какого-нибудь студента в один из дней года. Здесь число всех возможных случаев – это число возможных дней рождения в году – 365. Число интересующих нас случаев – дней рождения одного человека в году – тоже 365. Вероятность празднования дня рождения студентом в один из дней года равна = 1.

Действительно, можно с полной уверенностью сказать, что любой человек за год отпразднует свой день рождения.

Теперь возьмем любого второго студента и найдем вероятность того, что его день рождения не совпадает с днем рождения первого студента. Число всех возможных случаев – возможных дней рождения в году – остается здесь, конечно, тем же – 365, а вот число интересующих нас случаев уменьшится на 1 – ведь тот день, когда праздники могут совпадать, надо выбросить. Итак, вероятность несовпадения дня рождения второго студента с днем рождения

Затем возьмем любого третьего студента вашей группы и найдем подобным же образом, что вероятность несовпадения с днем рождения

И далее для всех студентов группы – в том же духе. Зададим себе такой вопрос: а какова вероятность того, что и у первого, и у второго, и у третьего, и у всех остальных студентов дни рождения не совпадут? Вероятности таких событий находят с помощью умножения.

Вероятность несовпадения дней рождения у

Число сомножителей равно общему числу студентов. В нашем случае таких сомножителей должно быть 30. Стоит перемножить, и получится, что вероятность несовпадения дней рождения у всех тридцати студентов равна 0,29.

А то, что нас интересует,– вероятность совпадения – мы найдем путем вычитания этой цифры из единицы.

Вероятность совпадения дней рождения у любых двух студентов из тридцати равна 1 - 0,29 = 0,71.

Это высокая вероятность. Значит, почти наверняка в любом коллективе, где 30 человек, есть люди, родившиеся в один день.

А как быть тем коллективам, где число людей 10, 40 или 50, т. е. отличается от 30? На этот случай пригодится готовая таблица вероятностей совпадения дней рождения для разных групп людей – от 5 до 100 и более человек (табл. 8.6). Как она рассчитывается, мы уже знаем.

Таблица 8.6